Hola
Se tiene que:
\( sin(nx)=\displaystyle\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}\binom{n}{2k+1}(-1)^ksin^{2k+1}(x)cos^{n-2k-1}(x) \)
\( cos(nx)=\displaystyle\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom{n}{2k}(-1)^ksin^{2k}(x)cos^{n-2k}(x) \)
Una forma de demostrarlo es tener en cuenta que la matriz de giro de ángulo \( x \) es:
\( G(x)=\begin{pmatrix}{\phantom{-} cos(x)}&{sin(x)}\\{-sin(x)}&{cos(x)}\end{pmatrix}=cos(x)Id+sin(x)A \)
donde \( A=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix} \).
\( G(nx)=\begin{pmatrix}{\phantom{-} cos(nx)}&{sin(nx)}\\{-sin(nx)}&{cos(nx)}\end{pmatrix} \) (*)
Pero también:
\( G(nx)=G(x)^n=(cos(x)Id+sin(x)A)^n \)
Dado que \( Id \) y \( A \) conmutan se puede usar la fórmula del binomio de Newton:
\( (cos(x)Id+sin(x)A)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}sin^i(x)cos^{n-i}(x)A^i \) (**)
Teniendo en cuenta que \( A^2=-Id \), \( A^3=-A \), \( A^4=Id \), igualando (*) con (**) y teniendo en cuenta que a la posición \( (1,1) \) de la matriz solo contribuyen los términos pares y a los de la posición \( (2,1) \) sólo los impares, se obtienen las fórmulas deseadas.
Saludos.
