la primera observación para que la hemos la utilizado ,puesto que el problema verifica las hipótesis del teorema de linderberg-levy pues es de media \( \mu \) y varianza \( \sigma<\infty \)
lo único que nos queda es demostrar que
\( \displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)}}{\sqrt[ ]{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)^2}}} \) =\( (\bar{X_n} -n*\mu)/(\sqrt[ ]{\sigma^2/n} \)
y así pues por el teorema converge en distribución a Z
Lo que planteás estaría bien si se pudiera demostrar esa igualdad, pero, lamentablemente, la igualdad no vale. Por eso mismo necesitamos hacer uso de los otros teoremas.
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Ahora voy a intentar explicar dónde usar el teorema de Slutsky:
Como \( \displaystyle\frac{ \bar{X_n} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\;\; d{} \;\;} Z \), tenemos que \( \displaystyle\frac{ \bar{X_n} - \mu}{1/\sqrt{n}} \xrightarrow{\;\; d{} \;\;} \sigma Z \).
Habíamos dicho, además, que
Observación 1:
\( (\sqrt[ 2]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i - \mu)^2}/\sqrt{n}}) \xrightarrow{\;\; p{} \;\;} \sigma
\)
El teorema de Slutsky nos asegura que \( \displaystyle\frac{ \bar{X_n} - \mu}{1/\sqrt{n}} \) dividido por
\( (\sqrt[ 2]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i - \mu)^2}/\sqrt{n}})
\) (que converge en probabilidad a \( \sigma \), que es una constante), converge al cociente de los límites.
Por lo tanto,
\( \displaystyle\frac{ \bar{X_n} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\;\; d{} \;\;} \sigma Z/ \sigma = Z \)
Espero que haya quedado clara la importancia de utilizar los teoremas.
PD: Además, supongo que por error de tipeo, Falta la hipótesis de que la varianza sea positiva.
