Hola

Para ser diferenciable en un punto, la función tiene que ser necesariamente continua; pero no es suficiente. Es decir hay funciones continuas que no son diferenciables.

Saludos

Cita de: Cristhofer en 25 Abril, 2024, 02:15 am

¡Hola! ¿Alguien podría mostrarme un contraejemplo de esta afirmación?

Toma \( \mathbb{S}^1:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\} \), entonces \( \mathbb{S}^1\cap (\mathbb{R}\times \{0\})=\{(-1,0),(1,0)\} \).

Añado: en general como ejemplo puedes tomar la imagen de cualquier función continua \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2 \) tal que \( \operatorname{img}(f)\cap (\mathbb{R}\times \{0\}) \) sea un conjunto finito de cardinalidad al menos dos. En el ejemplo de arriba hemos usado la función \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2,\, x\mapsto (\cos x,\operatorname{sen}x) \) pero otro ejemplo sencillo sería con \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2,\, x\mapsto (x,x^2-1) \).

Pues depende del autor o de la convención que consideres. Si tomas la definición estricta que dice Masacroso, es conexo. Si tomas alguna variante de la definición, como por ejemplo "\( X \) es conexo si para todo par de abiertos \( A, B \) con \( X=A \cup B \) y \( \emptyset = A \cap B \) entonces exactamente uno de los conjuntos \( A,B \) es vacío", entonces el vacío no es conexo.

Yo diría que la convención más extendida en cursos de topología general es tomar la definición que te ha dado Masacroso y considerarlo conexo. Pero en algunos contextos conviene considerarlo como no conexo. Además, si consideras el vacío conexo tienes el problema de que, estrictamente hablando, no hay unicidad en la descomposición de un espacio topológico como unión de sus componentes conexas.

En realidad considerar el vacío conexo o no es un problema parecido a considerar el \( 1 \) primo o no. Fíjate que si lo consideráramos primo, estrictamente hablando tampoco habría unicidad en la factorización de un número natural como producto de primos. Esto es un fenómeno que ocurre con más propiedades, y es un ejemplo de lo que se llama "too simple to be simple".