[Ricardo Boza]

Hola,

En \( (\mathbb{R},d_e) \), si \( A\subset \mathbb{R} \) es un subconjunto propio abierto y cerrado, entonces la función \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) dada por \begin{align*}f(x)=\begin{cases}1 & \text{si} & x\in A\\ -1 &\text{si}& x\notin A\end{cases}\end{align*} sería continua y toma valores positivos y negativos pero no se anula.

Mi pregunta es por qué \( f \) es continua.

[Masacroso]

Hola,

En \( (\mathbb{R},d_e) \), si \( A\subset \mathbb{R} \) es un subconjunto propio abierto y cerrado, entonces la función \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) dada por \begin{align*}f(x)=\begin{cases}1 & \text{si} & x\in A\\ -1 &\text{si}& x\notin A\end{cases}\end{align*} sería continua y toma valores positivos y negativos pero no se anula.

Mi pregunta es por qué \( f \) es continua.

Hay un teorema que dice que un subconjunto de un solo elemento es siempre cerrado en un espacio métrico, entonces se cumple que toda preimagen de un abierto es abierta, por tanto \( f \) es continua (el conjunto vacío es siempre abierto y cerrado en todo espacio topológico).

Actualización: en verdad la respuesta más sencilla es darse cuenta de que toda preimagen de \( f \) es un conjunto abierto en \( (\Bbb R ,d_e) \), y por tanto \( f \) es continua (no hacía falta saber que los conjuntos \( \{1\} \) y \( \{-1\} \) son cerrados).

[Ricardo Boza]

Gracias Masacroso,

Saludos.