Autor Tema: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

03 Mayo, 2021, 12:19 pm
Respuesta #20

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,288
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, estimado foro

Este ejercicio ha puesto a prueba mis conocimientos sobre conjuntos, cálculo, diferenciabilidad, continuidad, funciones... He elaborado en Word otra propuesta de solución, que en su primera parte (correspondiente a la pregunta sobre porqué es derivable en \( x=3 \)) no modifico respecto al último mensaje publicado en este hilo, pero cambio respecto a la segunda parte (por qué no es derivable en \( x\neq 3 \)); aunque persisten las dudas.

He confeccionado el documento en Word, porque mi primera intención era que la Uned me proporcionara la posibilidad de encontrar un graduado al que remunerar en una relación vía correo electrónico y postal...Esto se sale del ámbito del Rincón y de la Uned, por el contexto que vivimos, que ha hecho que el tablón de anuncios se retire. He explorado la vía de encontrar un profesor en la red, pero me genera mucha incertidumbre sobre su efectividad, e incluso inseguridad.

No se ha respondido a mi anterior mensaje. ¿Qué os parece que adjunte otra propuesta? Es menos delirante, pero sigue siendo especulativa y está llena de dudas; pero dudas concisas. El problema es el formato. Pero eso tiene arreglo: puedo teclearla en un día o dos en LaTeX.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

03 Mayo, 2021, 12:31 pm
Respuesta #21

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,528
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola
 
 En un rato (que pueden ser algunas horas, hasta 50 pongamos...  ;)) te lo miró.

Saludos.

03 Mayo, 2021, 03:01 pm
Respuesta #22

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,622
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Para ver donde no es derivable puedes hacer:
Si \( f \) es derivable en un punto \( a \) entonces es continua en ese punto, nos quedaría que:
\( a^2 = 6 \cdot (a-3) + 9  \) por continuidad , que es lo mismo que \( a^2 = 6 \cdot a -9  \) tenemos que:
\( 0 = a^2 - 6 \cdot a + 9 = (a-3)^2  \) entonces \( a=0 \) haces el contrarreciproco y te queda que si \( a \neq 0 \) entonces no es continua en \( a \).

03 Mayo, 2021, 04:09 pm
Respuesta #23

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,288
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Para ver donde no es derivable puedes hacer:
Si \( f \) es derivable en un punto \( a \) entonces es continua en ese punto, nos quedaría que:
\( a^2 = 6 \cdot (a-3) + 9  \) por continuidad , que es lo mismo que \( a^2 = 6 \cdot a -9  \) tenemos que:
\( 0 = a^2 - 6 \cdot a + 9 = (a-3)^2  \) entonces \( a=0 \) haces el contrarreciproco y te queda que si \( a \neq 0 \) entonces no es continua en \( a \).

Es que mi problema es que aprobé el Curso de Acceso, pero no tengo ni idea de nada. Este ejercicio me lo ha demostrado. Voy a intentar subir el documento de Word que estaba destinado al profesor particular que esperaba conseguir a través de la Uned. Si no lo consigo, disculpad. No quiero salir del contexto de este documento. Es como comenzar de cero.
No man is an island (John Donne)

03 Mayo, 2021, 07:52 pm
Respuesta #24

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,528
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Citar
"Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua"

 Simplemente:

 1) Una condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que la función esté definida en un punto.

 Ejemplos: Tu función \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) está definida en todo punto, porque para cualquier \( x\in \Bbb R \) está definido cuanto vale \( f(x). \)

 La función \( f(x)=1/x \) sin embargo no está definida para \( x=0 \). Sería absurdo plantearse la derivabilidad en \( x=0. \)

 2) Otra condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que sea continua. Si NO es continua ya no puede ser derivable. Si es continua, puede ser derivable en ese punto o puede no serlo.

 Recuerda que condición necesaria para que se cumpla una propiedad, es una condición que, si NO se cumple es seguro que la propiedad no se verifica; pero si se cumple, la propiedad podría ser cierta o no.

 Por ejemplo para ganar a lotería es condición necesaria jugar; si no juegas es imposible que la ganes. Ahora, jugar no te garantiza que ganes.

Citar
si  \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \)  , desde menos infinito a mas infinito

 Olvida esta frase; sinceramente pudo querer decir cualquier cosa.

(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?

\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)

Este límite se convierte en dos:

(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)

(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)

Prueba de (a)

Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):

\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)

Aunque la idea es buena, el problema es que lo que tenías que acotar por \( \varepsilon \) es:

\( \dfrac{x^2-9}{x-3}-6 \)

Tu has estudiado el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}x^2-9=0 \)

en lugar de

\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)

Un error análogo lo has cometido en el trozo sobre los irracionales.

Citar
¿Por qué puedo definir límites dentro de los racionales, que tienen huecos en la recta real (viceversa para los irracionales)?

Para definir el concepto de límite en un punto tienes que poder acercarte a él tanto como quieras, simplemente. Puede ser por todos los números reales que hay en medio o dejar algún hueco. No hay ningún problema. Técnicamente no hay más que especificar que la variable \( x \) se mueve en un cierto conjunto \( D \). Y si calculamos el límite en \( x_0 \), tiene que haber puntos en \( D \) distintos de \( x_0 \) a distancia de \( x_0 \) "tan próxima" como queramos.

Citar
Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto   por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.

Supón que tienes:

\( f(x)=\begin{cases}{f_1(x)}&\text{si}& x\in A\\f_2(x) & \text{si}& x\in B\end{cases} \)

y

1) \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in A}{}f_1(x)=L \)

2) \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in B}{}f_2(x)=L \)

(*) Entonces por (1) dado \( \varepsilon>0 \) existe un \( \delta_1<0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta_1 \), \( x\in A \) entonces \( |f_1(x)-L|<\varepsilon \)

(**) Por (2) dado \( \varepsilon>0 \) existe un \( \delta_2<0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta_2 \), \( x\in B \) entonces \( |f_2(x)-L|<\varepsilon \)

Tomando \( \delta=\min(\delta_1,\delta_2) \) si \( 0<|x-x_0|<\delta \) tenemos:

- Si \( x\in A \), \( 0<|x-x_0|<\delta\leq \delta_1 \) y por (*) \( |f(x)-L|=|f_1(x)-L|<\varepsilon \)
- Si \( x\in B \), \( 0<|x-x_0|<\delta\leq \delta_2 \) y por (**) \( |f(x)-L|=|f_2(x)-L|<\varepsilon \)

Es decir, en cualquier caso si  \( 0<|x-x_0|<\delta \) entonces  \( |f(x)-L|<\varepsilon \)

 Después para ver la NO derivabilidad en \( x\neq 3 \), lo más cómodo es ver que tan siquiera es continua (recuerda que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad).

 Para ello basta ver que sobre cada un de los dos conjuntos de definición (racionales e irracionales) el límite de la función en un punto \( x_0\neq 3 \) es diferente:

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb Q}{}f(x)=x_0^2 \)

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}f(x)=6x_0-9 \)

y \( x_0^2=6x_0-9 \) sólo si \( x_0=3 \).

Saludos.

04 Mayo, 2021, 05:39 am
Respuesta #25

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,288
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
¡Gracias!. Voy a trabajar un poco el asunto.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

13 Mayo, 2021, 08:28 am
Respuesta #26

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,288
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, estimado RM

¿Por qué \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en \( x=3 \)?

1- \( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)


Si, SI es una función a trozo. Un trozo son los racionales en los que está definida de una manera y otro trozo los irracionales en los que está definida de otra.

Entonces por definición es derivable en \( 3 \) si existe el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to 3}{}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} \) (*)

Ese límite se desdobla en dos, distinguiendo si \( x \) es racional o irracional:

\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb Q,\,x \to 3}{}\dfrac{x^2-9}{x-3} \)

\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb I,\,x \to 3}{}\dfrac{6(x-3)+9-9}{x-3} \)

Para que el límite (*) existe los otros dos tienen que existir y tomar el mismo valor, lo cuál puedes demostrar fácilmente.

Formalmente lo que estamos usando es que si tienes \( g:\Bbb D\to \Bbb R \), \( D=A\cup B \) y consideras las restricciones:

\( g_1:\Bbb A\to \Bbb R,\quad g_1(x)=g(x) \)
\( g_2:\Bbb B\to \Bbb R,\quad g_2(x)=g(x) \)

Entonces si:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g_1(x)=\displaystyle\lim_{x \to a}{}g_2(x)=L \)

entonces:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=L \)


\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb Q,\,x \to 3}{}\dfrac{x^2-9}{x-3}=6 \)

Para \( x \in\Bbb Q \), \( \forall{\varepsilon} \) \( \exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{\left |{\dfrac{x^2-9}{x-3}-6}\right |=|x+3-6|=|x-3|<\varepsilon} \). Por lo tanto, \( \delta_1=\varepsilon \)


\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb I,\,x \to 3}{}\dfrac{6(x-3)+9-9}{x-3}=6 \)


Para \( x \in\Bbb R\setminus{\Bbb Q} \), \( \forall{\varepsilon} \) \( \exists\;{\delta_2} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_2\Rightarrow{\left |{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}-6}\right |=|6-6|=0<\varepsilon} \). Por lo tanto, \( \delta_2 \) puede tomar cualquier valor positivo, y la implicación será cierta.

Eligiendo \( \delta_1=\varepsilon \), por ser más restrictivo, probamos la derivabilidad de la función en \( x=3 \)

2- ¿Por qué la función no es continua cuando \( x \neq 3 \)?

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb Q}{}x^2=x_0^2 \)

Prueba: Si \( 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow{|x^2-x_0^2|<\varepsilon} \)

\( |x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0| \)

Tomamos una primera restricción: \( |x-x_0|<1\Leftrightarrow{x_0-1<x<x_0+1}\rightarrow{|x+x_0|<2|x_0|+1} \) (Este paso es totalmente inseguro, he intentado razonarlo en el spoiler, pero no estoy nada seguro).

Spoiler
\( x_0 \in \Bbb Q\setminus{\{3\}} \):
\( x_0-1<x<x_0+1 \);
\( 2x_0-1<x+x_0<2x_0+1 \);
\( |x+x_0|\leq{|x|+|x_0|<|x_0|<2|x_0|+1} \)
[cerrar]

Por lo tanto, para \( \delta=\mbox{mín}\left ({1, \dfrac{\varepsilon}{1+2|x_0|}}\right ) \) este límite es cierto.

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}(6(x-3)+9)=6x_0-9 \)

Prueba:

Si \( 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow{|(6x-9)-(6x_0-9)|<\varepsilon} \)

\( |6x-9-6x_0+9|<\varepsilon\Rightarrow{6|x-x_0|<\varepsilon} \)

Para \( \delta=\varepsilon/6 \)

y \( x_0^2=6x_0-9 \) sólo si \( x_0=3 \)

¿Correcto?.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

13 Mayo, 2021, 10:46 am
Respuesta #27

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,528
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

 Está todo bien.

 Una observación: realmente a medida que uno se va apoyando en resultados previos no hay que demostrar todos los límites mediante epsilones y deltas.

 Por ejemplo para justificar que \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}(6(x-3)+9)=6x_0-9 \), simplemente se dice:

 - La función \( p(x)=6(x-3)+9 \) es continua por ser polinómica y por tanto:

\(  \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}p(x)=p(x_0)=6(x_0-3)+9=6x_0-9 \)

 - Entonces en cualquier restricción de la función el límite (si tiene sentido, es decir si \( x_0 \) es un punto de acumulación del conjunto restricción) es el mismo:

\(  \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}p(x)=p(x_0)=6(x_0-3)+9=6x_0-9 \)

Saludos.
 

13 Mayo, 2021, 11:09 am
Respuesta #28

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,288
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
¡Luis, Juan Pablo, Rincón, muchísimas gracias!
feriva, ¡un saludo!
No man is an island (John Donne)