[CarlosM]

¿Me podrían guiar con la parte de la superficie? Está como raro.

$$\iint_{S}F.dS$$ donde S es la parte de la superficie definida por $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$$ y $$x+y+z \geq 1$$ donde $$ F = (y-z,z-x,x-y) $$



Mensaje de la moderación: se ha insertado la imagen adjunta en el texto. Aquí tienes un tutorial sobre cómo se hace.

[ancape]

¿Me podrían guiar con la parte de la superficie? Está como raro.

$$\iint_{S}F.dS$$ donde S es la parte de la superficie definida por $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$$ y $$x+y+z \geq 1$$ donde $$ F = (y-z,z-x,x-y) $$

No sé a que te refieres con la palabra "raro". Yo veo una esfera cortada por el plano \( x+y+z=1 \) esto es, el plano que determinan los puntos \( (1,0,0) \),\( (0,1,0) \), \( (0,0,1) \) que pertenecen a tal esfera. La superficie en la que se integra es pues una porción de esa esfera y la función a integrar es un función de 3 variables definida en ella.

                                                                                       
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

¿Me podrían guiar con la parte de la superficie? Está como raro.

$$\iint_{S}F.dS$$ donde S es la parte de la superficie definida por $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$$ y $$x+y+z \geq 1$$ donde $$ F = (y-z,z-x,x-y) $$

Parece que es \( F=rot\,G \), con \( G(x,y,z)=\left(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2},\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2},\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\right) \).
Por tanto, \( \displaystyle\int_SF\,dS=\displaystyle\int_S rot\,G\,dS\stackrel{T.S.}{=}\displaystyle\int_{\Gamma}G\,dl \) donde \( \Gamma \) es la elipse intersección entre la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \) y el plano \( x+y+z=1 \)
Saludos

[ancape]

...... donde \( \Gamma \) es la elipse intersección entre la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \) y el plano \( x+y+z=1 \)

!¡ Hombre !!, \( \Gamma \) es una circunferencia. Efectivamente, toda circunferencia es elipse, pero no le compliquemos la vida a CarlosM.

Saludos

[CarlosM]

si claramente es una circunferencia pues haciendo $$a=b=1$$ de $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ esta aclarado

[Masacroso]

Tenemos que \( \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=(\mathbf{F}\cdot \mathbf{n})dS \) con \( \mathbf{n}=\tfrac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) \). Por tanto

\( \displaystyle{
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\frac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x(y-z)+y(z-x)+z(x-y))dS=0dS=0
} \)

Así que la integral vale cero.


Hay una forma mucho más directa de darse cuenta que la integral debía ser cero, y es observar que \( \mathbf{F} \) es perpendicular a \( \mathbf{n} \) por definición tal y como aparece en el enunciado original del ejercicio en la imagen adjunta.

[ani_pascual]

Hola:

!¡ Hombre !!, \( \Gamma \) es una circunferencia. Efectivamente, toda circunferencia es elipse, pero no le compliquemos la vida a CarlosM.

También hay quien usa rectángulo para referirse a cuadrado  Mis disculpas a CarlosM 
Saludos