Hola
\( z(t)=e^{Re^{it}-R}=e^{-R} \ e^{Re^{it}}=e^{-R} \ e^{R(cos t+ i \ sen t)}=e^{-R} \ e^{R cos t}e^{i R sen \ t}=e^{Rcos t-R}(cos(Rsen t)+i \ sen(R sen t)) \)
Se ve que:
- el argumento de los puntos de la curva es \( Rsin(t) \).
- el módulo es \( e^{Rcos t-R} \).
La curva deja de ser simple cuando, exceptuando el punto inicial y final, pasa dos veces por el mismo sitio. Eso ocurre cuando para dos valores de \( t\in [0,2\pi] \) coinciden al mismo tiempo el módulo y el argumento\( ^{(1)} \).
Intenta analizar cuando se da esto. El dibujo te puede ayudar también.
Hola, he visto según la gráfica que más o menos el mínimo para que la curva deje de ser simple es \( R=\pi \), pero he estado intentando demostrarlo mediante cálculos y no me sale.
Fíjate en el módulo: \( e^{Rcos t-R} \). Toma dos valores iguales si hay dos valores distintos de \( t\in (0,2\pi) \) con el mismo coseno. Por las propiedades del coseno eso ocurre para el par de ángulos \( t,2\pi-t \) con \( t\in (0,\pi) \).
Ahora nos fijamos en el argumento: \( Rsin(t) \). Para \( t\in (0,\pi) \) nunca coincide \( sin(t) \) y \( sin(2\pi-t) \) ya que uno es positivo y otro negativo.
Pero como te comentaba al final del mensaje anterior, nos valen argumentos que disten en \( 2\pi \). Nos preguntamos si tiene solución la ecuación:
\( Rsin(t)-Rsin(2\pi-t)=2\pi \) para \( t\in (0,\pi) \)
Equivalentemente dado que \( sin(2\pi-t)=-sin(t) \):
\( Rsin(t)=\pi \)
Dado que \( |sin(t)|\leq 1 \), para que la ecuación pueda tener solución tiene que darse \( R\geq pi \).
En ese caso:
\( t=arcsin(\pi/R) \)
y para que \( t\in (0,\pi) \) se tiene que cumplir \( R>\pi \).
Saludos.
