Autor Tema: Integral de Riemann

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31 Octubre, 2012, 05:01 am
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einstenio16

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Expresar el límite de las siguientes sumas como una integral defi nida:

A) \( \displaystyle\lim_{\left |{P}\right | \to 0}{\sum_{i=1}^n{(x_i^2-x_{i-1}^2)}} \), \( \mathbb{P} \) partición de \( [-4,12] \)

B) \( \displaystyle\lim_{\left |{P}\right | \to 0}{\sum_{i=1}^n{\frac{2x_i}{1+x_i}(x_i-x_{i-1})}} \), \( \mathbb{P} \) partición de \( [0,\sqrt{2}] \)
Estudiante de Ingeniería Matemática de la Universidad de Santiago de Chile

31 Octubre, 2012, 08:32 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
B) \( \displaystyle\lim_{\left |{P}\right | \to 0}{\sum_{i=1}^n{\frac{2x_i}{1+x_i}(x_i-x_{i-1})}} \), \( \mathbb{P} \) partición de \( [0,\sqrt{2}] \)

Por ser \( f(x)=\displaystyle\frac{2x}{1+x} \) continua en \( [0,\sqrt{2}] \) y por un conocido teorema, \( \displaystyle\lim_{\left |{P}\right | \to 0}{\sum_{i=1}^n{\frac{2x_i}{1+x_i}(x_i-x_{i-1})}}=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\displaystyle\frac{2\;dx}{1+x} \).

Para A) usa que \( x_i^2-x_{i-1}^2=(x_i+x_{i-1})(x_i-x_{i-1}) \).