[ancape]

Dada una elipse \( e \) y un punto exterior a ella \( P \). Encontrar un punto \( R \) que equidiste de \( P \) y \( e \) de forma que si \( Q \) es el punto de mínima distancia de \( R \) a la elipse, el triángulo \( PQR \) sea equilátero.



La hoja de Geogebra que adjunto da una solución pero la he obtenido numéricamente por lo que no estoy muy satisfecho aunque pueda hacerlo con la precisión que elija. Si tenéis alguna idea no numérica os lo agradeceré. Puede verse el triángulo buscado moviendo el punto \( P \)


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Se puede plantear un sistema de ecuaciones para hallar el vértice del triángulo buscado que está sobre la elipse, pero no parece que pueda resolverse sin métodos numéricos.

Spoiler

Si la elipse tiene por ecuación \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \), y el punto \( P=(p,q) \) basta imponer que el ángulo que forman \( QP \) y la normal \( \vec n \) en \( Q \) sea de \( 60 \) grados. Eso equivale a:

\( 2(x/a^2,y/b^2)\cdot (p-x,q-y)=\|(x,y)\|\|(p,q)\| \)

\( \dfrac{2xp}{a^2}+\dfrac{2yp}{b^2}-2=\|(x,y)\|\|(p,q)\| \)

La otra ecuación es la de la elipse y entre ambas forman un sistema. Pero como digo no parece fácil de resolver.

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Es fácil solucionar el caso particular en el que la elipse es una circunferencia.

Spoiler

En ese caso el vértice \( Q \) puede hallarse como la intersección del arco capaz de \( 120 \) grados de los punto \( O \) (centro del la circunferencia) y \( P \) con la circunferencia original; o lo que es lo mismo la intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo equilátero de lado \( OP \) con la circunferencia original.

[cerrar]

Saludos.

[ancape]

Hola

 Es fácil solucionar el caso particular en el que la elipse es una circunferencia.

Spoiler

En ese caso el vértice \( Q \) puede hallarse como la intersección del arco capaz de \( 120 \) grados de los punto \( O \) (centro del la circunferencia) y \( P \) con la circunferencia original; o lo que es lo mismo la intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo equilátero de lado \( OP \) con la circunferencia original.

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Saludos.

A propósito de esta puntualización, otro enunciado equivalente del problema, sería buscar el punto \( X \) de la elipse cuya tangente forma un ángulo de 30º con el segmento \( PX \)



Saludos