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Análisis Funcional - Operadores / Re: Ejercicio subespacio lineal de un espacio de Hilbert
« en: 20 Mayo, 2022, 11:02 am »
Lo estoy intentando siguiendo la pista, pero no me sale.
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HolaSea \( P_2 \) el espacio de polinomios reales de grado a lo sumo 2, con la norma \( \|p(x)\|=\left[\int _{-1}^1\:\left|p\left(x\right)\right|^2dx\right]^{\frac{1}{2}} \) y sea el operador \( T[p(x)]=\frac{d}{dx}p\left(x\right) \).
a) Si es acotado, calcular \( \|T\| \).
El espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que dos es finito; un operador lineal en un espacio vectorial normado finito siempre es acotado.
Si llamas \( p(x)=ax^2+bx+c \) tienes:
\( \|p(x)\|^2=\displaystyle\int_{-1}^{-1}(ax^2+bx+c)^2dx=\ldots=\dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2 \)
\( T(p(x))=p'(x)=2ax+b \)
\( \|T(p(x))\|^2=\dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \)
La del operador es el supremo de \( \|T(p(x))\| \) cuando \( \|p(x)\|=1 \).
Tu problema es maximizar \( \dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \) bajo la restricción \( \dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2=1 \)
HolaY el apartado b), que es mediante Transformada de Fourier, como se haría?He hecho el apartado a), he aplicado la definición de convolución y obtengo un resultado de \( \frac{2}{\pi \left(x^2+4\right)} \). No sé si será correcto, si no es así, qué se obtiene?
Está bien.
Saludos.
Lo he resuelto usando variable real, como podría resolver la integral por el Teorema de los Residuos para obtener el mismo resultado?Si me podrías dar alguna idea, gracias.
El apartado \( a) \) es rutinario, aplica la definición de convolución y te aparecerá la integral de una función racional.
He hecho el apartado a), he aplicado la definición de convolución y obtengo un resultado de \( \frac{2}{\pi \left(x^2+4\right)} \). No sé si será correcto, si no es así, qué se obtiene?
Hola Fernando, ¿Has visto la respuesta anterior?Si me podrías dar alguna idea, gracias.
El apartado \( a) \) es rutinario, aplica la definición de convolución y te aparecerá la integral de una función racional.
Si me podrías dar alguna idea, gracias.
El apartado \( a) \) es rutinario, aplica la definición de convolución y te aparecerá la integral de una función racional.
Si me podrías dar alguna idea, gracias.Sea \( f\left(x\right)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{x^2+1} \). Calcula la convolución \( (f*f)(x) \):
a) Mediante integral directa usando la definición de convolución.
b) Mediante transformada de Fourier.
Estoy empezando a hacer este ejercicio. Si me pudierais ayudar, gracias de antemano.
Bien, escribe hasta donde has llegado y vamos revisando.
Y más o menos como se resolvería?
\(
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{-e^{-i\theta}}e^{in\theta}d\theta =
(-i)\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\underbrace{e^{-e^{-i\theta}}}_{e^{1/z}} \underbrace{e^{i(n-1)\theta}}_{z^{n-1}} \underbrace{ ie^{i\theta} d\theta}_{dz} =
(-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z \) , siendo \( C \) un círculo unitario en el origen.
Pero como esa integral corresponde a los coeficientes de la serie de Laurent de \( e^{1/z}=1-\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2!z^2}-\dfrac{1}{3!z^3}+\cdots \)
resulta: \( \displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z = 2\pi i \dfrac{(-1)^n}{n!} \)
\( \therefore\quad
I_n=\displaystyle\int _0^{2\pi} e^{-cos\theta }\cos\left(n\theta +\sin\theta\right) \text{d}\theta =
Re\left( (-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z\right) = 2\pi \dfrac{(-1)^n}{n!} \)
(falta analizar cuando \( n<0 \) )
Y más o menos como se resolvería?
\(
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{-e^{-i\theta}}e^{in\theta}d\theta =
(-i)\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\underbrace{e^{-e^{-i\theta}}}_{e^{1/z}} \underbrace{e^{i(n-1)\theta}}_{z^{n-1}} \underbrace{ ie^{i\theta} d\theta}_{dz} =
(-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z \) , siendo \( C \) un círculo unitario en el origen.
Pero como esa integral corresponde a los coeficientes de la serie de Laurent de \( e^{1/z}=1-\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2!z^2}-\dfrac{1}{3!z^3}+\cdots \)
resulta: \( \displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z = 2\pi i \dfrac{(-1)^n}{n!} \)
\( \therefore\quad
I_n=\displaystyle\int _0^{2\pi} e^{-cos\theta }\cos\left(n\theta +\sin\theta\right) \text{d}\theta =
Re\left( (-i)\displaystyle\int_C z^{n-1} e^{1/z} \text{d}z\right) = 2\pi \dfrac{(-1)^n}{n!} \)
(falta analizar cuando \( n<0 \) )
Esto lo has hecho bien:Y entonces para calcular el residuo en \( z=-\pi \) habría que, usando la otra derivada, tomar \( w=z+\pi \) y seguir los mismos pasos luego?
\( \displaystyle\frac{d}{dz} \dfrac{(z-\pi)^2z^m}{\sin^2 z}=\frac{[2(z-\pi)z^m+(z-\pi)^2mz^{m-1}]\sin^2z-(2\sin z\cos z)(z-\pi)^2z^m}{\sin^4z}\qquad (E) \)
Ahora,
1. Haz el cambio \( w=z-\pi \) con lo cual \( z\to \pi\Leftrightarrow w\to 0 \).
2. Usa que \( \sin z=\sin (w+\pi)=-\sin w \) y que \( \cos z=\cos (w+\pi)=-\cos w \).
3. Usa que \( \sin w\sim w \) y saca factor común \( w^2 \) en el numerador y simplifica. En el denominador de \( (E) \) te quedará después de simplificar, \( w^2 \).
4. Saca factor común \( (w+\pi)^{m-1} \) en la expresión \( (E) \). Aquí obtendrás \( (w+\pi)^{m-1}\to \pi^{m-1} \) cuando \( w\to 0 \).
5. Aplica la regla de L'Hopital dos veces al resto.
Con esto te debería salir el residuo.
Esto lo has hecho bien:Hasta el punto 4 bien, pero luego cuando aplico la primera vez la regla de l'Hopital me queda por el numerador un \( 2\pi \) ahí suelto y el resto del numerador si que se hace 0, por eso no puedo seguir, por lo que ya no puedo aplicar la regla una segunda vez.
\( \displaystyle\frac{d}{dz} \dfrac{(z-\pi)^2z^m}{\sin^2 z}=\frac{[2(z-\pi)z^m+(z-\pi)^2mz^{m-1}]\sin^2z-(2\sin z\cos z)(z-\pi)^2z^m}{\sin^4z}\qquad (E) \)
Ahora,
1. Haz el cambio \( w=z-\pi \) con lo cual \( z\to \pi\Leftrightarrow w\to 0 \).
2. Usa que \( \sin z=\sin (w+\pi)=-\sin w \) y que \( \cos z=\cos (w+\pi)=-\cos w \).
3. Usa que \( \sin w\sim w \) y saca factor común \( w^2 \) en el numerador y simplifica. En el denominador de \( (E) \) te quedará después de simplificar, \( w^2 \).
4. Saca factor común \( (w+\pi)^{m-1} \) en la expresión \( (E) \). Aquí obtendrás \( (w+\pi)^{m-1}\to \pi^{m-1} \) cuando \( w\to 0 \).
5. Aplica la regla de L'Hopital dos veces al resto.
Con esto te debería salir el residuo.
Te adjunto el cálculo de las derivadas en foto, ya que es algo largo.Las derivadas las sé sacar, lo único es al calcular los límites que como me salen muy largas las derivadas ahí ya me pierdo.
Bien, como te dije, escribe hasta donde has llegado y te ayudo a continuar.
En vez de calcular los residuos por derivadas, lo cual me está resultando bastante largo, no sería mejor hacerlo por desarrollo de Taylor como para el polo z=0?Estos serían ya todos los coeficientes \( c_n \) para n<0?
Sí.Y los residuos en \( z=\pi \) y en \( z=-\pi \) como los podría sacar?
Aplica el conocido teorema: si \( z_0 \) es un polo de orden \( n \) de \( g(z) \) entonces
\( \displaystyle\operatorname{Res}[g,z_0] = \dfrac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \dfrac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left( g(z)(z-z_0)^n \right). \)
En nuestro caso, y al ser \( n < 0 \):
\( g(z)=\dfrac{1}{z^{n+1}\sin^2 z}=\dfrac{z^{-n-1}}{\sin^2 z}=\dfrac{z^m}{\sin^2 z}\quad m\ge 0 \).
En el interior geométrico de la curva \( |z|=3\pi/2 \) la función \( g(z) \) tiene aparte del polo simple \( 0 \) (del cual hemos hallado el residuo), los polos dobles \( \pi \) y \( -\pi \) con lo cual tienes que hallar
\( \displaystyle\operatorname{Res}\left[\dfrac{z^m}{\sin^2 z},\pi\right] = \lim_{z \to \pi} \frac{d}{dz} \left( \dfrac{(z-\pi)^2z^m}{\sin^2 z} \right), \)
\( \displaystyle\operatorname{Res}\left[\dfrac{z^m}{\sin^2 z},-\pi\right] = \lim_{z \to -\pi} \frac{d}{dz} \left( \dfrac{(z+\pi)^2z^m}{\sin^2 z} \right) \).