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Mensajes - einstenio16

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F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En vista a lo anterior, solo hemos visto identidades trigonométricas, es decir, que se cumplen en todos los ángulos correspondiente al dominio de cada función trigonométrica. Ahora bien, decimos función trigonométrica indistintamente de las razones trigonométricas; pero para entenderla como se debiera, debemos precisar éste análisis como funciones.

F.1. Función Seno

Recordemos la circunferencia trigonométrica. Si nos damos cuenta, \( \[-1 \le \sin x \le 1\] \), por lo tanto:

Definición 1.19: Se define la función seno como:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
f&:&\mathbb{R}& \to &{\left[ { - 1,1} \right]}\\
{}&{}&x& \to &{\sin x}
\end{array}\] \)

La función seno es una función periódica, y su período es \( 2 \pi \). También es una función impar, es decir, que \( \[\sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\] \). Se deja como ejercicio demostrar lo último. Entonces, su gráfica será la siguiente:


F.2. Función Coseno

Si nos damos cuenta, \( \[-1 \le \cos x \le 1\] \), por lo tanto:

Definición 1.19: Se define la función coseno como:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
f&:&\mathbb{R}& \to &{\left[ { - 1,1} \right]}\\
{}&{}&x& \to &{\cos x}
\end{array}\] \)

La función coseno es una función periódica, y su período es \( 2 \pi \). También es una función par, es decir, que \( \[\cos \left( { - x} \right) =  \cos x\] \). Se deja como ejercicio demostrar lo último. Entonces, su gráfica será la siguiente:


Como este curso no se preocupará de mayores detalles con estos tipos de funciones, se deja como ejercicio de investigación lo que pase con las otras razones trigonométricas.

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En base a lo anterior, nótese que:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin p = \sin q}& \Leftrightarrow &{\sin p - \sin q = 0}\\
{}& \Leftrightarrow &{2\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}\\
{}& \Rightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}& \vee &{\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}
\end{array}}
\end{array}\] \)

Ahora, nos preguntaremos lo siguiente:

¿En qué ángulos el seno se hace 0? ¿y en qué ángulos ocurre lo mismo con el coseno?

Recordemos pues la circunferencia trigonométrica: Si el punto \( P(\cos x, \sin x) \) recorre toda la circunferencia, veremos que los valores notables se dan en los puntos \( (1,0) \) ; \( (0,1) \) ; \( (-1,0) \) y \( (0,-1) \), que son respectivamente cuando x vale \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \), \( \pi \), \( \displaystyle\frac{3\pi}{2} \) y \( 2\pi \). Los casos a observar son los siguientes:

\( \[x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \wedge &{\sin x = 1}
\end{array}\] \)

\( \[x = \pi  \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x =  - 1}& \wedge &{\sin x = 0}
\end{array}\] \)

\( \[x = \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \wedge &{\sin x =  - 1}
\end{array}\] \)

\( \[x = 2\pi  \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 1}& \wedge &{\sin x = 0}
\end{array}\] \)

En particular:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x = 0}& \Leftrightarrow &{x = k\pi }
\end{array}\] \) con \( k \in \mathbb{Z} \)

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \Leftrightarrow &{x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}\] \) con \( k \in \mathbb{Z} \)

Volviendo al problema, se tiene que:

\( \[\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p - q}}{2} = k\pi  \Rightarrow p - q = 2k\pi \] \)

\( \[\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p + q}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow p - q = \pi  + 2k\pi  = \left( {2k + 1} \right)\pi \] \)

Ahora, el otro caso a analizar sería el siguiente:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos p = \cos q}& \Leftrightarrow &{\cos p - \cos q = 0}\\
{}& \Leftrightarrow &{2\sin \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}\\
{}& \Rightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}& \vee &{\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}
\end{array}}
\end{array}\] \)

De esto:

\( \[\sin \left( {\dfrac{{p \pm q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p \pm q}}{2} = k\pi  \Rightarrow p \pm q = 2k\pi \] \)


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GUÍA Nº 1 - TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
TRIGONOMETRÍA BÁSICA PARTE 1

P1. Encuentre un valor aproximado a las siguientes razones trigonométricas (no ocupe calculadora, utilice todos los recursos dados hasta ahora ¡Aunque le de flojera!):

A) \( \sin \displaystyle\frac{\pi}{7} \)

B) \( \cos \displaystyle\frac{2\pi}{15} \)

C) \( \sin \displaystyle\frac{3\pi}{10} \)

P2. Para \( \alpha \) y \( \beta \) ángulos de un triángulo rectángulo, donde \( \sin \alpha = \displaystyle\frac{4}{13} \) calcule el valor de :

\( \displaystyle\frac{\cos 3\alpha - 15\cos 2\beta + 1}{\sec (\alpha + 2) - 1 } \)

P3. Exprese la expresión \( \displaystyle\frac{\sin 3\alpha - \csc 2\alpha}{\cos 3\alpha} \) en función de \( \tg \alpha \)

P4. Demuestre las siguientes identidades:

A) \( \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{\sec x - \tg x} - \sec x = \tg x - \displaystyle\frac{\cos ^2 x}{\sec x - \tg x}  \)

B) \( \displaystyle\frac{1}{8}(1- \cos 4x)= (\sin x \cos x)^2 \)

C) \( \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+ \sec ^2 x}+\displaystyle\frac{\cos ^2 x }{1 + \csc ^2}=\displaystyle\frac{3 \tg ^2 x}{2 \tg ^4 x + 5\tg ^2 x + 2 } \)

D) \( \displaystyle\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}= \tg ^2 (\displaystyle\frac{\pi}{4} + \displaystyle\frac{x}{2}) \)

P5. Si \( \[\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi \] \), demostrar que:

A) \( \[\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma  \le \dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}\] \)

B) \( \[\sin \dfrac{\alpha }{2} \sin \dfrac{\beta }{2}  \sin \dfrac{\gamma }{2} \le \dfrac{1}{8}\] \)

P6. Pruebe que \( \[\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{2\pi }}{7} + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\] \)

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Ejemplo 1.18: Demostrar que:

\( \[\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi  \Rightarrow \sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 4\cos \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\beta }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

se tiene que:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  = 2\sin \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2}\] \)

Ahora:

\( \[\dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}} \right) = \cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Reemplazando en la expresión a demostrar:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \gamma \] \)

Notar también que:

\( \[\sin \gamma  = \sin \left( {2 \cdot \dfrac{\gamma }{2}} \right) = 2\sin \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + 2\sin \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2} = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \dfrac{\gamma }{2}} \right)\] \)

Pero habíamos dicho que

\( \[\cos \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}} \right) = \sin \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \dfrac{\gamma }{2}} \right) = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \cos \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right) = 4\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\beta }{2}\] \)

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B) Prostaféresis de suma a producto:

Sabemos que:

\( \[\sin \underbrace {\left( {\alpha  + \beta } \right)}_x + \sin \underbrace {\left( {\alpha  - \beta } \right)}_y = 2\sin \alpha \cos \beta \] \)

Formaremos el siguiente sistema:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha  + \beta  = x}\\
{\alpha  - \beta  = y}
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

De donde obtenemos que \( \[\alpha  = \dfrac{{x + y}}{2} \wedge \beta  = \dfrac{{x - y}}{2}\] \)

Reemplazando en la primera ecuación:

\( \[\sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}\] \)
(18)

Haciendo el mismo procedimiento, obtenemos que:

\( \[\sin x - \sin y = 2\sin \dfrac{{x - y}}{2}\cos \dfrac{{x + y}}{2}\] \)
(19)

\( \[\cos x + \cos y = 2\cos \dfrac{{x - y}}{2}\cos \dfrac{{x + y}}{2}\] \)
(20)

\( \[\cos x - \cos y = 2\sin \dfrac{{x - y}}{2}\sin \dfrac{{x + y}}{2}\] \)
(21)

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Prostaféresis

Corresponde a diversas identidades trigonométricas que me permiten transformar una suma en producto o viceversa.

A) Prostaféresis de producto a suma:

- Sea el sistema siguiente:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta }\\
{\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  - \cos \alpha \sin \beta }
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

Sumando las dos ecuaciones nos queda:

\( \[\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 2\sin \alpha \cos \beta \] \)

Y, por lo tanto:

\( \[\dfrac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \sin \alpha \cos \beta \] \)
(14)

Así, se tendrá:

\( \[\dfrac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) - \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \cos \alpha \sin \beta \] \)
(15)

- Sea el sistema siguiente:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta }\\
{\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta }
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

Sumando las ecuaciones, nos queda:

\( \[\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = 2\cos \alpha \cos \beta \] \)

Entonces:

\( \[\dfrac{{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \cos \alpha \cos \beta \] \)
(16)

Asimismo, restamos las ecuaciones:

\( \[\dfrac{{\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{2} = \sin \alpha \sin \beta \] \)
(17)

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Ejemplo 1.16: Demuestre que \( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}=-4 \sin ^2 \alpha +1 \)

Para empezar la demostración, primero debemos saber cuánto equivale \( \cos 3 \alpha \).

\( \cos 3 \alpha = \cos (\alpha + 2 \alpha)=\cos \alpha \cos 2 \alpha + \sin \alpha \sin 2 \alpha = \cos \alpha (2 \cos ^2 \alpha - 1) + \sin \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha)=2 \cos ^3 \alpha - \cos \alpha + 2 \sin ^2 \alpha \cos \alpha = 4 \cos ^3 \alpha - 3 \cos \alpha \)

Entonces:

\( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{4 \cos ^3 \alpha - 3 \cos \alpha}{\cos \alpha}}\Leftrightarrow{4 \cos ^2 \alpha - 3} \)

Pero se que \( \cos ^2 \alpha = 1 - \sin ^2 \alpha \), entonces:

\( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}\Leftrightarrow{4(1 - \sin ^2 \alpha)-3}\Leftrightarrow{4-4\sin ^2 \alpha -3}\Leftrightarrow{1-4 \sin ^2 \alpha} \)

Ejercicio 1.17: Demuestre las siguientes igualdades:

A) \( \[\dfrac{{\left( {\sin 2x - 2} \right)\cos 2x}}{{2\cos x\left( {{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x} \right)\left( {\sec x - \csc x} \right)}} = \sin x\] \)

B) \( \[\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}} = \tg 2x + \sec 2x\] \)

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Razones trigonométricas de ángulo duplo (o doble)

Son muy fáciles de deducir por suma de ángulos, asumiendo que dichos ángulos son iguales.

\( \sin (2 \alpha) = \sin (\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
(8)

\( \cos (2 \alpha) = \cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha = \cos ^2 \alpha - \sin \alpha \)
(9)

\( \tg (2 \alpha) = \tg (\alpha + \alpha) = \displaystyle\frac{\tg \alpha + \tg \alpha}{1- \tg \alpha \tg \alpha}= \displaystyle\frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg ^2 \alpha} \)
(10)

En el caso del coseno, por la identidad fundamental se obtiene que

\( \[\cos \left( {2\alpha } \right) = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\] \)

De estas fórmulas, específicamente del coseno,  obtenemos:

Razones trigonométricas de ángulo medio

Yo sé que \( \cos \alpha = \cos \left( {2 \cdot \frac{\alpha }{2}} \right)=\[2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1\] \)

Despejando \( \cos \displaystyle\frac{\alpha}{2} \):

\( \[\cos \dfrac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\dfrac{{\cos \alpha  + 1}}{2}} \] \)
(11)

También sé que \( \[\cos \alpha  = \cos \left( {2 \cdot \dfrac{\alpha }{2}} \right) = 1 - 2 {\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2}\] \)

Despejando \( \sin \displaystyle\frac{\alpha}{2} \):

\( \[ \pm \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}}  = {\sin}\dfrac{\alpha }{2}\] \)
(12)

Ahora bien, tenemos que:

\( \tg \displaystyle\frac{\alpha}{2} = \[\dfrac{{\sin \dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}} }}{{\sqrt {\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{2}} }} = \pm \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}} \] \)
(13)

El signo de (11), (12) y (13) depende del cuadrante donde esta el ángulo.


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Ejemplo 1.15: Deduzca la fórmula correspondiente para \( \cos (x-y) \).

Hay muchas formas de deducir ésta fórmula, yo solo daré la que me enseñaron.

Sea C una circunferencia trigonométrica (de radio 1). Trazamos el punto \( A(1,0) \) (solamente para simplificar un poco) y otros dos puntos en la circunferencia \( B \) y \( P \), arbitrarios.



Supongamos que \( \stackrel{\textstyle\frown}{AB} = y \) y \( \stackrel{\textstyle\frown}{AP} = x \), por lo tanto \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = y - x \).

En otra circunferencia trigonométrica, fijamos el mismo punto A, y trazamos un punto R tal que \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = \stackrel{\textstyle\frown}{AR}= y - x \)



Como \( P(\cos x, \sin x) \), \( B(\cos y, \sin y) \) y  \( R(\cos (y-x), \sin (y-x)) \), queda:

\( {\left| {PQ} \right|^2} = {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} + {\left( {\sin x - \sin y} \right)^2} \)

\( {\left| {AR} \right|^2} = {\left( {1 - \cos \left( {y - x} \right)} \right)^2} + \sin ^2 \left( {y - x} \right)} \)

Como \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = \stackrel{\textstyle\frown}{AR}= y - x \), entonces

\( {\left| {PQ} \right|^2} = {\left| {AR} \right|^2} \Leftrightarrow {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} + {\left( {\sin x - \sin y} \right)^2} = {\left( {1 - \cos \left( {y - x} \right)} \right)^2} + {\sin ^2}\left( {y - x} \right) \)

\( \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y + {\sin ^2}x - 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y = 1 - 2\cos \left( {y - x} \right) + {\cos ^2}\left( {y - x} \right) + {\sin ^2}\left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow 2 - 2\cos x\cos y - 2\sin x\sin y = 2 - 2\cos \left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow 2\cos x\cos y + 2\sin x\sin y = 2\cos \left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow \cos \left( {y - x} \right) = \cos \left( {x - y} \right) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\] \)

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Teoría de Conjuntos / Re: Inclusión de conjuntos - V o F
« en: 23 Septiembre, 2012, 12:38 am »
oooh!!, tienes razon... lamentablemente lo que me pasaron de conjuntos fue poco y tengo tengo esos errores... mil disculpas

31
Teoría de Conjuntos / Re: Inclusión de conjuntos - V o F
« en: 22 Septiembre, 2012, 11:49 pm »
Es verdadero, pues te preguntan si \( \left\{{5,7}\right\} \) es subconjunto de A, lo que es así...

32
Ejemplo 1.14: Encuentre los valores de las razones trigonométricas para \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \).

Yo sé que \( \displaystyle\frac{\pi}{2} =\displaystyle\frac{\pi}{4}+ \displaystyle\frac{\pi}{4} \), entonces:

\( \sin \displaystyle\frac{\pi}{2} = \sin (\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{4})= \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}=2 \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}= 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=1  \)

\( \cos \displaystyle\frac{\pi}{2}= \cos (\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{4})= \cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{4}- \sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{4}= \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}= 0 \)

\( \tg (\displaystyle\frac{\pi}{2})=\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}}= \displaystyle\frac{1}{0}=\infty \)


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Ahora, veremos las identidades de adición de ángulos... estas son:

\( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \)
(4)

\( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha \)
(5)

\( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha \)
(6)

\( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \beta \sin \alpha \)
(7)

Ejemplo 1.11: Encontrar una expresión equivalente para \( \tg (\alpha + \beta) \)

Yo sé que:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}}  \)

Ocupamos entonces las identidades para la suma de ángulos:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha}}  \)

Algunos diran: "¡Pero nos queda peor!"... No está todo perdido, chicos. Unos cuántos años estudiando matemática me han enseñado una cosa que cualquiera que se mete con matemática un poco más avanzada debe saber... ¡Multiplicar por 1!

Pero me dirán entonces: "¿Qué?... ¡Estás enfermo!... Si yo sé multiplicar por 1"... ¡OJO! el 1 por el cual multiplico va camuflado... ¡ese es el famoso truco!... veamos: Multiplicaremos la expresión por secante sobre secante, de esta forma:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha}\cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\displaystyle\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1-\displaystyle\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}}  \)

Una expresión mucho más amigable, y es lo que buscábamos...

Ejercicio 1.12 Haga lo mismo con \( \tg (\alpha - \beta) \)

Ejemplo 1.13: Demuestre que:

\( \cos (x+y) \cos y + \sin (x + y) \sin y = \cos x \)

Notar que:

\( \cos (x+y) \cos y + \sin (x + y) \sin y \Leftrightarrow{(\cos x \cos y - \sin x \sin y) \cos y + (\sin x \cos y + \sin y \cos x) \sin y \Leftrightarrow{\cos x \cos ^2 y - \sin x \cos y \sin y + \sin x \sin y \cos y + \sin ^2 y \cos x}}\Leftrightarrow{\cos x (\sin ^2 y + \cos ^2 y)}\Leftrightarrow{\cos x} \)

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De hecho, yo estaría dispuesto a dictar otro curso (un curso más... el estudio no me permite más que eso) aparte del de Geometría Analítica...pero no sé qué curso prefieren, de hecho ya empecé con el de Geometría Analítica, vamos de a poco (confío que habrán más inscritos...)

No sé, hagan las propuestas...

Saludos!

35
Ejemplo 1.7: Demostrar que:

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1-3 \sen ^2 \alpha \cos ^2 \alpha  \)

Recuerda que \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab + b^2) \)... con eso tenemos "listo" el ejercicio, pues yo se que \( \sin ^6 \alpha = (\sin ^2 \alpha)^3 \) (así mismo con el coseno).

Entonces:

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha) \)}

Se nos apareció la identidad fundamental (¡Qué bueno...!), pero tengo los senos y cosenos a la cuarta... ¡muy simple! completamos cuadrados... vamos a reordenar términos para que quede más claro...

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha)}\Leftrightarrow{\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha  + 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 -2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha }\Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 -3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha }\Leftrightarrow{1 - 3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha} \)

Ejemplo 1.8: Demostrar que:

\( 3(\cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha)-2 (\cos ^6 \alpha + \sin ^6 \alpha)= 1 \)

Previamente: Tal como hicimos en el ejemplo 1.7, para encontrar una expresión equivalente a \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \) es necesario completar cuadrados...

\( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \Leftrightarrow{\cos ^4 \alpha +2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha+ \sin ^4 \alpha - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha)^2 -2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha} \)

Volviendo al ejemplo... En el ejemplo anterior vimos que \( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1-3 \sen ^2 \alpha \cos ^2 \alpha  \) y en lo previo \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha =1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha \), entonces:

\( 3(\cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha)-2 (\cos ^6 \alpha + \sin ^6 \alpha)\Leftrightarrow{3(1-2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha)-2(1-3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha)}\Leftrightarrow{3-6\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha -2 +6\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{1} \)

Ejemplo 1.9: Demostrar que:

\( \sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^2 x- \cos ^2 x)(1- 2 \sin ^2 x \cos ^2 x) \)

Indicación: Como sugerencia, acuérdense de algunas factorizaciones (o factoraciones) conocidas, como por ejemplo: \( a^8 - b^8 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^4 + b^4) \)...

Volviendo al problema, es evidente que la factorización que les di les ayuda bastante... veamos:

\( \sin ^8 x - \cos ^8 x \Leftrightarrow{(\sin ^2 x + \cos ^2 x) (\sin ^2 x - \cos ^2 x) (\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{1 \cdot (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\cos ^4 x + \sin ^4 x)} \)

Pero yo sé que \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha =1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha \), entonces:


\( \sin ^8 x - \cos ^8 x \Leftrightarrow{(\sin ^2 x + \cos ^2 x) (\sin ^2 x - \cos ^2 x) (\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{1 \cdot (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(1- 2 \sin ^2 x \cos ^2 x)} \)


Ejemplo 1.10: Demostrar que:

\( \displaystyle\frac{\tg x + \cotg y}{\cotg x + \tg y}= \displaystyle\frac{\tg x}{\tg y} \)

Nótese que:

\( \displaystyle\frac{\tg x + \cotg y}{\cotg x + \tg y}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg x + \displaystyle\frac{1}{\tg y}}{\displaystyle\frac{1}{\tg x }+ \tg y}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\tg x \tg y +1}{\tg y}}{\displaystyle\frac{\tg x \tg y +1}{\tg x }}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg x}{\tg y}}  \)

36
E. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Tomando como referencia la figura 5, vemos que se cumple el teorema de Pitágoras:

\( a^2 + b^2 =c^2 \)

Ahora bien, si los dos miembros de la igualdad los divido por \( c^2 \) nos quedará la igualdad:

\( \displaystyle(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 =1 \)

Pero sabemos que \( \displaystyle\frac{a}{c}=\sen \alpha \) y \( \displaystyle\frac{b}{c}= \cos \alpha \), entonces:

\( \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha=1 \)
(1)

Esta igualdad se llama fundamental (porque de ella se obtienen la mayoría de las identidades trigonométricas) o pitagórica (pues se obtiene del teorema de Pitágoras). Si hacemos el mismo procedimiento, pero ahora dividiendo por \( a^2 \) o por \( b^2 \), se obtienen:

\( \tg ^2  \alpha + 1 = \sec ^2 \alpha \)
(2)

\( \cotg ^2 \alpha + 1 = \csc ^2 \alpha \)
(3)

Ejemplo 1.6: Demuestre que:

\( \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha -1} + \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha +1} = 2 \csc \alpha \)

Nótese que:

\( \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha -1} + \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha +1} \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha (\sec \alpha +1) + \tg \alpha (\sec \alpha - 1)}{\sec ^2 \alpha - 1}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha (\sec \alpha + 1 + \sec \alpha -1)}{\tg ^2 \alpha}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2 \sec \alpha}{\tg \alpha}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha}}{\displaystyle\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2}{\sen \alpha}}\Leftrightarrow{2\csc\alpha} \)

37
D. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Previamente:

Llámese Sentido Positivo si el ángulo se mide en sentido Antihorario
Llámese Sentido Negativo si el ángulo se mide en sentido Horario

(Definición mía) Se llama cuadrante a cualquier "cuarto de plano" limitado por los ejes de las abscisas (o X) y de las ordenadas (o Y)

Entonces se tendrá que:

El eje de las abscisas  será positivo tanto en el primer cuadrante como en el cuarto cuadrante, en el segundo y en el tercer cuadrante, este será  negativo

El eje de las ordenadas será positivo tanto en el primer cuadrante como en el segundo cuadrante, en el tercer y cuarto cuadrante este será negativo



Llamaremos radio al segmento que une el centro de la circunferencia y cualquier punto de la circunferencia. ¿Por qué digo "cualquier"? Pues porque la longitud del radio permanece constante en cualquier punto de la circunferencia. Por convención, este radio será siempre positivo.

Entonces:

  • En el primer cuadrante, tanto la abscisa como la ordenada son positivos; por lo tanto: \( \sen \alpha \), \( \cos \alpha \) y \( \tg \alpha \) son positivos.
  • En el segundo cuadrante, la abscisa es negativa y la ordenada es positiva; por lo tanto: \( \sen \alpha \) es positivo y, \( \cos \alpha \) y \( \tg \alpha \) son negativos
  • En el tercer cuadrante, tanto la abscisa y la ordenada son negativas; por lo tanto: \( \sen \alpha \) y \( \cos \alpha \) son negativos, y \( \tg \alpha \) es positivo
  • En el cuarto cuadrante, la abscisa es positiva y la ordenada es negativa; por lo tanto: \( \cos \alpha \) es positivo y, \( \sin \alpha \)  y \( \tg \alpha \) son negativos.

Hay una regla mnemotécnica para recordarse de los signos de las razones trigonométricas:

TODO - SIN - TA - COS
  I      -   II   -  III -  IV

Quiere decir: si yo me ubico en el primer cuadrante, TODOs son positivos. Si me ubico en el segundo, SINo (seno) es positivo. Si me ubico en el tercer cuadrante, TAngente es positivo. Y si me ubico en el cuarto cuadrante, COSeno es positivo...

38
C. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS NOTABLES

Para el ángulo \( \displaystyle\frac{\pi}{4} \)

Considere un tríangulo \( ABC \) (como el de la figura 5) isósceles rectángulo, es decir, que \( \overline{AC}=\overline{BC} \).

Ocupando Teorema de Pitágoras, se tiene que:

\( \overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 \)

\( \Leftrightarrow{\overline{AB}^2 = 2 \overline{AC}^2}  \)

\( \Leftrightarrow{AC=\sqrt{\displaystyle\frac{\overline{AB}^2}{2}}} \)

\( \Leftrightarrow{AC=\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sqrt{2}}} \)

Por lo tanto \( a=b=\displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \)

Por las definiciones dadas se tendrá que:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{a}{c}=\displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{c}= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \cos \alpha= \displaystyle\frac{b}{c} = \displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{c}= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}=1 \)

Para los ángulos \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) y \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \)

Considere un triángulo \( ABC \) equilátero y considere la altura \( \overline{AD} \)



Nótese que \( \overline{AD}=\overline{BD}=\displaystyle\frac{a}{2} \).

Para \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \), ocupamos teorema de Pitágoras:

\( \overline{AC}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 \)

\( \Leftrightarrow{a^2 = \displaystyle\frac{a^2}{4} + \overline{CD}^2} \)

\( \Leftrightarrow{\sqrt{\displaystyle\frac{3a^2}{2}}=\overline{CD}} \)

\( \Leftrightarrow{\overline{CD}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}}  \)

Se tendrá entonces:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}= \displaystyle\frac{a}{2}\cdot{\displaystyle\frac{1}{a}} = \displaystyle\frac{1}{2}  \)

\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}= \displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot{\displaystyle\frac{1}{a}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \)

Pero sabemos que \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) y \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \) son ángulos complementarios. Por reducción se tiene que:

\( \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}= \cos \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}= \sin \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{1}{2}  \)

\( \tg \displaystyle\frac{\pi}{3}= \displaystyle\frac{\\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3} \)

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Definición 1.5 Se define que:

\( \tg x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x} \) (Tangente)

\( \cotg x = \displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} \) (Cotangente)

\( \sec x = \displaystyle\frac{1}{\cos x} \) (Secante)

\( \csc x = \displaystyle\frac{1}{\sin x} \)

B. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Considere un triángulo \( ABC \) recto en C y sea \( \alpha \) un ángulo agudo. Sean \( a  \)el cateto opuesto a \( \alpha \), \( b \) el cateto adyacente a \( \alpha \) y \( c \) la hipotenusa.


Figura 5

Definiremos el seno de \( \alpha \) como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{a}{c} \)

Definiremos el coseno de \( \alpha \) como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, es decir:

\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{b}{c} \)

En base a la definición 1.5, se tiene que :

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x} = \displaystyle\frac{a}{b} \)

\( \cotg \alpha = \displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} = \displaystyle\frac{b}{a} \)

\( \sec \alpha = \displaystyle\frac{1}{\cos x} = \displaystyle\frac{c}{b} \)

\( \csc \alpha = \displaystyle\frac{1}{\sin x} = \displaystyle\frac{c}{a} \)

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gracias tanius, lo hice pensando en eso... de hecho en mi carrera fue casi un "cortacabezas", algo asi como lo que pasa con cálculo...

Saludos!

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