Rincón Matemático

Matemática => Matemática Discreta y Algoritmos => Métodos Numéricos => Mensaje iniciado por: einstenio16 en 07 Julio, 2019, 05:32 am

Título: Newton Raphson y Sector Circular
Publicado por: einstenio16 en 07 Julio, 2019, 05:32 am
Chicos... Resulta que entre los ejercicios que me entrego el profesor, me salió el siguiente:

El sector \( A(2\theta) \) de un círculo de radio \( r=2 \) y centro \( (0,a) \) se hace rotar respecto al eje \( OX \) generando un volumen \( V(2\theta) \). Calcule \( V(\theta) \) para\( \theta\in{[0,\frac{\pi}2}] \). Usando Newton Raphson determinar el ángulo para el cual \( V(\theta) \) es igual a la mitad del volumen del toro.

Prometo que llevo más de 5 días intentando... Lo que he hecho solo se traduce en tratar de calcular el volumen aplicando integrales pero en sí no sé plantear el problema. Siempre he ocupado Newton Raphson con polinomios pero en este caso no lo sé. Ayuda por favor.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=109750.0;attach=21055)
Título: Re: Newton Raphson y Sector Circular
Publicado por: ingmarov en 07 Julio, 2019, 06:45 am
Hola.         Una corrección

¿Será más fácil centrar el sector en el origen y hacerlo rotar en torno a la recta y=-a?

Creo el volumen debe ser

\( V=\displaystyle\int_{\color{red}\bf\pi/2-\theta}^{\color{red}\bf\pi/2+\theta}\int_0^22\pi(a+r\,{\color{red}sen\varphi})rdrd\varphi \)

Un diferencial de área
\( rdrd\varphi\qquad {\bf (1)} \).   Rota en torno al eje a una distancia de

\( a+r{\color{red}sen\varphi} \). Así el arco debe ser

\( 2\pi(a+r{\color{red}sen\varphi})\qquad {\bf (2)} \)


Se puede ver como el cálculo del volumen de un prisma de base (1) y altura (2)


Revisa

Título: Re: Newton Raphson y Sector Circular
Publicado por: martiniano en 07 Julio, 2019, 11:02 am
Hola.

Para calcular el volumen de este cuerpo lo que se puede hacer es parametrizar el toro de una forma parecida a esta:

\( f(x)=\begin{cases}{x=r\sin\lambda}\\y= (a+r\cos\lambda)\cos\phi\\z=(a+r\cos\lambda)\sin\phi\end{cases} \)

Se calcula el jacobiano y se integra entre unos límites adecuados. En este caso:

\( \lambda\in{(-\theta,\theta)} \)
\( r\in{(0,2)} \)
\( \phi\in{(0,2\pi)} \)

De todas formas, einstenio 16, habría estado bien que hubieses introducido la expresión que has hallado para el volumen, ya que, sin ella es imposible guiarte en el método de Newton-Raphson, que tiene utilidad fuera de las ecuaciones polinómicas. ¿Cuál es concretamente el problema que tienes con él?

Un saludo.
Título: Re: Newton Raphson y Sector Circular
Publicado por: ingmarov en 08 Julio, 2019, 06:37 am
Hola

Einstenio, deberías decir algo, preguntar cuánto quieras, revisar, aportar, o agradecer. He corregido un par de cosas, la integral propuesta resulta en

\( V=8\pi a\theta \)

Por lo que \( \theta=\dfrac{\pi}{4} \), por lo que el sector tiene un arco de \( \dfrac{\pi}{2} \)

Eh, no requerí Newton-Raphson

Y agrego que me he dado cuenta que las correcciones eran innecesarias.

Saludos
Título: Re: Newton Raphson y Sector Circular
Publicado por: einstenio16 en 08 Julio, 2019, 08:02 pm
Tranquilo... Jajajaja me he dedicado a entender y lograr sacar algo en limpio... Estoy retomando luego de un buen tiempo sin estudiar mates que esto ha sido un poco difícil.
Título: Re: Newton Raphson y Sector Circular
Publicado por: martiniano en 08 Julio, 2019, 09:37 pm
Hola. Resolviendo la integral que planteé en mi anterior respuesta, el volumen del cuerpo descrito me queda así. A ver si cuadra con lo vuestro:

\( V(\theta)=8\pi(a\theta+\displaystyle\frac{4}{3}\sin\theta) \)

Por otro lado, el volumen del toro:

\( V(\pi)=8a\pi^2 \)

Por tanto la ecuación a resolver:

\( 8\pi(a\theta+\displaystyle\frac{4}{3}\sin\theta)=4a\pi^2 \)

Lo que yo pienso es que para aplicar métodos numéricos hace falta el valor de \( a \). Un saludo.
Título: Re: Newton Raphson y Sector Circular
Publicado por: ingmarov en 08 Julio, 2019, 11:37 pm
...

Por tanto la ecuación a resolver:

\( 8\pi(a\theta+\displaystyle\frac{4}{3}\sin\theta)=4a\pi^2 \)

Lo que yo pienso es que para aplicar métodos numéricos hace falta el valor de \( a \). Un saludo.

Según creo Newton-Raphson se utiliza en ecuaciones con una incógnita y aquí tenemos dos. Y "a" se puede despejar fácilmente.


Este problema está raro.


Ah no, hay Newton-Raphson multivariable!!

https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-3/newton-raphson-modificado




Einstenio, en el spoiler un ejemplo de aplicación de Newton-Raphson

Spoiler

Así se puede aplicar Newton-Raphson en una función no polinómica. En este caso   \( f(x)=x-e^{-x} \)    Usando un valor inicial de x=0.5
La meta es encontrar una raíz o cero de la función.

La fórmula de Newton-Raphson es    \( x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_n)} \)


Entonces

\( x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{x_{n}-e^{-x_n}}{1+e^{-x_n}} \)



 \( (0.5)-\dfrac{0.5-e^{-(0.5)}}{1+e^{0.5}}\approx0.5663110031972182 \)

   \( (0.5663110031972182)-\dfrac{0.5663110031972182-e^{-(0.5663110031972182)}}{1+e^{0.5663110031972182}}\approx0.5671431650348622 \)

   \( (0.5671431650348622)-\dfrac{0.5671431650348622-e^{-(0.5671431650348622)}}{1+e^{0.5671431650348622}}\approx0.5671432904097811 \)

   \( (0.5671432904097811)-\dfrac{0.5671432904097811-e^{-(0.5671432904097811)}}{1+e^{0.5671432904097811}}\approx0.567143290409784 \)

   \( (0.567143290409784)-\dfrac{0.567143290409784-e^{-(0.567143290409784)}}{1+e^{0.567143290409784}}\approx0.5671432904097838 \)        Aquí ya tenemos un valor convergente, lo sabemos porque a partir de aquí el valor se repite en las siguientes iteraciones.

   \( (0.5671432904097838)-\dfrac{0.5671432904097838-e^{-(0.5671432904097838)}}{1+e^{0.5671432904097838}}\approx0.5671432904097838 \)       

   \( (0.5671432904097838)-\dfrac{0.5671432904097838-e^{-(0.5671432904097838)}}{1+e^{0.5671432904097838}}\approx0.5671432904097838 \)

   \( (0.5671432904097838)-\dfrac{0.5671432904097838-e^{-(0.5671432904097838)}}{1+e^{0.5671432904097838}}\approx0.5671432904097838 \)
[cerrar]
Título: Re: Newton Raphson y Sector Circular
Publicado por: einstenio16 en 09 Julio, 2019, 05:38 am
Gracias Chicos!!!! Son geniales :aplauso: :aplauso: