[Frankoper]

Hola a todos!

Tengo que demostrar por definicion el siguiente enunciado:

El conjunto \( A=\left\{(x,y):y\neq 1 \right\}\subset {R}^{2} \) es abierto.

Entiendo que tengo que tomar un par ordenado arbitrario y luego demostrar que su segunda componente es distinta de 1 y que por lo tanto

pertenece al conjunto A, pero no estoy seguro si eso alcanza para demostrarlo

[Masacroso]

Hola a todos!

Tengo que demostrar por definicion el siguiente enunciado:

El conjunto \( A=\left\{(x,y):y\neq 1 \right\}\subset {R}^{2} \) es abierto.

Entiendo que tengo que tomar un par ordenado arbitrario y luego demostrar que su segunda componente es distinta de 1 y que por lo tanto

pertenece al conjunto A, pero no estoy seguro si eso alcanza para demostrarlo

Es suficiente con observar que la proyección canónica \( \pi: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, (x,y)\mapsto y \) es continua en la topología estándar de \( \mathbb{R}^2 \) y de \( \mathbb{R} \), y que por tanto \( \pi^{-1}(1) \) es cerrado, ergo...


Otra forma: si tomas \( P:=(x,y) \) con \( y\neq 1 \) entonces puedes buscar un \( \epsilon >0 \) tal que si \( P'=(x',1) \) para algún \( x'\in \mathbb{R} \) entonces \( P'\notin \mathbb{B}(P,\epsilon ) \). Para eso tienes que partir del hecho de que si \( y\neq 1 \) entonces \( \|(x',1)-(x,y)\|_2^2=\|(x'-x,1-y)\|_2^2=(x'-x)^2+(1-y)^2\geqslant (1-y)^2>0 \), por lo que es suficiente con tomar \( \epsilon <|1-y| \).

[Frankoper]

Muchas gracias!

Saludos!

[ani_pascual]

Hola:

El conjunto \( A=\left\{(x,y):y\neq 1 \right\}\subset {R}^{2} \) es abierto.

Entiendo que tengo que tomar un par ordenado arbitrario y luego demostrar que su segunda componente es distinta de 1 y que por lo tanto

pertenece al conjunto A, pero no estoy seguro si eso alcanza para demostrarlo

Otra forma, análoga a la segunda de Masacroso
Dado \( (x,y)\in A\Longrightarrow y\neq 1\Longrightarrow |y-1|=\varepsilon >0 \); entonces \( (x,y)\in B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,y)\subset A \) ya que \( (x',y')\in B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,y)\Longrightarrow \varepsilon=|y-1|\leq |y-y'|+|y'-1|\leq \|(x,y)-(x',y')\|_2+|y'-1|<\dfrac{\varepsilon}{2}+|y'-1|\Longrightarrow 0<\dfrac{\varepsilon}{2}<|y'-1|\Longrightarrow y'\neq 1\Longrightarrow (x',y')\in A \)
donde \( B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x,y) \) es la bola euclídea abierta de radio \( \dfrac{\varepsilon}{2}>0 \) centrada en \( (x,y) \)
Saludos

[Frankoper]

Gracias!

Saludos!