Rincón Matemático
Matemática => Análisis Matemático => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: aesede en 22 Febrero, 2010, 02:57 pm
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Sea
Sea \( \vec{F} \) un campo vectorial que presenta una discontinuidad en el punto \( (0,0) \). Calcular \( \displaystyle\oint_{C}^{} \vec{F} \cdot{} d\vec{r} \) para:
1) una curva \( C \) que contiene al origen. Rta: \( 2 \pi \)
2) una curva \( C \) que NO contiene al origen. Rta: 0
Supongo que el problema está orientado a aplicar el teorema de Green en el apartado b) y resolver por algún otro método (parametrizando la curva) en el apartado a).
Quisiera su opinión.
Gracias, saludos :)
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Hola.
¡Me parece que falta algún dato! ¿No te dan el campo? O alguna otra información más..
Saludos.
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Hola Quimey.
Ese es el ejercicio ???
Supongo que lo de \( 2 \pi \) hace referencia a la longitud de la curva C (se vé que eligieron una circunferencia de radio 1).
Pero así, tal y como está, ¿qué es lo que puedo justificar?
Supongo que quieren que la respuesta sea:
- para a) el resultado de la integral curvilínea es la longitud de la curva
- para b) el resultado de la integral curvilínea es cero
pero se me hace dificil justificar algo cuando no está muy bien definido el problema.
Muchas gracias por responder :)
Saludos.
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Lo que no veo como demostrar es el apartado a. Sin más información sobre el campo, me parece que es imposible deducir que la circulación sea \( 2\pi \)
El apartado b se puede afirmar. Te dicen que el campo es discontinuo en el origen, así que será continuo en el resto de los puntos. Si tomas una curva cerrada, que no contenga el origen, entonces la circulación será cero. Un campo continuo, en una región simple-conexa(creo que era este el término) es conservativo.
Y lo otro que se puede decir es que, toda curva cerrada que contenga al origen en su interior tiene la misma circulación. Esto se puede demostrar.
Pero no veo por qué tenga que ser \( 2\pi \), ese valor va a depender del campo..
Saludos.
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Entiendo.
Creo que, o bien faltan datos, o las respuestas que tengo son incorrectas. Si no estoy dejando pasar nada, lo máximo que se puede afirmar es:
a) La circulación es, en general, \( \displaystyle\oint_{C}^{} \vec{F} \cdot{} d\vec{r} \neq 0 \) para toda curva \( C \) que "encierre" al punto \( (0,0) \).
b) La circulación es \( \displaystyle\oint_{C}^{} \vec{F} \cdot{} d\vec{r} = 0 \) para toda curva \( C \) que NO "encierre" al punto \( (0,0) \).
Muchas gracias Quimey :)
Saludos.
PD. Si puede ser me interesaría esta demostración:
Un campo continuo, en una región simple-conexa(creo que era este el término) es conservativo.
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PD. Si puede ser me interesaría esta demostración:
Un campo continuo, en una región simple-conexa(creo que era este el término) es conservativo.
Estuve navegando por los mares de google...pero no di con nada. Capaz que alguien encuentra algo, o..alguno de los matemáticos ensaya una demostración. :D
Saludos.
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Hola
Si no te dan (por ejemplo) información sobre el rotacional del campo, no se puede hallar la integral pedida.
Lo que su cumple es que un campo de clase uno e irrotacional sobre un conjunto simplemente conexo (sin agujeros) es conservativo.
Puede interesar este documento:
http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/Teleco/Fund-Mat06.pdf
Saludos.
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Hola.
Lo que su cumple es que un campo de clase uno e irrotacional sobre un conjunto simplemente conexo (sin agujeros) es conservativo.
Es decir, un campo F es conservativo si:
1) está definido en un conjunto simplemente conexo \( \Omega \)
2) el campo es contínuo en \( \Omega \), al igual que sus derivadas
3) es irrotacional sobre \( \Omega \)
Un campo continuo, en una región simple-conexa(creo que era este el término) es conservativo.
Acá me estoy pasando por alto una condición: que \( rot(\vec{F})=\vec{0} \) en \( \Omega \).
Por lo que ésto último parece aún más general que lo primero. Pero no sé si es cierto.
Gracias por contestar :)
Saludos.
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Hola
No entiendo que quieres decir con esto:
Por lo que ésto último parece aún más general que lo primero. Pero no sé si es cierto.
¿Exactamente que eunciado ó condición es más general que cuál?
En cuanto a lo que te pasate por alto, \( rot(\vec F)=\vec 0 \). ¿Te refieres al enunciado de tu problema?.
Saludos.
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Hola, el_manco.
No, me refería al teorema del que habla Quimey:
Un campo continuo, en una región simple-conexa(creo que era este el término) es conservativo.
A lo que voy es: ¿el hecho que un campo sea contínuo sobre un dominio simplemente conexo implica que el campo sea conservativo?
Con "más general" quise decir que estaba exigiendo menos condiciones. Quizás no fue una expresión muy acertada de mi parte :P
Saludos.
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Hola
Es que ese resultado que cita Quimey es falso. Para que el campo sea conservativo adicionalmente necesitamos que su rotacional sea nulo.
Saludos.
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Hola
Es que ese resultado que cita Quimey es falso. Para que el campo sea conservativo adicionalmente necesitamos que su rotacional sea nulo.
Saludos.
Genial, ésto es a lo que iba. Que para que el campo sea conservativo faltaba una condición: que el campo sea irrotacional.
Gracias el_manco, saludos ;)