F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En vista a lo anterior, solo hemos visto identidades trigonométricas, es decir, que se cumplen en todos los ángulos correspondiente al dominio de cada función trigonométrica. Ahora bien, decimos función trigonométrica indistintamente de las razones trigonométricas; pero para entenderla como se debiera, debemos precisar éste análisis como funciones.

F.1. Función Seno

Recordemos la circunferencia trigonométrica. Si nos damos cuenta, \( \[-1 \le \sin x \le 1\] \), por lo tanto:

Definición 1.19: Se define la función seno como:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
f&:&\mathbb{R}& \to &{\left[ { - 1,1} \right]}\\
{}&{}&x& \to &{\sin x}
\end{array}\] \)

La función seno es una función periódica, y su período es \( 2 \pi \). También es una función impar, es decir, que \( \[\sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\] \). Se deja como ejercicio demostrar lo último. Entonces, su gráfica será la siguiente:


F.2. Función Coseno

Si nos damos cuenta, \( \[-1 \le \cos x \le 1\] \), por lo tanto:

Definición 1.19: Se define la función coseno como:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
f&:&\mathbb{R}& \to &{\left[ { - 1,1} \right]}\\
{}&{}&x& \to &{\cos x}
\end{array}\] \)

La función coseno es una función periódica, y su período es \( 2 \pi \). También es una función par, es decir, que \( \[\cos \left( { - x} \right) =  \cos x\] \). Se deja como ejercicio demostrar lo último. Entonces, su gráfica será la siguiente:


Como este curso no se preocupará de mayores detalles con estos tipos de funciones, se deja como ejercicio de investigación lo que pase con las otras razones trigonométricas.

P1. Encuentre un valor aproximado a las siguientes razones trigonométricas (no ocupe calculadora, utilice todos los recursos dados hasta ahora ¡Aunque le de flojera!):

A) \( \sin \displaystyle\frac{\pi}{7} \)

B) \( \cos \displaystyle\frac{2\pi}{15} \)

C) \( \sin \displaystyle\frac{3\pi}{10} \)

P2. Para \( \alpha \) y \( \beta \) ángulos de un triángulo rectángulo, donde \( \sin \alpha = \displaystyle\frac{4}{13} \) calcule el valor de :


P3. Exprese la expresión \( \displaystyle\frac{\sin 3\alpha - \csc 2\alpha}{\cos 3\alpha} \) en función de \( \tg \alpha \)

P4. Demuestre las siguientes identidades:

A) \( \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{\sec x - \tg x} - \sec x = \tg x - \displaystyle\frac{\cos ^2 x}{\sec x - \tg x}  \)

B) \( \displaystyle\frac{1}{8}(1- \cos 4x)= (\sin x \cos x)^2 \)

C) \( \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+ \sec ^2 x}+\displaystyle\frac{\cos ^2 x }{1 + \csc ^2}=\displaystyle\frac{3 \tg ^2 x}{2 \tg ^4 x + 5\tg ^2 x + 2 } \)

D) \( \displaystyle\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}= \tg ^2 (\displaystyle\frac{\pi}{4} + \displaystyle\frac{x}{2}) \)

P5. Si \( \[\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi \] \), demostrar que:

A) \( \[\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma  \le \dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}\] \)

B) \( \[\sin \dfrac{\alpha }{2} \sin \dfrac{\beta }{2}  \sin \dfrac{\gamma }{2} \le \dfrac{1}{8}\] \)

P6. Pruebe que \( \[\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{2\pi }}{7} + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\] \)

B) Prostaféresis de suma a producto:

Sabemos que:

\( \[\sin \underbrace {\left( {\alpha  + \beta } \right)}_x + \sin \underbrace {\left( {\alpha  - \beta } \right)}_y = 2\sin \alpha \cos \beta \] \)

Formaremos el siguiente sistema:


De donde obtenemos que \( \[\alpha  = \dfrac{{x + y}}{2} \wedge \beta  = \dfrac{{x - y}}{2}\] \)

Reemplazando en la primera ecuación:

(18)

Haciendo el mismo procedimiento, obtenemos que:

(19)

(20)

(21)

Ejemplo 1.16: Demuestre que \( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}=-4 \sin ^2 \alpha +1 \)

Para empezar la demostración, primero debemos saber cuánto equivale \( \cos 3 \alpha \).

\( \cos 3 \alpha = \cos (\alpha + 2 \alpha)=\cos \alpha \cos 2 \alpha + \sin \alpha \sin 2 \alpha = \cos \alpha (2 \cos ^2 \alpha - 1) + \sin \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha)=2 \cos ^3 \alpha - \cos \alpha + 2 \sin ^2 \alpha \cos \alpha = 4 \cos ^3 \alpha - 3 \cos \alpha \)

Entonces:

\( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{4 \cos ^3 \alpha - 3 \cos \alpha}{\cos \alpha}}\Leftrightarrow{4 \cos ^2 \alpha - 3} \)

Pero se que \( \cos ^2 \alpha = 1 - \sin ^2 \alpha \), entonces:

\( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}\Leftrightarrow{4(1 - \sin ^2 \alpha)-3}\Leftrightarrow{4-4\sin ^2 \alpha -3}\Leftrightarrow{1-4 \sin ^2 \alpha} \)

Ejercicio 1.17: Demuestre las siguientes igualdades:

A) \( \[\dfrac{{\left( {\sin 2x - 2} \right)\cos 2x}}{{2\cos x\left( {{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x} \right)\left( {\sec x - \csc x} \right)}} = \sin x\] \)

B) \( \[\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}} = \tg 2x + \sec 2x\] \)

Ejemplo 1.15: Deduzca la fórmula correspondiente para \( \cos (x-y) \).

Hay muchas formas de deducir ésta fórmula, yo solo daré la que me enseñaron.

Sea C una circunferencia trigonométrica (de radio 1). Trazamos el punto \( A(1,0) \) (solamente para simplificar un poco) y otros dos puntos en la circunferencia \( B \) y \( P \), arbitrarios.



Supongamos que \( \stackrel{\textstyle\frown}{AB} = y \) y \( \stackrel{\textstyle\frown}{AP} = x \), por lo tanto \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = y - x \).

En otra circunferencia trigonométrica, fijamos el mismo punto A, y trazamos un punto R tal que \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = \stackrel{\textstyle\frown}{AR}= y - x \)



Como \( P(\cos x, \sin x) \), \( B(\cos y, \sin y) \) y  \( R(\cos (y-x), \sin (y-x)) \), queda:

\( {\left| {PQ} \right|^2} = {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} + {\left( {\sin x - \sin y} \right)^2} \)

\( {\left| {AR} \right|^2} = {\left( {1 - \cos \left( {y - x} \right)} \right)^2} + \sin ^2 \left( {y - x} \right)} \)

Como \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = \stackrel{\textstyle\frown}{AR}= y - x \), entonces

\( {\left| {PQ} \right|^2} = {\left| {AR} \right|^2} \Leftrightarrow {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} + {\left( {\sin x - \sin y} \right)^2} = {\left( {1 - \cos \left( {y - x} \right)} \right)^2} + {\sin ^2}\left( {y - x} \right) \)

\( \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y + {\sin ^2}x - 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y = 1 - 2\cos \left( {y - x} \right) + {\cos ^2}\left( {y - x} \right) + {\sin ^2}\left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow 2 - 2\cos x\cos y - 2\sin x\sin y = 2 - 2\cos \left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow 2\cos x\cos y + 2\sin x\sin y = 2\cos \left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow \cos \left( {y - x} \right) = \cos \left( {x - y} \right) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\] \)

Es verdadero, pues te preguntan si \( \left\{{5,7}\right\} \) es subconjunto de A, lo que es así...

Ahora, veremos las identidades de adición de ángulos... estas son:

(4)

(5)

(6)

(7)

Ejemplo 1.11: Encontrar una expresión equivalente para \( \tg (\alpha + \beta) \)

Yo sé que:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}}  \)

Ocupamos entonces las identidades para la suma de ángulos:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha}}  \)

Algunos diran: "¡Pero nos queda peor!"... No está todo perdido, chicos. Unos cuántos años estudiando matemática me han enseñado una cosa que cualquiera que se mete con matemática un poco más avanzada debe saber... ¡Multiplicar por 1!

Pero me dirán entonces: "¿Qué?... ¡Estás enfermo!... Si yo sé multiplicar por 1"... ¡OJO! el 1 por el cual multiplico va camuflado... ¡ese es el famoso truco!... veamos: Multiplicaremos la expresión por secante sobre secante, de esta forma:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha}\cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\displaystyle\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1-\displaystyle\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}}  \)

Una expresión mucho más amigable, y es lo que buscábamos...

Ejercicio 1.12 Haga lo mismo con \( \tg (\alpha - \beta) \)

Ejemplo 1.13: Demuestre que:

\( \cos (x+y) \cos y + \sin (x + y) \sin y = \cos x \)

Notar que:

\( \cos (x+y) \cos y + \sin (x + y) \sin y \Leftrightarrow{(\cos x \cos y - \sin x \sin y) \cos y + (\sin x \cos y + \sin y \cos x) \sin y \Leftrightarrow{\cos x \cos ^2 y - \sin x \cos y \sin y + \sin x \sin y \cos y + \sin ^2 y \cos x}}\Leftrightarrow{\cos x (\sin ^2 y + \cos ^2 y)}\Leftrightarrow{\cos x} \)

Ejemplo 1.7: Demostrar que:

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1-3 \sen ^2 \alpha \cos ^2 \alpha  \)

Recuerda que \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab + b^2) \)... con eso tenemos "listo" el ejercicio, pues yo se que \( \sin ^6 \alpha = (\sin ^2 \alpha)^3 \) (así mismo con el coseno).

Entonces:

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha) \)}

Se nos apareció la identidad fundamental (¡Qué bueno...!), pero tengo los senos y cosenos a la cuarta... ¡muy simple! completamos cuadrados... vamos a reordenar términos para que quede más claro...

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha)}\Leftrightarrow{\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha  + 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 -2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha }\Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 -3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha }\Leftrightarrow{1 - 3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha} \)

Ejemplo 1.8: Demostrar que:

\( 3(\cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha)-2 (\cos ^6 \alpha + \sin ^6 \alpha)= 1 \)

Previamente: Tal como hicimos en el ejemplo 1.7, para encontrar una expresión equivalente a \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \) es necesario completar cuadrados...

\( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \Leftrightarrow{\cos ^4 \alpha +2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha+ \sin ^4 \alpha - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha)^2 -2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha} \)

Volviendo al ejemplo... En el ejemplo anterior vimos que \( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1-3 \sen ^2 \alpha \cos ^2 \alpha  \) y en lo previo \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha =1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha \), entonces:

\( 3(\cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha)-2 (\cos ^6 \alpha + \sin ^6 \alpha)\Leftrightarrow{3(1-2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha)-2(1-3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha)}\Leftrightarrow{3-6\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha -2 +6\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{1} \)

Ejemplo 1.9: Demostrar que:

\( \sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^2 x- \cos ^2 x)(1- 2 \sin ^2 x \cos ^2 x) \)

Indicación: Como sugerencia, acuérdense de algunas factorizaciones (o factoraciones) conocidas, como por ejemplo: \( a^8 - b^8 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^4 + b^4) \)...

Volviendo al problema, es evidente que la factorización que les di les ayuda bastante... veamos:

\( \sin ^8 x - \cos ^8 x \Leftrightarrow{(\sin ^2 x + \cos ^2 x) (\sin ^2 x - \cos ^2 x) (\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{1 \cdot (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\cos ^4 x + \sin ^4 x)} \)

Pero yo sé que \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha =1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha \), entonces:


\( \sin ^8 x - \cos ^8 x \Leftrightarrow{(\sin ^2 x + \cos ^2 x) (\sin ^2 x - \cos ^2 x) (\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{1 \cdot (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(1- 2 \sin ^2 x \cos ^2 x)} \)


Ejemplo 1.10: Demostrar que:

\( \displaystyle\frac{\tg x + \cotg y}{\cotg x + \tg y}= \displaystyle\frac{\tg x}{\tg y} \)

Nótese que:

\( \displaystyle\frac{\tg x + \cotg y}{\cotg x + \tg y}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg x + \displaystyle\frac{1}{\tg y}}{\displaystyle\frac{1}{\tg x }+ \tg y}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\tg x \tg y +1}{\tg y}}{\displaystyle\frac{\tg x \tg y +1}{\tg x }}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg x}{\tg y}}  \)

D. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Previamente:

Llámese Sentido Positivo si el ángulo se mide en sentido Antihorario
Llámese Sentido Negativo si el ángulo se mide en sentido Horario

(Definición mía) Se llama cuadrante a cualquier "cuarto de plano" limitado por los ejes de las abscisas (o X) y de las ordenadas (o Y)

Entonces se tendrá que:

El eje de las abscisas  será positivo tanto en el primer cuadrante como en el cuarto cuadrante, en el segundo y en el tercer cuadrante, este será  negativo

El eje de las ordenadas será positivo tanto en el primer cuadrante como en el segundo cuadrante, en el tercer y cuarto cuadrante este será negativo



Llamaremos radio al segmento que une el centro de la circunferencia y cualquier punto de la circunferencia. ¿Por qué digo "cualquier"? Pues porque la longitud del radio permanece constante en cualquier punto de la circunferencia. Por convención, este radio será siempre positivo.

Entonces:

• En el primer cuadrante, tanto la abscisa como la ordenada son positivos; por lo tanto: \( \sen \alpha \), \( \cos \alpha \) y \( \tg \alpha \) son positivos.
• En el segundo cuadrante, la abscisa es negativa y la ordenada es positiva; por lo tanto: \( \sen \alpha \) es positivo y, \( \cos \alpha \) y \( \tg \alpha \) son negativos
• En el tercer cuadrante, tanto la abscisa y la ordenada son negativas; por lo tanto: \( \sen \alpha \) y \( \cos \alpha \) son negativos, y \( \tg \alpha \) es positivo
• En el cuarto cuadrante, la abscisa es positiva y la ordenada es negativa; por lo tanto: \( \cos \alpha \) es positivo y, \( \sin \alpha \)  y \( \tg \alpha \) son negativos.

Hay una regla mnemotécnica para recordarse de los signos de las razones trigonométricas:

TODO - SIN - TA - COS
  I      -   II   -  III -  IV

Quiere decir: si yo me ubico en el primer cuadrante, TODOs son positivos. Si me ubico en el segundo, SINo (seno) es positivo. Si me ubico en el tercer cuadrante, TAngente es positivo. Y si me ubico en el cuarto cuadrante, COSeno es positivo...

Definición 1.5 Se define que:

\( \tg x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x} \) (Tangente)

\( \cotg x = \displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} \) (Cotangente)

\( \sec x = \displaystyle\frac{1}{\cos x} \) (Secante)

\( \csc x = \displaystyle\frac{1}{\sin x} \)

B. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Considere un triángulo \( ABC \) recto en C y sea \( \alpha \) un ángulo agudo. Sean \( a  \)el cateto opuesto a \( \alpha \), \( b \) el cateto adyacente a \( \alpha \) y \( c \) la hipotenusa.


Definiremos el seno de \( \alpha \) como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir:


Definiremos el coseno de \( \alpha \) como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, es decir:


En base a la definición 1.5, se tiene que :