[Pie]

Creo que ya voy pillando la idea, entonces la razón principal de que el pequeño teorema de Fermat se cumpla sería que la función de Euler es igual a \( m-1 \) si \( m \) es primo no?

Bueno, lo de "la razón principal" se presta a mucha filosofía. Si consideras que "la razón por la que se cumple el teorema de Fermat" es que se cumple el teorema de Euler, del cual es un caso particular, entonces sí, es lo que dices. Pero alguien te podría decir que es artificial invocar el teorema de Euler para entender el teorema de Fermat, en el sentido de que es una generalización innecesaria.

Sin ánimo de sentar cátedra en algo bastante subjetivo, yo simpatizaría con la idea de que, en efecto, alguien que conozca el teorema de Euler "entiende mejor" el teorema de Fermat, pero hay que ser consciente de que podemos escalar aún más, y podríamos decir que el teorema de Euler es un caso particular del teorema de Lagrange, que dice que el orden de un subgrupo divide al orden de un grupo, y éste se podría generalizar un poco más, a su vez (al teorema de transitividad de índices) y entonces uno se tiene que parar a pensar en qué momento la generalización pasa de ser una ayuda al entendimiento a ser un exceso.

Ok, sí, igual me vine demasiado arriba con esa expresión XD Pero es la primera vez que veo una diferencia clara (para este caso) entre números primos y compuestos, algo que hasta el momento no había sido capaz de ver (seguramente por torpeza, ya que con todo lo que me explicasteis antes seguro que ya se puede entender, pero estoy un pelín espeso hoy  ).

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Ok, sí, igual me vine demasiado arriba con esa expresión XD Pero es la primera vez que veo una diferencia clara (para este caso) entre números primos y compuestos, algo que hasta el momento no había sido capaz de ver (seguramente por torpeza, ya que con todo lo que me explicasteis antes seguro que ya se puede entender, pero estoy un pelín espeso hoy  ).

No sé si entiendo a qué te refieres, pero si quieres decir a por qué el teorema de Fermat requiere que \( p \) sea primo, la situación general es que el fenómeno que describe el teorema se aplica siempre que existe el orden, es decir, siempre que existe un \( n>0 \) tal que \( a^n\equiv 1\pmod m \), y eso pasa exactamente cuando \( a \) y \( m \) son primos entre sí. En general, se llama \( U_m \) al conjunto de los restos módulo \( m \) que son primos con \( m \), y hay un total de \( \phi(m) \) de estos restos.

Por ejemplo, si \( m=15 \) el grupo \( U_{15} \) está formado por los \( \phi(15)=8 \) restos que puse en la última tabla para rellenar.

Que \( m \) sea primo sólo importa en cuento que eso hace que \( U_m \) sean todos los restos no nulos módulo \( m \), que son \( m-1 \). Si \( m \) no es primo, no hay \( m-1 \), sino \( \phi(m) \).

El resultado más general (dentro de lo razonable) es que si tienes un elemento de un grupo finito (como el resto \( 2 \) en el grupo \( U_{15} \)), el menor exponente al que tienes que elevarlo para obtener un 1 divide al número de elementos del grupo (en el ejemplo de \( 2 \) en \( U_{15} \), dicho número es \( 4 \), que divide a \( 8 \)).

[feriva]

Wikipedia tiene una página dedicada a varias demostraciones del Pequeño Teorema, Pie (la que te he puesto es prácticamente la misma que la penúltima).


https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraciones_del_peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat

Saludos.

[Pie]

Ok, gracias Carlos y feriva. Hoy lo dejo por el momento, mañana volveré a releer el hilo y los enlaces a ver si voy asentando las ideas. Muchas gracias de verdad.

Saludos.

[feriva]

Ok, gracias Carlos y feriva. Hoy lo dejo por el momento, mañana volveré a releer el hilo y los enlaces a ver si voy asentando las ideas. Muchas gracias de verdad.

Saludos.

De nada, Pie, para mañana te dejo algo mucho más simple que todo esto y que quizá te resulte de interés:

....


Para ver ese tipo de diferencia que aparece aquí (en cuanto a por qué ocurre siempre con los primos pero sólo a veces con los compuestos) tienes el Lema de Euclides, que es sencillisimo (y creo que conocerás, pero lo cuento).

Dado el producto de dos números primos entre sí, \( a\cdot b
  \) si un primo \( p
  \) divide a \( a\cdot b
  \), entonces o bien divide a \( a
  \) o bien divide a \( b
  \); porque estamos considerando que son coprimos, no tienen factores comunes; así, por ejemplo, 7 divide al producto \( 15\cdot14
  \); pero sólo divide a 14, porque 15 no tiene el factor 7 en su descomposición.

Con los primos va a pasar siempre, porque sólo se descomponen en un factor distinto de 1, no pueden “desdoblarse” en el denominador para dividir a los dos factores (si son coprimos). Sin embargo, con los compuestos, a veces sí y a veces no. Por ejemplo, 10 divide al producto \( 20\cdot17
  \), pero sólo divide a 20; ahí 10 está “funcionando” como un primo. Sin embargo, 34 divide a \( 20\cdot17
  \), pero no divide a ninguno de los dos, ni a 20 ni a 17. Entonces aquí 34 no “funciona” como un primo.

En el teorema éste hay unos compuestos a los que les pasa eso (dentro de las condiciones del teorema). Incluso hay unos especialmente puñeteros que escapan a los tests de primalidad que no son lo bastante sofisticados; los números de Carmichael:

https://www.gaussianos.com/los-numeros-de-carmichael/

Si no existieran compuestos que “funcionasen” como primos, el teorema se cumpliría sólo para los primos, en exclusiva.

Saludos.