Hola
Volviendo al ejercicio, tengo una duda respecto a una región del plano. Al fijar un punto \( (x_1, y_1) \), me pregunto qué ocurre cuando lo comparo con los elementos ubicados debajo y hacia la izquierda. Es decir, \( x_1 - a - (y_1 - b) > x_1 - y_1 \) En esta situación, si \( b > a \), hay elementos mayores. Y si \( a < b \), ¿ocurre lo contrario? Gracias.
Osea, hay mayores y menores en esa misma zona(?)
Si fijas \( (x_1,y_1) \) un punto debajo a la izquierda es un punto \( (x,y) \) con \( x\leq x_1,y\leq y_1 \). Entonces si, puede ser mayor o menor que \( (x_1,y_1) \).
Por ejemplo el dibujo si fijamos el punto metido en el círculo amarillo, todos los rojos son menores que él y los azules mayores:
Además, tengo otra pregunta. Estoy verificando si cumple con la propiedad del supremo. Ya he demostrado que \( (m_x,0) \) es una cota superior. Ahora, mi objetivo es demostrar que \( (m_x,0) \) es el supremo, donde \( m_x \leq x \) (no entraré en tanto detalle). Sin embargo, no estoy seguro de cómo compararlo con cualquier otra cota \( (x,y) \). Estoy considerando el caso \( m_x \geq 0 \) y \( y > 0 \).
No acabo de entender lo que pretendes demostrar. Hablas de cotar superior y de supremo, ¿pero de qué conjunto?.
Si por propiedad del supremo te refieres a que todo conjunto acotado superiormente, entonces si se cumple y la prueba sería así.
Sea \( A\subset \Bbb N\times \Bbb N \) un conjunto acotado superiormente. Por tanto existe \( (x_1,y_1) \) cota superior. Eso dignifica que para todo \( (x,y)\in A \):
i) \( x-y\leq x_1-y_1 \)
ii) si \( x-y=x_1-y_1 \) entonces \( y\leq y_1 \).
Sea \( A_1=\{x-y\in \Bbb Z|(x,y)\in A\} \). Por (i) es un conjunto de números enteros acotado superiomente y por tanto tiene máximo \( M \) y \( B=\{y\in \Bbb N|(y+M,y)\in A\}\neq\emptyset \). Ahora distinguimos dos casos:
a) Si \( B \) está acotado superiormente tiene máximo \( y_0 \) entonces el supremo (de hecho el máximo) de \( A \) es \( S=(y_0+M,y_0)\in A \).
Dado que pertenece al conjunto basta ver que \( S \) es una cota superior: dado \( (x,y)\in A \), se tiene que \( x-y\leq M=(y_0+M)-y_0 \) (por la propia definición de \( M \)). Si \( x-y<M=(y_0+M)-y_0 \) entonces \( (x,y)<S \). Si \( x-y=(y_0+M)-y_0=M \) se tiene que \( y\in B \) y entonces \( y\leq max(B)=y_0 \) y así \( (x,y)\leq S \).
b) Si \( B \) NO está acotado superiormente vemos que el supremo es \( S=(M+1,0) \):
b1) Es cota superior de \( A \) porque dado \( (x,y)\in A \) se tiene que \( x-y\leq M<M+1=M+1-0 \).
b2) Dado \( (x,y)\in A \) se tiene que \( x-y\leq M \).
Si \( x-y<M \) entonces por ser \( M \) máximo de \( A_1 \) existe \( (x',y')\in A \) tal que \( x'-y'=M>x-y \) y así \( (x,y)<(x',y')<S \).
Si \( x-y=M \) como \( B \) es no acotado, existe \( (x',y')\in A \) con \( x'-y'=M \) e \( y<y' \). Así \( (x,y)<(x',y')<S \).
Saludos.
P.D. Tengo la duda de si estás entendiendo los dibujos de la relación de orden. Porque más allá del formalismo, si los entiendes la idea de como se comporta esa relación debería de estar clara.
