Sea \( P_2 \) el espacio de polinomios reales de grado a lo sumo 2, con la norma \( \|p(x)\|=\left[\int _{-1}^1\:\left|p\left(x\right)\right|^2dx\right]^{\frac{1}{2}}  \) y sea el operador \(  T[p(x)]=\frac{d}{dx}p\left(x\right) \).
a) Si es acotado, calcular \( \|T\|  \).
b) ¿Es invertible? Si no lo es, considerar una restricción \( T_M  \) a un subespacio \( M \) de \( P_2 \), tal que \( T_M \) sea invertible. Calcular \( T_M^{-1} \) y \( \|T^{-1}\|  \).
Si alguien me podría ayudar con este ejercicio. Gracias de antemano.

Calcula las integrales \( I_n=\displaystyle\int _0^{2\pi }d\theta e^{-cos\theta }cos\left(n\theta +sen\left(\theta \right)\right),\:n\in \mathbb{Z} \).

Estoy empezando a hacer este ejercicio, si me pudierais ayudar, gracias de antemano.

Sea \( f\left(z\right)=\dfrac{z^2}{sen^2\left(z\right)cos\left(z\right)} \) (y f(0) se define por continuidad de modo que la función es analítica en z=0). Determina el desarrollo de Taylor de f(z) alrededor de z=0 hasta orden \( z^2 \) inclusive, y también el radio de convergencia de la serie completa.
Estoy empezando a hacer este ejercicio si me podríais ayudar, gracias de antemano.

Sea \( I_n\left(R,\lambda \right)=\int _{\gamma _R}\left(z^∗\right)^ne^{\lambda z}dz\: \) donde \( n\in \mathbb{Z},\:\lambda \in \mathbb{C} \) y \( \gamma _R \) es la circunferencia \( C\left(i\pi ,R\right),\:R>0\: \) y \( R\ne \pi \) si \( n<0 \).
a)Demuestra la fórmula \( I_n\left(R,\lambda \right)=\int _{\gamma _R}\left(\frac{R^2}{z-i\pi }-i\pi \right)^ne^{\lambda z}dz\: \)
b)Calcula \( I_2\left(R,\lambda \right) \) usando la fórmula integral de Cauchy (generalizada).
c)Demuestra que \( I_n\left(R,\lambda \right)=0 \) cuando \( n<0 \) y \( R>\pi \).
d)Calcula \( I_{-1}\left(R,\lambda \right) \) para \( R<\pi \) y particulariza el resultado para \( R=\pi/2 \) y \( \lambda =4/3 \).

Estoy empezando a hacer este ejercicio. Si me podríais ayudar, gracias de antemano.

a) Si para la función multivaluada \( f\left(z\right)=\sqrt{z-i}+\sqrt{z+i} \) se eligen los cortes de rama como los segmentos que unen z=i con z=-i, y z=-i con \( \infty  \), indica como se identifican los 16 bordes en las cuatro hojas para formar su superficie de Riemann.
b) Para la función multivaluada \( h\left(z\right)=\sqrt{z^2+1} \), sea H(z) la rama que se obtiene eligiendo el corte de rama como el segmento que une los dos puntos de ramificación y H(1)>0. Determina el valor de H(-2-i) y justifícalo.

Hola, estoy intentando hacer este ejercicio, si me pudierais ayudar, gracias.

Sea \( f \) una función holomorfa en un dominio \( G \) y tal que \( a\operatorname{Re}( f (z))+b\operatorname{Im}( f (z)) = c,\, \forall z\in G \), donde \( a,b,c\in \mathbb{R} \) son constantes y \( a \) y \( b \) no son ambos \( 0 \). Prueba que \( f \) es constante en \( G \). Si no te sale el caso general empieza por algún caso particular tal como \( a = 1,\, b = 0 \).

Buenas, estoy empezando a hacer este ejercicio, si me pudierais echar una mano, gracias.

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.

Sea  \( \left\{{z_n}\right\} \) una sucesión compleja tal que \( \forall{n} \)  \( z_n\neq0 \) y convergente a \( α \). Demuestra que la sucesión \( \displaystyle\frac{1}{z_n} \) converge a \( \displaystyle\frac{1}{α} \) si \( α\neq0 \).
Y luego demostrar también que  \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{z_n}}=\infty \) si \( α=0 \).

Alguna idea? Me piden que use la definición de límite directamente para demostrarlo, pero no sé bien bien como hacerlo.