Hola
Hola me piden probar que los espacios métricos \( (\mathbb{R}^n , d_1) \); \( (\mathbb{R}^n , d_2) \) ; \( (\mathbb{R}^n , d_\infty) \) son equivalentes.
Quiero usar que un subconjunto A es abierto si y sólo si A es unión de abiertos, ya que la definición de métricas equivalentes dice que A es abierto en \( d_1 \) si y sólo si es abierto en \( d_2 \)
Para ver que dos espacios métricos son equivalentes, es decir, definien la misma topología basta que muestres que dentro de una bola de cada uno de ellos siempre puedes meter otra del otro centrada en el mismo punto, es decir:
Dada \( B_1(x,r) \) existe \( B_2(x,r')\subset B_1(x,r) \) y dada \( B_2(x,r) \) existe \( B_1(x,r')\subset B_2(x,r) \).
Para ello es suficiente mostrar que existen constantes positivas tal que:
\( d_1(x,y)<ad_2(x,y) \)
\( d_2(x,y)<bd_1(x,y) \)
ya que en ese caso \( B_2(x,r/a)\subset B_1(x,r) \) y \( B_1(x,r/b)\subset B_2(x,r) \).
En tu caso utiliza que:
\( |z_1|^2+|z_2^2|+\ldots+|z_n|^2\leq (|z_1|+|z_2|+\ldots+|z_n|)^2\quad \Rightarrow{}\quad d_2(x,y)\leq d_1(x,y) \)
\( |z_1|+|z_2|+\ldots+|z_n|\leq n\cdot max\{|z_1|,|z_2|,\ldots,|z_n|\}\quad \Rightarrow{}\quad d_1(x,y)\leq n\cdot d_\infty(x,y) \)
\( max\{|z_1|,|z_2|,\ldots,|z_n|\}^2\leq |z_1|^2+|z_2^2|+\ldots+|z_n|^2\quad \Rightarrow{}\quad d_\infty(x,y)\leq d_2(x,y) \)
Saludos.
