Hola
Sea \( P_2 \) el espacio de polinomios reales de grado a lo sumo 2, con la norma \( \|p(x)\|=\left[\int _{-1}^1\:\left|p\left(x\right)\right|^2dx\right]^{\frac{1}{2}} \) y sea el operador \( T[p(x)]=\frac{d}{dx}p\left(x\right) \).
a) Si es acotado, calcular \( \|T\| \).
El espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que dos es finito; un operador lineal en un espacio vectorial normado finito siempre es acotado.
Si llamas \( p(x)=ax^2+bx+c \) tienes:
\( \|p(x)\|^2=\displaystyle\int_{-1}^{-1}(ax^2+bx+c)^2dx=\ldots=\dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2 \)
\( T(p(x))=p'(x)=2ax+b \)
\( \|T(p(x))\|^2=\dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \)
La del operador es el supremo de \( \|T(p(x))\| \) cuando \( \|p(x)\|=1 \).
Tu problema es maximizar \( \dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \) bajo la restricción \( \dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2=1 \)
b) ¿Es invertible? Si no lo es, considerar una restricción \( T_M \) a un subespacio \( M \) de \( P_2 \), tal que \( T_M \) sea invertible. Calcular \( T_M^{-1} \) y \( \|T^{-1}\| \).
No es inversible porque el núcleo no es cero. Los polinomios constantes tiene derivada nula.
Pues tomar como \( M \) los polinomios de la forma \( ax^2+bx. \)
Saludos.
