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Matemática => Matemáticas Generales => Números complejos => Mensaje iniciado por: pililo en 31 Mayo, 2014, 07:56 pm

Título: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: pililo en 31 Mayo, 2014, 07:56 pm
Hola.

Me surgió una duda, lo que pasa es que he visto que en algunas bibliografías aparece que

\( i=\sqrt{-1} \),

¿por qué esto está incorrecto?. Entiendo el por qué pero a medias, ya que si ocurriera eso, tendríamos lo siguiente
\( i^2=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 \)
lo cual contradice que \( i^2=-1 \), pero veo un problema en las igualdades anteriores, porque uno puede usar las propiedades de raiz(de índice par), siempre que la cantidad subradical sea no negativa y este no es el caso.
Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 01 Junio, 2014, 12:06 am
Lo incorrecto es que hayas aplicado la propiedad distributiva con radicandos que contienen números negativos.

No es incorrecto definir \( i = \sqrt{-1} \).

 
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: feriva en 01 Junio, 2014, 12:42 am
Hola.

Me surgió una duda, lo que pasa es que he visto que en algunas bibliografías aparece que

\( i=\sqrt{-1} \),

¿por qué esto está incorrecto?. Entiendo el por qué pero a medias, ya que si ocurriera eso, tendríamos lo siguiente
\( i^2=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 \)
lo cual contradice que \( i^2=-1 \), pero veo un problema en las igualdades anteriores, porque uno puede usar las propiedades de raiz(de índice par), siempre que la cantidad subradical sea no negativa y este no es el caso.
Saludos.

Hola.

\( i^{2}=((-1)^{1/2})^{2}=(-1)^{1/2}\cdot(-1)^{1/2}=(-1)^{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=(-1)^{1}=-1 \)

 Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 01 Junio, 2014, 01:00 am
Feriva: es que es lo mismo.
Operando de una forma se obtiene una cosa, y operando de otra forma se obtiene otra cosa.

Las propiedades que estás aplicando no son válidas en este contexto.
Sólo son válidas para números reales positivos, y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: feriva en 01 Junio, 2014, 01:36 am

Las propiedades que estás aplicando no son válidas en este contexto.
Sólo son válidas para números reales positivos, y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

Hola. Pero, entonces, si convenimos definir concretamente, por ejemplo

\( a\in\mathbb{Z};b\in\mathbb{Q};c\in\mathbb{N} \)

Esto no parece que pueda salir mal

\( (a^{b})^{c}=a^{bc} \)

¿Qué es lo que pasa para que no pueda servir en general esta otra regla de las potencias?

\( (a^{b})^{c}\cdot(a^{b})^{c}=(a^{b})^{c+c}=(a^{b})^{2c}=a^{2bc} \)

Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: ingmarov en 01 Junio, 2014, 02:25 am

..., y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

i es una convención, y se ha convenido que \( i^2=-1 \)
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 01 Junio, 2014, 02:31 am
¿Qué es lo que pasa para que no pueda servir en general esta otra regla de las potencias?

\( (a^{b})^{c}\cdot(a^{b})^{c}=(a^{b})^{c+c}=(a^{b})^{2c}=a^{2bc} \)
 

La "raíz" es la operación inversa de la potencia.
Como tal, hay muchas soluciones posibles.
Dada una ecuación \( z^c=A \), con c entero, tiene c soluciones complejas distintas.
Sólo una de ellas se elige cuando definimos \( \sqrt[c] A \), cuando A es real y positivo.
La solución elegida es, en los textos de matemática, la solución real y positiva.

Cuando nos restringimos a los reales positivos, hay siempre una y sólo una solución.
Con esa solución, valen sin problemas las leyes distributivas de los exponentes.
Pero si no, no.

La razón de que no pueda usarse la ley distributiva con valores que no son reales positivos, es que allí ya entran en juego todas las soluciones posibles de la raíz. Como uno puede poner cualquiera de esas soluciones, el resultado puede dar cualquier cosa que a uno le guste.
Eso lleva a contradicciones.

Por ejemplo, da que 1 = -1, o cosas por el estilo, como en el post original de este hilo.

Ese tipo de absurdos se obtiene al utilizar la propiedad distributiva.
Pero entonces esto significa que la propiedad distributiva no puede usarse.
En otras palabras: ES FALSA.

Sólo es verdadera si convenimos en referirnos todo el tiempo a las raíces reales positivas.

Puedo ser más explícito con los cálculos, pero no quiero volverme engorroso innecesariamente.
Quiero saber si esto que dije se entiende, o si hacen falta otro tipo de aclaraciones.

Saludos
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 01 Junio, 2014, 02:35 am

..., y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

i es una convención, y se ha convenido que \( i^2=-1 \)

No entiendo tu comentario, pero el hecho de que eso sea una convención no tiene relación con lo que yo dije, porque lo que yo dije se refiere a la propiedad distributiva aplicada a raíces, cosa que estoy discutiendo con feriva.
La convención de que \( i^2=-1 \) no convalida en ningún momento el uso de la propiedad distributiva en raíces con números negativos.

De hecho, hasta diría que la notación \( i=\sqrt{-1} \) es la fuente de la confusión.
No habría que escribir el signo de raíz cuadrada con un radicando negativo, porque lo usual es que se defina el símbolo \( \sqrt x \) sólo cuando \( x\geq 0 \).


Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: ingmarov en 01 Junio, 2014, 02:59 am

..., y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

i es una convención, y se ha convenido que \( i^2=-1 \)

No entiendo tu comentario, pero el hecho de que eso sea una convención no tiene relación con lo que yo dije, porque lo que yo dije se refiere a la propiedad distributiva aplicada a raíces, cosa que estoy discutiendo con feriva.
La convención de que \( i^2=-1 \) no convalida en ningún momento el uso de la propiedad distributiva en raíces con números negativos.

De hecho, hasta diría que la notación \( i=\sqrt{-1} \) es la fuente de la confusión.
No habría que escribir el signo de raíz cuadrada con un radicando negativo, porque lo usual es que se defina el símbolo \( \sqrt x \) sólo cuando \( x\geq 0 \).
Perdón, saque de contexto una palabra que escribiste para recordar que i surgió como una necesidad, y que debido a esa necesidad fue aceptada por la sociedad de matemáticos desde ese tiempo. Y que por convención se aceptan dos cosas:
\( i=\sqrt{-1} \) y que \( i^2=-1 \).Me imagino que en el tiempo en que surgió esta unidad imaginaria también se dieron este tipo de discusiones.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 01 Junio, 2014, 03:03 am
Bueno, no sé cómo fue esto históricamente.

Pero lo concreto sería estudiar bien la potencia fraccionaria de números complejos, y con un poco de práctica y ejemplos, llegar a convencerse de cómo son las cosas, y por qué no pueden usarse alegremente algunas propiedades algebraicas.

Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: feriva en 01 Junio, 2014, 12:04 pm
He estado pensando un poco más sobre esto.

No existe un número real que multiplicado por sí mismo dé un número negativo; esto es claro a tenor de las reglas de los signos, y si conviniéramos trabajar como experimento con las reglas de los signos al revés (cosa que se puede hacer) la cuestión funcionaría al revés pero no desaparecería el problema, seguirían apareciendo números de signo indefinido, números que nos son ni positivos ni negativos o que, quizá se pueda decir también, son las dos cosas a la vez.

A partir de esto podemos estar de acuerdo en que si por el valor fuera, prescindiendo de la cualidad que dan los signos a los números, “i” sería un número real y no existiría el concepto de número imaginario.

Por otro lado, esta sentencia “No existe un número real que multiplicado por sí mismo dé un número negativo”, aunque predique para todos los números reales, depende por completo del comportamiento de los números enteros; o casi se puede simplificar diciendo que depende del comportamiento de los naturales:

Basta pensar en que para observar el signo se observa la cantidad de veces que se multiplica un valor, y la cantidad es siempre par o impar, pero sólo los números enteros son pares o impares.

Ahora, yo no sé lo que quiere decir esto \(  (-1)^{\dfrac{1}{2}} \), porque, si lo intento interpretar literalmente, no sé lo que es multiplicar media vez o menos de una vez un número por sí mismo; pero sí sé que la potencia no es un entero y, por tanto, ni siquiera puedo asumir tautológicamente que, aunque no sepa lo que pasa ahí, tiene que ser una de los dos cosas, par o impar. No puedo asumirlo por esta sencilla razón: cuando es una cosa u otra, ocurre que, siempre, sin excepción, la potencia ha de ser un entero (distinto es que después usemos “+i” y “-i”, ésos son signos prestados de los reales que podemos utilizar y es lícito, pero otra cosa es el verdadero signo del imaginario puro “i”, suponiendo que se pueda hablar de signo).

A tenor de eso, el problema de lo que ha hecho Pililo parece que está al pasar de aquí

\( (-1)^{\dfrac{1}{2}}\cdot(-1)^{\dfrac{1}{2}} \)

a aquí

\( [(-1)\cdot(-1)]^{\dfrac{1}{2}} \)

Al operar Pilio así está tocando el número que lleva el signo, y lo está haciendo sin saber lo que puede ocurrir.

En la expresion de arriba no aparece en ningún sitio el “-1” multiplicado un número de veces enteras por sí mismo; qué le otorga licencia, entonces, para hacer esta operación \( (-1)(-1) \), ¿cómo la justifica si arriba no tenemos en ningún momento el “-1” multiplicado un número par o impar de veces (o si lo tenemos no lo sabemos), de dónde saca eso? Yo no veo de dónde sale; en cambio, cuando hago ese paso con una potencia natural, que supone veces enteras, sí puedo analizar lo que ocurre y puedo justificarlo; es decir, las reglas funcionan porque tienen una justificación lógica detrás, sin esa justificación no son nada.

Sin embargo, al operar tocando las potencias no tocamos el signo de nada, porque aunque la potencia llevara signo menos, el signo de las potencias no quiere decir “positivo” o “negativo, es de otra naturaleza completamente distinta, las potencias no tienen signo realmente. Quizá pueda pasar algo, no digo que no, pero en principio la operación (operación con potencias) es independiente del problema; puede ocurrir, dependiendo de los valores de las potencias y demás, que, después, al operar siga sin tener un número entero en la potencia y siga, por tanto, sin poder decidir si es par o impar y sin saber qué pasa ahí, pero a priori no tiene por qué haberse trastocado nada.

Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 01 Junio, 2014, 06:14 pm
Un número complejo \( z = a + bi \) se representa acorde a su interpretación geométrica, como un par de coordenadas reales \( (a, b) \) en el plano.
Este punto \( (a, b) \) tiene un "módulo" (distancia al origen), que se denota \( r = \sqrt{a^2+b^2} \).
Ahí, el radicando es un número real no negativo, y la raíz cuadrada se toma también no negativa.
De modo que \( r \geq 0 \).
Cuando \( r = 0 \), es que el punto tenía corrdenadas (0,0), el origen de coordenadas.
Cuando \( r > 0 \), se puede hablar de un ángulo \( \theta \) tomado desde el eje X, o de abscisas, o eje real.
El ángulo \( \theta \) se llama "argumento" de \( z \), y se mide en radianes, luego su valor varía entre 0 y \( 2\pi \).
Esto permite ahora expresar z en forma polar:

\( z = r (\cos\theta + i\sin\theta). \)

Tenemos que \( a = r\cos\theta, b= r\sin\theta \).
Resulta bastante obvio que, sumando una cantidad entera \( k \) de giros, o sea, de ángulos de amplitud \( 2\pi \),
se obtiene de nuevo el mismo punto en el plano:

\( z = r (\cos(\theta +2\pi {\color{blue}k})+ i\sin(\theta+2\pi {\color{blue}k})). \)

Esto se puede escribir usando una notación más breve.
Por definición, se acepta que

\( e^{i\phi}=\cos \phi + i\sin \phi. \)

Eso da una función bien definida que a cada númeral real \( \phi \) (interpretado como un ángulo), asigna un número complejo de módulo 1 (o sea, correspondiente a un punto en la circunferencia de radio 1), determinado por las proyecciones del punto P del plano, con módulo 1, y ubicado según un ángulo \phi respecto el eje X (o de abscisas).

En fin. Lo importante: es una "función", porque a cada \( \phi  \)le corresponde un solo valor complejo posible.
Observación: aparece una "i" en el exponente de la exponencial.
Tratemos de no asustarnos por eso. Es más bien "notación", por decirlo así. Aunque luego podremos ser más específicos.

Entonces podemos escribir:

\( z = r e^{i\, (\theta + 2\pi {\color{blue}k})}. \)

Cuando \( k \) es entero, se tiene que

\( e^{i\, 2\pi k}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k) = 1 + 0i = 1. \)

Usando relaciones trigonométricas, se puede demostrar que, para números reales \( \phi,\psi, \) vale que:

\( e^{i(\phi+\psi)}=e^{i\phi}e^{i\psi}. \)

Esto permite probar ahora más fácilmente que:

\(  r e^{i\, (\theta + 2\pi {\color{blue}k})}=re^{i\, \theta}e^{i\,2\pi k}=re^{i\theta}=z. \)

---------------

Cuando se eleva z a una potencia entera, no hay ambigüedad:

\( z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{i\theta n}. \)

---------------

Cuando se eleva z a una pontencia fraccionaria \( 1/q \), hay que tener claro lo que esto quiere decir.
Esto querrá decir que \( w = z^{1/q} \) es solución de la ecuación \( w^q = z \).

Para esto, tengamos en cuenta todas las variantes posibles en que podemos escribir el ángulo \( \theta \).
Recordemos que todos los ángulos \( \theta+2\pi k \), con k entero, nos dan un ángulo equivalente.

\( w^q=z=re^{i(\theta +2\pi k)} \)

Escribamos \( w = se^{i\phi} \).
¿Qué valores de \( s \) y de \( \phi \) nos dan soluciones a la ecuación anterior?
Estamos diciendo que:

\( (se^{i\phi})^q=re^{i(\theta+2\pi k)}. \)

Cuando el exponente es entero, sí que podemos distribuir los exponentes,
y además, \( e^{i......} \) involucra funciones trigonométricas que permiten sumar y multiplicar ángulos,
respetando así las leyes de los exponentes, podemos escribir confiados esto:

\( s^q e^{i\phi \, q} =re^{i(\theta+2\pi k)}. \)

El módulo del número complejo no está presente en las exponenciales, sino sólo en los números \( r \) y \( s^q \).
Por lo tanto, podemos escribir, separando:

\( s^q=r \)
\( e^{i\phi \, q} = e^{i(\theta+2\pi k)} \)

Como los módulos son números no negativos,
existe un único número real positivo \( s \) que cumple la igualdad \( s^q=r \).
Ese número se denota, como es usual, como \( s =\sqrt[q] r \).

Aquí no hay ambigüedad posible con el signo radical \( \sqrt{} \), porque se aplica a un número real positivo,
y el resultado o solución que se elige tomar es la real positiva.

Por otro lado, la igualdad \( e^{i\phi \, q} = e^{i(\theta+2\pi k)} \)
es en realidad una igualdad trigonométrica, y está indicando una igualdad de ángulos.
Nos dice que, para algún entero k, vale la igualdad:

\(  \phi \, q = \theta+2\pi k. \)

Esto implica

\( \color{blue}\phi = \dfrac\theta q + 2\pi \dfrac kq. \)

------------

Ahí está el meollo del asunto: hay q soluciones distintas, debido a los ángulos \( 2\pi \dfrac kq \).
Cuando \( k \) es múltiplo de \( q \), se logra "dar toda la vuelta", y se obtiene un ángulo equivalente a "no haber sumado nada",
porque en ese caso \( 2\pì k/q \) es entero, representando un número entero de giros.

Pero si k = 0, 1, 2, ..., q - 1, se obtienen q ángulos distintos, dando lugar a q soluciones distintas.

Por lo tanto, \( w = z^{1/q} \) ya no es una función, sino una "multifunción" o "función multivaluada", porque tiene q valores.
Eso no es una función.

-------------------

Ahí ya no tiene sentido aplicar la ley distributiva de los exponentes, porque no sé a cuál de todos los valores posibles se la estaría aplicando.

El número \( z = -1=-1+0i=1e^{i\pi} \) tiene ahora dos raíces cuadradas:

\( z^{1/2} = 1e^{i\pi/2}e^{i2\pi k/2} \), \( k = 0 \) ó \( k = 1 \).

Esto da las soluciones \( z^{1/2}= +i, -i \) (porque \( e^{i\pi/2}=i) \).

------------

Si pretendo aplicar ley distributiva, ¿a qué se la estoy aplicando?

\( (-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=1e^{i\pi/2}e^{i2\pi k/2}1e^{i\pi/2}e^{i2\pi \tilde k/2}=1e^{i(\pi/2+\pi/2+\pi k+\pi\tilde k)}=e^{i\pi}e^{i\pi(k+\tilde k}}, \)

siendo \( k = 0 \) ó 1, \( \tilde k = 0 \) ó 1.

Hay 4 combinaciones posibles.
Eso no es "álgebra", porque el álgebra tiene leyes para operaciones definidas en forma "univaluada", o sea, "de tipo función",
pero no para entidades multivaluadas.
Operar allí no tiene sentido.

Pero continúo de todos modos con los cálculos, a ver dónde me lleva.
Resulta que \( e^{i\pi} = -1 \), y entonces el cálculo que venía haciendo me da:

\( (-1) \cdot e^{i\pi(k+\tilde k)} =\begin{cases} (-1) \cdot 1 = -1, & k = 0,\tilde k = 0;\\ (-1) \cdot (-1)= +1,& k = 0,\tilde k = 1;\\(-1) \cdot (-1)=+1,  & k = 1,\tilde k = 0;\\ (-1) \cdot 1=-1, & k = 1,\tilde k = 1.\end{cases}
 \)

Por otro lado, haciendo la ley distributiva, nos da:

\( ((-1)(-1))^{1/2} = (+1)^{1/2} = e^{i\, 2\pi k\frac 12}=e^{i\,\pi k} \), k = 0 ó k = 1,

pero esto nos da las dos soluciones posibles:

\( e^{i\,\pi k} = +1 \), si k = 0,
\( e^{i\,\pi k} = -1 \), si k = 1.

-----------------

Obtuve el mismo conjunto de soluciones tanto al aplicar la ley distributiva como al no aplicarla.

Pero entonces, ¿no es que no valía la ley distributiva?

Bueno, pero es que no es lo mismo.
En el post original de Pillo, se usaba la ley distributiva ignorando las soluciones alternativas, lo que daba lugar a resultados absurdos.

Lo que he hecho yo considera todas las soluciones posibles, al mismo tiempo, y entonces, reconociendo que estamos trabajando en forma "multivaluada", no se obtiene ningún absurdo.

Aún así, al trabajar de forma "multivaluada", hay que tener siempre en claro, en cada paso, qué se está haciendo.
Un equívoco al considerar todas las soluciones posibles dará, de nuevo, resultados absurdos.

Saludos.

Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: feriva en 01 Junio, 2014, 07:55 pm
Un número complejo \( z = a + bi \) se representa acorde a su interpretación geométrica, como un par de coordenadas reales \( (a, b) \) en el plano...
Spoiler
Este punto \( (a, b) \) tiene un "módulo" (distancia al origen), que se denota \( r = \sqrt{a^2+b^2} \).
Ahí, el radicando es un número real no negativo, y la raíz cuadrada se toma también no negativa.
De modo que \( r \geq 0 \).
Cuando \( r = 0 \), es que el punto tenía corrdenadas (0,0), el origen de coordenadas.
Cuando \( r > 0 \), se puede hablar de un ángulo \( \theta \) tomado desde el eje X, o de abscisas, o eje real.
El ángulo \( \theta \) se llama "argumento" de \( z \), y se mide en radianes, luego su valor varía entre 0 y \( 2\pi \).
Esto permite ahora expresar z en forma polar:

\( z = r (\cos\theta + i\sin\theta). \)

Tenemos que \( a = r\cos\theta, b= r\sin\theta \).
Resulta bastante obvio que, sumando una cantidad entera \( k \) de giros, o sea, de ángulos de amplitud \( 2\pi \),
se obtiene de nuevo el mismo punto en el plano:

\( z = r (\cos(\theta +2\pi {\color{blue}k})+ i\sin(\theta+2\pi {\color{blue}k})). \)

Esto se puede escribir usando una notación más breve.
Por definición, se acepta que

\( e^{i\phi}=\cos \phi + i\sin \phi. \)

Eso da una función bien definida que a cada númeral real \( \phi \) (interpretado como un ángulo), asigna un número complejo de módulo 1 (o sea, correspondiente a un punto en la circunferencia de radio 1), determinado por las proyecciones del punto P del plano, con módulo 1, y ubicado según un ángulo \phi respecto el eje X (o de abscisas).

En fin. Lo importante: es una "función", porque a cada \( \phi  \)le corresponde un solo valor complejo posible.
Observación: aparece una "i" en el exponente de la exponencial.
Tratemos de no asustarnos por eso. Es más bien "notación", por decirlo así. Aunque luego podremos ser más específicos.

Entonces podemos escribir:

\( z = r e^{i\, (\theta + 2\pi {\color{blue}k})}. \)

Cuando \( k \) es entero, se tiene que

\( e^{i\, 2\pi k}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k) = 1 + 0i = 1. \)

Usando relaciones trigonométricas, se puede demostrar que, para números reales \( \phi,\psi, \) vale que:

\( e^{i(\phi+\psi)}=e^{i\phi}e^{i\psi}. \)

Esto permite probar ahora más fácilmente que:

\(  r e^{i\, (\theta + 2\pi {\color{blue}k})}=re^{i\, \theta}e^{i\,2\pi k}=re^{i\theta}=z. \)

---------------

Cuando se eleva z a una potencia entera, no hay ambigüedad:

\( z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{i\theta n}. \)

---------------

Cuando se eleva z a una pontencia fraccionaria \( 1/q \), hay que tener claro lo que esto quiere decir.
Esto querrá decir que \( w = z^{1/q} \) es solución de la ecuación \( w^q = z \).

Para esto, tengamos en cuenta todas las variantes posibles en que podemos escribir el ángulo \( \theta \).
Recordemos que todos los ángulos \( \theta+2\pi k \), con k entero, nos dan un ángulo equivalente.

\( w^q=z=re^{i(\theta +2\pi k)} \)

Escribamos \( w = se^{i\phi} \).
¿Qué valores de \( s \) y de \( \phi \) nos dan soluciones a la ecuación anterior?
Estamos diciendo que:

\( (se^{i\phi})^q=re^{i(\theta+2\pi k)}. \)

Cuando el exponente es entero, sí que podemos distribuir los exponentes,
y además, \( e^{i......} \) involucra funciones trigonométricas que permiten sumar y multiplicar ángulos,
respetando así las leyes de los exponentes, podemos escribir confiados esto:

\( s^q e^{i\phi \, q} =re^{i(\theta+2\pi k)}. \)

El módulo del número complejo no está presente en las exponenciales, sino sólo en los números \( r \) y \( s^q \).
Por lo tanto, podemos escribir, separando:

\( s^q=r \)
\( e^{i\phi \, q} = e^{i(\theta+2\pi k)} \)

Como los módulos son números no negativos,
existe un único número real positivo \( s \) que cumple la igualdad \( s^q=r \).
Ese número se denota, como es usual, como \( s =\sqrt[q] r \).

Aquí no hay ambigüedad posible con el signo radical \( \sqrt{} \), porque se aplica a un número real positivo,
y el resultado o solución que se elige tomar es la real positiva.

Por otro lado, la igualdad \( e^{i\phi \, q} = e^{i(\theta+2\pi k)} \)
es en realidad una igualdad trigonométrica, y está indicando una igualdad de ángulos.
Nos dice que, para algún entero k, vale la igualdad:

\(  \phi \, q = \theta+2\pi k. \)

Esto implica

\( \color{blue}\phi = \dfrac\theta q + 2\pi \dfrac kq. \)

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Ahí está el meollo del asunto: hay q soluciones distintas, debido a los ángulos \( 2\pi \dfrac kq \).
Cuando \( k \) es múltiplo de \( q \), se logra "dar toda la vuelta", y se obtiene un ángulo equivalente a "no haber sumado nada",
porque en ese caso \( 2\pì k/q \) es entero, representando un número entero de giros.

Pero si k = 0, 1, 2, ..., q - 1, se obtienen q ángulos distintos, dando lugar a q soluciones distintas.

Por lo tanto, \( w = z^{1/q} \) ya no es una función, sino una "multifunción" o "función multivaluada", porque tiene q valores.
Eso no es una función.

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Ahí ya no tiene sentido aplicar la ley distributiva de los exponentes, porque no sé a cuál de todos los valores posibles se la estaría aplicando.

El número \( z = -1=-1+0i=1e^{i\pi} \) tiene ahora dos raíces cuadradas:

\( z^{1/2} = 1e^{i\pi/2}e^{i2\pi k/2} \), \( k = 0 \) ó \( k = 1 \).

Esto da las soluciones \( z^{1/2}= +i, -i \) (porque \( e^{i\pi/2}=i) \).

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Si pretendo aplicar ley distributiva, ¿a qué se la estoy aplicando?

\( (-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=1e^{i\pi/2}e^{i2\pi k/2}1e^{i\pi/2}e^{i2\pi \tilde k/2}=1e^{i(\pi/2+\pi/2+\pi k+\pi\tilde k)}=e^{i\pi}e^{i\pi(k+\tilde k}}, \)

siendo \( k = 0 \) ó 1, \( \tilde k = 0 \) ó 1.

Hay 4 combinaciones posibles.
Eso no es "álgebra", porque el álgebra tiene leyes para operaciones definidas en forma "univaluada", o sea, "de tipo función",
pero no para entidades multivaluadas.
Operar allí no tiene sentido.

Pero continúo de todos modos con los cálculos, a ver dónde me lleva.
Resulta que \( e^{i\pi} = -1 \), y entonces el cálculo que venía haciendo me da:

(-1)\cdot e^{i\pi(k+\tilde k}} =
\begin{cases}
    (-1) \cdot 1 = -1,\quad& k = 0,\tilde k = 0;\\
    (-1) \cdot (-1)= +1,\quad& k = 0,\tilde k = 1;\\
    (-1) \cdot (-1)=+1,\quad& k = 1,\tilde k = 0;\\
    (-1) \cdot 1=-1,\quad& k = 1,\tilde k = 1.
\enc{cases}

Por otro lado, haciendo la ley distributiva, nos da:

\( ((-1)(-1))^{1/2} = (+1)^{1/2} = e^{i\, 2\pi k\frac 12}=e^{i\,\pi k} \), k = 0 ó k = 1,

pero esto nos da las dos soluciones posibles:

\( e^{i\,\pi k} = +1 \), si k = 0,
\( e^{i\,\pi k} = -1 \), si k = 1.

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Obtuve el mismo conjunto de soluciones tanto al aplicar la ley distributiva como al no aplicarla.

Pero entonces, ¿no es que no valía la ley distributiva?

Bueno, pero es que no es lo mismo.
En el post original de Pillo, se usaba la ley distributiva ignorando las soluciones alternativas, lo que daba lugar a resultados absurdos.

Lo que he hecho yo considera todas las soluciones posibles, al mismo tiempo, y entonces, reconociendo que estamos trabajando en forma "multivaluada", no se obtiene ningún absurdo.

Aún así, al trabajar de forma "multivaluada", hay que tener siempre en claro, en cada paso, qué se está haciendo.
Un equívoco al considerar todas las soluciones posibles dará, de nuevo, resultados absurdos.

[cerrar]

Saludos.






 
 :o

No, en serio,  muchas gracias por la detallada explicación.

 Bueno, de lo poco que sabía de esto me acuerdo menos aún, pero creo que la demostración de la identidad de Euler asume de entrada como verdadera la cuestión que se está debatiendo, asume  \( i^2=-1 \) y los resultado de todas las  demás potencias; vamos, creo que tiene que ser así porque la demostración se hacía —recuerdo vagamente de un día que lo vi en un libro— con un polinomio de Taylor, y al ir derivando es de suponer que hay contar con el manejo de esa “verdad”.
 
 Yo, más modestamente (porque no me queda más remedio que hacerlo modestamente, por falta de conocimientos) no me había planteado la cantidad de soluciones, sino lo que pasa con una solución concreta que ofrece dudas en ese caso particular, que no se ve clara (o que yo no veo clara) restringiendo las potencias a los números racionales; sin ir al plano complejo y sin entrar en más.

   No he llegado a decir que 1 pueda ser solución o no, decía que ahí yo no veo lo que pasa y razonaba por qué no lo veía, diciendo también que si no toco el número con signo menos al operar, no toco tampoco el signo, mientras que si opero sólo potencias no se ve en principio que pueda cambiar la “polaridad” del número, puesto que el signo de las potencias no tiene que ver nada con esa cuestión.
Pero también añadía (con otras palabras) que no descartaba que, aunque yo no viera conexión desde mi punto de vista inexperto, pudiera pasar algo (sospechando, además, que metiéndose uno en harina era bastante posible que pasara algo).

 Saludos.

Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: Fallen Angel en 01 Junio, 2014, 08:45 pm
Pero es que \( i^{2}=-1 \) no es una asunción, es consecuencia evidente de que se define \( \pm i \) como raíces del polinomio \( x^{2}+1 \), \( \sqrt{-1} \) solo es notación.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: pililo en 03 Junio, 2014, 08:47 pm
Gracias por las respuestas.
He buscado información acerca de este asunto, que me tiene muy intrigado, porque la verdad es que me han dicho que \( i \) no se puede escribir como \( \sqrt{-1} \) y me dan su explicación como la dije en mi primer post, pero estoy completamente seguro que no es un buen argumento, ya que usan la propiedad distributiva dentro de la raiz, es decir \( \sqrt{(-1)^2}=\sqrt{(-1)}\sqrt{(-1)} \), lo cual no se puede ya que hay cantidades subradicales negativas.

Ahora, en algunas  bibliografías, tienen como definición que \( i=\sqrt{-1} \) y otras hablan de raiz cuadrática principal de \( -x \) con \( x\in\mathbb{R}^{+} \), denotada por \( \sqrt{-x} \), como
\( \sqrt{-x}=\sqrt{x}i \), pero para \( x=1 \), esto queda \( \sqrt{-1}=\sqrt{1}i=i \), o sea, que igual llegan a la conclusión a que vale \( i \).
Por lo tanto, no veo el problema de que \( \sqrt{-1}=i \).

Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: feriva en 03 Junio, 2014, 09:20 pm

Por lo tanto, no veo el problema de que \( \sqrt{-1}=i \).



Claro, ni nadie va a ver problema en eso.

 Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: Georg D. Hilbert en 27 Julio, 2014, 10:22 am
Hola,

¿Alguien me puede explicar de donde sale la expresión \( e^{i\phi}=\cos \phi + i\sin \phi. \) en el mensaje de argentinator? No lo entiendo.

Siento reabrir este hilo ahora. De todas formas gracias de antemano y un saludo.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 27 Julio, 2014, 01:32 pm

¿Alguien me puede explicar de donde sale la expresión \( e^{i\phi}=\cos \phi + i\sin \phi. \) en el mensaje de argentinator? No lo entiendo.

Como dije en ese post, esa es por definición.
Se define así la exponencial imaginaria.
Usando relaciones trigonométricas se pueden probar las leyes usuales de los exponentes.
Inclusive, desarrollando formalmente en serie de Taylor el lado izquierdo, como si tvuera sentido, te da el lado derecho desarrollado en serie de Taylor.

Es una forma práctica de denotar la forma polar del número complejo.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: Georg D. Hilbert en 27 Julio, 2014, 10:06 pm
Gracias argentinator, pero aun tengo una duda más. ¿Por qué se define \( i=\sqrt{\mathstrut -1} \)? Me refiero a si es por alguna razón en concreto (pensaba que entendía porque \( i^2=-1 \), pero al final resulta que no). Y ya se que eso es lo que explicabais en las respuestas anteriores pero bueno...

Un saludo.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 27 Julio, 2014, 10:45 pm
En realidad no se define \( i=\sqrt{\mathstrut -1} \).
Pero ocurre que la discusión vino por ese lado.

Esa es una manera informal de introducir la unidad imaginaria.

Lo apropiado es definir un cuerpo de números complejos como un conjunto de pares ordenados (a, b) de números reales, con operaciones de suma y producto sobre él, satisfaciendo ciertas reglas.

Tras construir bien esto, lo concreto es definir la unidad imaginaria como \( i=(0,1) \).

Entonces \( i^2=-1 \), y también \( (-i)^2=-1 \).

Para mí, escribir el símbolo de raíz cuadrado sobre el número \( -1 \) es algo que no tiene sentido, porque la raíz cuadrada, correctamente definida, es algo que funciona para reales positivos (o cero).

La notación \( \sqrt{-1} \) puede considerarse una mera "convención" que uno puede tomar en ciertos contextos lo bastante restringidos como para entender de qué está hablando uno.

Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: Georg D. Hilbert en 28 Julio, 2014, 08:42 pm
En la wikipedia dice que i, es únicamente definida por la propiedad de que su cuadrado es -1, es decir, \( i^2=-1 \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Definition
Un saludo.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: Carlos Ivorra en 28 Julio, 2014, 09:04 pm
En la wikipedia dice que i, es únicamente definida por la propiedad de que su cuadrado es -1, es decir, \( i^2=-1 \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Definition
Un saludo.

Una costumbre saludable antes de fiarte de lo que dice la Wikipedia es probar a cambiar de idioma. Normalmente el inglés suele ser mucho más fiable que el español, pero esta vez los ingleses no han estado muy afortunados. Los franceses han hecho un trabajo mucho más serio:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire (http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire)

Aunque, pensándolo mejor, la mejor página de la Wikipedia sobre la unidad imaginaria es la española, que no existe, de modo que quien quiere saber qué es \( i \) se ve obligado a hacer lo más razonable: entrar en la página en la que se definen los números complejos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 28 Julio, 2014, 10:06 pm
En la wikipedia dice que i, es únicamente definida por la propiedad de que su cuadrado es -1, es decir, \( i^2=-1 \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Definition
Un saludo.

Wikipedia es para salir de apuros, pero no para estudiar seriamente algo.

En castellano hay un librito básico para estudiar formalmente las propiedades de los números:

El Concepto de Número, monografía nro. 7 de la OEA, César Trejo.

Te recomiendo estudiar de libros de variable compleja como:

Variable compleja con aplicaciones, Wunsch, 1997.

Tiene varias "introducciones" que explican cómo surge el concepto de número complejo.
Hay versiones en castellano creo.

Aunque lo hace de modo algo sutil para quien recién se inicia,
todo lo que hace es por "definición".
Arranca diciendo que un número complejo es "algo" de la forma z = a + i b,
pero no dice qué diablos es esa "i".
Es algo formal, y sólo obedece a razones históricas.

En el fondo, lo que está haciendo ahí (en el capítulo 1 de Wunsch)
es tomar un par de números reales a, b, formarse algo con ellos, lo llama z,
y luego define operaciones sobre esos "objetos" z así escritos.

Es lo mismo que tomar todos los pares (a, b) de reales, formar un conjunto, y luego definir allí operaciones al capricho de uno mismo.

Esas definiciones son, digamos, definidas arbitrariamente en principio.
Y en realidad no tanto, pues se basan en las siguientes intenciones de fondo:

(*) Que el número \( 0 + i 1 \) (o sea, "i") sea la solución de la ecuación \( z^2 = -1 \).

(**) Que las leyes usuales de las operaciones aritméticas de la suma y el producto se sigan cumpliendo en el conjunto de todos esos pares.

Si bien históricamente los matemáticos creyeron "descubrir" los números complejos y sus propiedades, lo único que en realidad descubrieron son sus propios preconceptos de qué se supone que deben cumplir las operaciones de suma y de producto, y también descubrieron que si se lo proponían, podían inventarse un nuevo sistema de números en donde toda ecuación poliinómica tuviera solución.

En particular, que valgan (*) y (**).

Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: feriva en 28 Julio, 2014, 11:35 pm
En la wikipedia dice que i, es únicamente definida por la propiedad de que su cuadrado es -1, es decir, \( i^2=-1 \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Definition
Un saludo.




 Si sobre la recta real tomas el punto 1 (en una dimensión de momento) y lo multiplicas por “-1” se transforma en el punto “-1”. El “1” y el “-1” son puntos simétricos respecto del punto cero, pero esta simetría se puede entender también como un giro de 180º que nos lleva de un punto al otro.

Del mismo modo, si multiplicas 2, por ejemplo, por “-1”, obtienes “-2” y tienes otra simetría que también se puede ver como un giro de los mismos grados, 180º; y así con cualquier número.

A partir de eso se le ocurrió a Argand (un matemático) que girando “media vez”, o sea, 90º, a partir del 1 de la recta real y siempre hacia la izquierda se podría representar el número “i” gráficamente.

  Si cada vez que se multiplica por “-1” esto representa un giro de 180º hacia la izquierda, análogamente, —pensó Argand— tiene sentido que multiplicar por “i” represente un giro de 90º hacia la izquierda. Y si multiplicamos desde “i” (que está fuera de la recta en un nuevo eje perpendicular que ha aparecido por arte de “i”) otra vez por “i” (lo que sería tener la multiplicación “i” por “i”, o sea “i” cuadrado) nos transformará el punto en “-1”.
 
 Esto lo tenía yo en un libro que he recordado ahora, y en Internet vienen páginas hablando de los diagramas de Argand; alguno contará la historia quizá, no sé, no me he parado a leer en detalle ninguna página, sólo he visto que existen.

 Saludos.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: Georg D. Hilbert en 29 Julio, 2014, 12:11 am
Muchas gracias a los tres :). Me voy a leer lo que me has dicho argentinator. Entonces según lo que he entendido los números complejos no se deducen de ningún lado, sino que se utilizan por conveniencia.

PD: Argentinator. ¿En los libro que me has dicho definen numero compleja de forma rigurosa? Sino, me podríais decir algún libro en el que lo hagan. Supongo que tengo los conocimientos suficientes para entenderlo, pero si no no me importa empezar desde cero. Un saludo.
Título: Re: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?
Publicado por: argentinator en 29 Julio, 2014, 02:28 am
PD: Argentinator. ¿En los libro que me has dicho definen numero compleja de forma rigurosa?

Sí.