[chnhe]

Calcula las integrales \( I_n=\displaystyle\int _0^{2\pi }d\theta e^{-cos\theta }cos\left(n\theta +sen\left(\theta \right)\right),\:n\in \mathbb{Z} \).

Estoy empezando a hacer este ejercicio, si me pudierais ayudar, gracias de antemano.

[Abdulai]

\(
e^{-cos\theta }\cos\left(n\theta +\sin\left(\theta \right)\right) =
Re\left(e^{-\cos\theta }e^{in\theta +i \sin\theta}\right) =
Re\left(e^{-\cos\theta +i \sin\theta}e^{in\theta}\right) =
Re\left(e^{-e^{-i\theta}}e^{in\theta}\right)  \)

Fijate que podés transformarla en una integral de \( z \) sobre un círculo unitario.

[chnhe]

Y más o menos como se resolvería?

[Abdulai]

Y más o menos como se resolvería?

\(
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{-e^{-i\theta}}e^{in\theta}d\theta =
(-i)\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\underbrace{e^{-e^{-i\theta}}}_{e^{-1/z}} \underbrace{e^{i(n-1)\theta}}_{z^{n-1}} \underbrace{ ie^{i\theta} d\theta}_{dz} =
(-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{-1/z} \text{d}z \)   , siendo \( C \) un círculo unitario en el origen.

Pero como esa integral corresponde a los coeficientes de la serie de Laurent de \( e^{-1/z}=1-\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2!z^2}-\dfrac{1}{3!z^3}+\cdots \)

resulta: \( \displaystyle\int_C z^{n-1} e^{-1/z} \text{d}z = 2\pi i \dfrac{(-1)^n}{n!} \)

\( \therefore\quad
I_n=\displaystyle\int _0^{2\pi} e^{-cos\theta }\cos\left(n\theta +\sin\theta\right) \text{d}\theta =
Re\left( (-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{-1/z} \text{d}z\right) = 2\pi \dfrac{(-1)^n}{n!} \)


(falta analizar cuando \( n<0 \) )

[chnhe]

Y más o menos como se resolvería?

\(
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{-e^{-i\theta}}e^{in\theta}d\theta =
(-i)\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\underbrace{e^{-e^{-i\theta}}}_{e^{1/z}} \underbrace{e^{i(n-1)\theta}}_{z^{n-1}} \underbrace{ ie^{i\theta} d\theta}_{dz} =
(-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z \)   , siendo \( C \) un círculo unitario en el origen.

Pero como esa integral corresponde a los coeficientes de la serie de Laurent de \( e^{1/z}=1-\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2!z^2}-\dfrac{1}{3!z^3}+\cdots \)

resulta: \( \displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z = 2\pi i \dfrac{(-1)^n}{n!} \)

\( \therefore\quad
I_n=\displaystyle\int _0^{2\pi} e^{-cos\theta }\cos\left(n\theta +\sin\theta\right) \text{d}\theta =
Re\left( (-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z\right) = 2\pi \dfrac{(-1)^n}{n!} \)


(falta analizar cuando \( n<0 \) )

Para n<0 cómo sería?

[Abdulai]

Para n<0 cómo sería?

Basta que recuerdes algo sobre las series de Laurent.

la expansión  de \( e^{-1/z} = 1-\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2z^2}-\dfrac{1}{3!z}^3+\cdots \)  no tiene términos de exponente positivo, es decir de la forma  \( a_1z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots \)  por lo tanto, los coeficientes de la serie para \( n<0 \) son \( 0 \)

\( \therefore\quad  I_n=\displaystyle\int _0^{2\pi} e^{-cos\theta }\cos\left(n\theta +\sin\theta\right) \text{d}\theta =  Re\left( (-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{-1/z} \text{d}z\right) =
\begin{cases} 2\pi \dfrac{(-1)^n}{n!} &,\, \text{si }n\geq 0 \\0  &,\, \text{si }n< 0 \end{cases} \)

[chnhe]

Y más o menos como se resolvería?

\(
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{-e^{-i\theta}}e^{in\theta}d\theta =
(-i)\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\underbrace{e^{-e^{-i\theta}}}_{e^{1/z}} \underbrace{e^{i(n-1)\theta}}_{z^{n-1}} \underbrace{ ie^{i\theta} d\theta}_{dz} =
(-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z \)   , siendo \( C \) un círculo unitario en el origen.

Pero como esa integral corresponde a los coeficientes de la serie de Laurent de \( e^{1/z}=1-\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2!z^2}-\dfrac{1}{3!z^3}+\cdots \)

resulta: \( \displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z = 2\pi i \dfrac{(-1)^n}{n!} \)

\( \therefore\quad
I_n=\displaystyle\int _0^{2\pi} e^{-cos\theta }\cos\left(n\theta +\sin\theta\right) \text{d}\theta =
Re\left( (-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z\right) = 2\pi \dfrac{(-1)^n}{n!} \)


(falta analizar cuando \( n<0 \) )

Pero el desarrollo de Laurent no sería
\( e^{1/z}=1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2!z^2}+\dfrac{1}{3!z^3}+\cdots \)? Entonces cambiaría lo demás no?

[Abdulai]

...
Pero el desarrollo de Laurent no sería
\( e^{1/z}=1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2!z^2}+\dfrac{1}{3!z^3}+\cdots \)? Entonces cambiaría lo demás no?

Es un error que fui arrastrando al copiar y pegar bloques de LaTex     

En realidad es \( e^{-e^{-i\theta}}=e^{-1/z} \)  pero en la transcripción me comí el signo.
Incluso en algunas partes lo puse bien y después mal.

Ahora lo corrijo.