[ancape]

Hola

Después de insertar el problema que titulé "Área zona circular" me di cuenta de que era trivial. Esta es una modificación que lo hace menos trivial.

Se da una circunferencia \( c \) y una cuerda \( k \). En el segmento que determinan \( c \) y \( k \) se considera la curva \( d \) que forman los puntos medios de los segmentos normales a la cuerda \( k \) delimitados entre \( k \) y \( c \) . Hallar el ángulo de la curvas \( c \) y \( d \) en sus puntos de encuentro

                                                                                       


Saludos

[delmar]

Hola

Veo que \( TN=TJ \) lo desarrollo analíticamente

Spoiler

Considerando una referencia XY centrada en el centro de la circunferencia c y de tal manera que el eje X es paralelo a la cuerda K, el problema queda determinado considerando el radio de la circunferencia R y la distancia del centro de la circunferencia O (origen de coordenadas) a la cuerda, denominando h a esta distancia. Denominando T (x,y) a un punto genérico de d se tiene por el enunciado :

TJ=TN esto implica \( y-h=\sqrt[ ]{R^2-x^2}-y \)    Ec 1 esta claro que N (X,Y) por pertenecer a c cumple \( X^2+Y^2=R^2 \) pero como \( X=x \) se tiene \( Y^2=\sqrt[ ]{R^2-x^2}\Rightarrow{Y=\sqrt[ ]{R^2-x^2}} \) por ello he puesto esta expresión en la Ec1

Desarrollando la Ec 1 se tiene \( 2y-h=\sqrt[ ]{R^2-x^2}\Rightarrow{4y^2-4hy+h^2=R^2-x^2} \) Ec 2, esta ecuación cumplen los puntos de la curva d. Ahora simplemente hallar vectores tangentes a d en A y B y finalmente hallar el ángulo que forman con los vectores tangentes a circunferencia en esos puntos.

Hallando los vectores tangentes, una forma es derivando la Ec 2, luego \( y'=\displaystyle\frac{-x}{4y-2h} \), las coordenadas de A y B son respectivamente \( (-\sqrt[ ]{R^2-h^2},h)\wedge (\sqrt[ ]{R^2-h^2},h) \) sustituyendo se tiene \( y'_A=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{R^2-h^2}}{2h}, \ \ y'_B=\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{R^2-h^2}}{2h} \)

Vectores tangentes a d en A y B son respectivamente \( (1,y'_A)\wedge (1,y'_B) \)

Los vectores tangentes unitarios a c en A y B son respectivamente \( (-sen \theta_A,cos \theta_A)\wedge (-sen \theta_B,cos \theta_B) \) donde los ángulos, son los ángulos polares respectivos \( \theta_B=arc sen \displaystyle\frac{h}{R}\wedge \theta_A=\pi-\theta_A \). Ahora sencillamente despejar el coseno de los productos internos de los vectores tangentes a la curva y los vectores tangentes a circunferencia en los puntos respectivos.

\( cos \alpha_B=\displaystyle\frac{(1,y'_B)\cdot{(-sen \theta_B,cos \theta_B)}}{\left\|{(1,y'_B)}\right\|}=\displaystyle\frac{-(h^2+R^2)}{R\sqrt[ ]{3h^2+R^2}} \)

De manera semejante para el otro ángulo

Error operativo, corregido en el coseno de \( \alpha_B \)

[cerrar]

Saludos

[ancape]

Hola

Veo que \( TN=TJ \) lo desarrollo analíticamente

Spoiler

Considerando una referencia XY centrada en el centro de la circunferencia c y de tal manera que el eje X es paralelo a la cuerda K, el problema queda determinado considerando el radio de la circunferencia R y la distancia del centro de la circunferencia O (origen de coordenadas) a la cuerda, denominando h a esta distancia. Denominando T (x,y) a un punto genérico de d se tiene por el enunciado :

TJ=TN esto implica \( y-h=\sqrt[ ]{R^2-x^2}-y \)    Ec 1 esta claro que N (X,Y) por pertenecer a c cumple \( X^2+Y^2=R^2 \) pero como \( X=x \) se tiene \( Y^2=\sqrt[ ]{R^2-x^2}\Rightarrow{Y=\sqrt[ ]{R^2-x^2}} \) por ello he puesto esta expresión en la Ec1

Desarrollando la Ec 1 se tiene \( 2y-h=\sqrt[ ]{R^2-x^2}\Rightarrow{4y^2-4hy+h^2=R^2-x^2} \) Ec 2, esta ecuación cumplen los puntos de la curva d. Ahora simplemente hallar vectores tangentes a d en A y B y finalmente hallar el ángulo que forman con los vectores tangentes a circunferencia en esos puntos.

Hallando los vectores tangentes, una forma es derivando la Ec 2, luego \( y'=\displaystyle\frac{-x}{4y-2h} \), las coordenadas de A y B son respectivamente \( (-\sqrt[ ]{R^2-h^2},h)\wedge (\sqrt[ ]{R^2-h^2},h) \) sustituyendo se tiene \( y'_A=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{R^2-h^2}}{2h}, \ \ y'_B=\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{R^2-h^2}}{2h} \)

Vectores tangentes a d en A y B son respectivamente \( (1,y'_A)\wedge (1,y'_B) \)

Los vectores tangentes unitarios a c en A y B son respectivamente \( (-sen \theta_A,cos \theta_A)\wedge (-sen \theta_B,cos \theta_B) \) donde los ángulos, son los ángulos polares respectivos \( \theta_B=arc sen \displaystyle\frac{h}{R}\wedge \theta_A=\pi-\theta_A \). Ahora sencillamente despejar el coseno de los productos internos de los vectores tangentes a la curva y los vectores tangentes a circunferencia en los puntos respectivos.

\( cos \alpha_B=\displaystyle\frac{(1,y'_B)\cdot{(-sen \theta_B,cos \theta_B)}}{\left\|{(1,y'_B)}\right\|}=\displaystyle\frac{3h^2-R^2}{R\sqrt[ ]{3h^2+R^2}} \)

De manera semejante para el otro ángulo

[cerrar]

Saludos

Hola

He mirado el desarrollo analítico que haces y veo que la idea es correcta pero el resultado final no. He llegado a ver que la ecuación del lugar de puntos medios que obtienes es correcto y luego para calcular el ángulo basta multiplicar los vectores tangentes unitarios. Ahí es donde debe estar el fallo pues la expresión \( cos \alpha_B=\displaystyle\frac{3h^2-R^2}{R\sqrt[ ]{3h^2+R^2}} \) es válida para \( h=0 \), \( h=R \) pero no para \( h=\displaystyle\frac{R}{2} \). Haciendo \( h=3 \) y \( R=6 \) gráficamente da un ángulo de \( 19.11º \) y la fórmula que expones \( 80.89º \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

He mirado el desarrollo analítico que haces y veo que la idea es correcta pero el resultado final no. He llegado a ver que la ecuación del lugar de puntos medios que obtienes es correcto y luego para calcular el ángulo basta multiplicar los vectores tangentes unitarios. Ahí es donde debe estar el fallo pues la expresión \( cos \alpha_B=\displaystyle\frac{3h^2-R^2}{R\sqrt[ ]{3h^2+R^2}} \) es válida para \( h=0 \), \( h=R \) pero no para \( h=\displaystyle\frac{R}{2} \). Haciendo \( h=3 \) y \( R=6 \) gráficamente da un ángulo de \( 19.11º \) y la fórmula que expones \( 80.89º \)

Hay un error en el numerador. Es:

\( cos \alpha_B=\displaystyle\frac{h^2+R^2}{R\sqrt[ ]{3h^2+R^2}} \)

[ani_pascual]

Hola:

Después de insertar el problema que titulé "Área zona circular" me di cuenta de que era trivial. Esta es una modificación que lo hace menos trivial.

Se da una circunferencia \( c \) y una cuerda \( k \). En el segmento que determinan \( c \) y \( k \) se considera la curva \( d \) que forman los puntos medios de los segmentos normales a la cuerda \( k \) delimitados entre \( k \) y \( c \) . Hallar el ángulo de la curvas \( c \) y \( d \) en sus puntos de encuentro

Con este nuevo enunciado llego a que \( \tan\alpha=\dfrac{k\sqrt{R^2-k^2}}{R^2+k^2} \) 
Cuando tenga tiempo lo detallo. Básicamente he usado la ecuación de la elipse \( d \) y la circunferencia \( c \) y la fórmula \( \tan\alpha=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_!\cdot m_2}\right| \) siendo \( m_1,m_2 \) las pendientes de las rectas tangentes a las curvas en el punto de corte \( B(\sqrt{R^2-k^2,k)} \)
Añadido:

Spoiler

\( d(N.T)=d(T,J)\Longleftrightarrow \sqrt{R^2-a^2}-b=b-k\Longrightarrow R^2-a^2=(2b-k)^2\Longrightarrow \dfrac{a^2}{R^2}+\dfrac{(b-k/2)^2}{R^2/4}=1 \)
Así, la pendiente de la recta tangente a la circuferencia \( c \) en \( B \) es \( m_1=\dfrac{-\sqrt{R^2-k^2}}{k} \) y la pendiente de la recta tangente a la elipse \( d \) en \( B \) es \( m_2=\dfrac{-\sqrt{R^2-k^2}}{2k} \) de donde
\( \tan\alpha=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2}\right|=\cdots =\dfrac{k\sqrt{R^2-k^2}}{R^2+k^2} \)

[cerrar]

Saludos.

[ancape]

Hola

Presento una demostración geométrica basada en el concepto de afinidad.

Spoiler

Sea \( k \) una recta del plano. La transformación \( f \) que a cada punto \( P \) del plano le hace corresponder \( P' \) tal que \( PP' \) sea perpendicular a \( k \) y \( distancia(P,P')=distancia(P,k)/2  \) es una afinidad, \( k \) es su eje, esto es el lugar de los puntos dobles.
Dada una circunferencia \( c \) que corte a \( k \), su homóloga por \( f \) es la elipse \( d \) formada por los puntos medios a que se refiere el enunciado.

El ángulo buscado es el ángulo que forman en el punto de corte \( B \) de circunferencia y elipse, la tangente a la circunferencia y la homóloga de esta recta. Basta pues hallar los homólogos de \( 2 \) puntos cualesquiera de \( c. \) \( B \) es uno de ellos y es doble. Elegimos un punto cualquiera \( P \) de la tangente en \( B \) a la circunferencia, su homólogo \( P' \) se halla como punto medio entre él y su proyección ortogonal en \( k \). La recta que determinan es la tangente a la elipse en \( B \).



En la hoja de Geogebra adjunta, basta mover la recta \( k \) para obtener los posibles ángulos.

[cerrar]

Saludos

[delmar]

Hola

Veo que \( TN=TJ \) lo desarrollo analíticamente

Spoiler

Considerando una referencia XY centrada en el centro de la circunferencia c y de tal manera que el eje X es paralelo a la cuerda K, el problema queda determinado considerando el radio de la circunferencia R y la distancia del centro de la circunferencia O (origen de coordenadas) a la cuerda, denominando h a esta distancia. Denominando T (x,y) a un punto genérico de d se tiene por el enunciado :

TJ=TN esto implica \( y-h=\sqrt[ ]{R^2-x^2}-y \)    Ec 1 esta claro que N (X,Y) por pertenecer a c cumple \( X^2+Y^2=R^2 \) pero como \( X=x \) se tiene \( Y^2=\sqrt[ ]{R^2-x^2}\Rightarrow{Y=\sqrt[ ]{R^2-x^2}} \) por ello he puesto esta expresión en la Ec1

Desarrollando la Ec 1 se tiene \( 2y-h=\sqrt[ ]{R^2-x^2}\Rightarrow{4y^2-4hy+h^2=R^2-x^2} \) Ec 2, esta ecuación cumplen los puntos de la curva d. Ahora simplemente hallar vectores tangentes a d en A y B y finalmente hallar el ángulo que forman con los vectores tangentes a circunferencia en esos puntos.

Hallando los vectores tangentes, una forma es derivando la Ec 2, luego \( y'=\displaystyle\frac{-x}{4y-2h} \), las coordenadas de A y B son respectivamente \( (-\sqrt[ ]{R^2-h^2},h)\wedge (\sqrt[ ]{R^2-h^2},h) \) sustituyendo se tiene \( y'_A=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{R^2-h^2}}{2h}, \ \ y'_B=\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{R^2-h^2}}{2h} \)

Vectores tangentes a d en A y B son respectivamente \( (1,y'_A)\wedge (1,y'_B) \)

Los vectores tangentes unitarios a c en A y B son respectivamente \( (-sen \theta_A,cos \theta_A)\wedge (-sen \theta_B,cos \theta_B) \) donde los ángulos, son los ángulos polares respectivos \( \theta_B=arc sen \displaystyle\frac{h}{R}\wedge \theta_A=\pi-\theta_A \). Ahora sencillamente despejar el coseno de los productos internos de los vectores tangentes a la curva y los vectores tangentes a circunferencia en los puntos respectivos.

\( cos \alpha_B=\displaystyle\frac{(1,y'_B)\cdot{(-sen \theta_B,cos \theta_B)}}{\left\|{(1,y'_B)}\right\|}=\displaystyle\frac{3h^2-R^2}{R\sqrt[ ]{3h^2+R^2}} \)

De manera semejante para el otro ángulo

[cerrar]

Saludos

Hola

He mirado el desarrollo analítico que haces y veo que la idea es correcta pero el resultado final no. He llegado a ver que la ecuación del lugar de puntos medios que obtienes es correcto y luego para calcular el ángulo basta multiplicar los vectores tangentes unitarios. Ahí es donde debe estar el fallo pues la expresión \( cos \alpha_B=\displaystyle\frac{3h^2-R^2}{R\sqrt[ ]{3h^2+R^2}} \) es válida para \( h=0 \), \( h=R \) pero no para \( h=\displaystyle\frac{R}{2} \). Haciendo \( h=3 \) y \( R=6 \) gráficamente da un ángulo de \( 19.11º \) y la fórmula que expones \( 80.89º \)

Saludos

Sí ancape hay un error operativo en la fórmula del coseno, la correcta es  \( cos \alpha_B=\displaystyle\frac{-(h^2+R^2)}{R\sqrt[ ]{3h^2+R^2}} \) el signo positivo o negativo da el mismo resultado por que se refiere a \( \alpha_B \vee \pi-\alpha_B \), ya lo corregí, gracias.

Saludos