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Mensajes - Juan Miguel Barga

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Hola

Hola, Luis. Te agradezco el interés y las aclaraciones que estás dando. Si, además, aclarases la cuestión que planteo en el documento adjunto, te estaría agradecido. :)

Consideras la ecuación:

\( n_1(2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p})\equiv k_p\quad  mod\quad   n_13^{p-1} \) (*)

Sabes además por el Teorema de Euler que:

\( 2^{2\cdot 3^{p-2}}\equiv 1\quad   mod\quad   3^{p-1} \)

Pero aquí ya dos matices:

1) El exponente que da el Teorema de Euler no es necesariamente el mínimo para cual la potencia es la unidad. Lo que se sabe es que se exponente \( e_0 \) mínimo es divisor de \( 2\cdot 3^{p-2} \). Puede coincidir o puede ser menor.

2) Y después cualquier múltiplo de ese exponente también da potencia 1, es decir:

\( 2^{q\cdot w_0}\equiv 1\quad   mod\quad   3^{p-1} \) para cualquier natural \( q \)

Entonces incluso aunque en la ecuación (*) consideres el caso \( k_p=n_1 \) eso no implica que necesariamente \( \alpha_2+\ldots+\alpha_ p=2\cdot 3^{p-2} \) o que  \( \alpha_2+\ldots+\alpha_p=2\cdot 3^{p-2}=e_0 \). Lo que implica es que \( \alpha_2+\ldots+\alpha_ p=2\cdot 3^{p-2} \) es múltiplo de ese \( e_0 \).

Si \( A\neq 1 \) mod \( 3^{p-1} \) lo que sabes es que \( \alpha_2+\ldots+\alpha_ p=2\cdot 3^{p-2} \) NO es múltiplo de ese \( e_0 \).

Saludos.

Podemos verlo con con un simple ejemplo,  tomemos n1=5, entonces tras 1 paso (3n+1) llegamos  a 16, y tras 4 pasos de dividir por 2 llegamos a 1,  luego \( \alpha_2+\ldots+\alpha_ p \) =5 y p es 2,

claramente  \( 5\neq 2\cdot{}3^{(2-2)} \)

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Aqui les presento otra bonita  igualdad, que visualiza como el "K" presentado por Jesus Álvarez en la  página  4,  es  \( 3^i-2^i \)

\( \displaystyle\sum_{m=1}^{m=i}3^{(i-m)}\cdot{}2^{(m-1)} = 3^i-2^i \)

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Hola

 De acuerdo, no es exactamente la crítica que te había planteado pero es muy parecida. El problema es el siguiente

 En la prueba del Teorema 2:

 - En los casos a)b)c.i) trabajas bajo la suposición \( n_1=n_p \) y pruebas que eso no es posible si \( mcd(n_1,k)=1 \), \( h\neq n_1 \) ó si \( mcd(n_1,k)=n_1 \) y \( n_1 \) es múltiplo de \( 3 \).

 - En el caso c.ii) sin embargo trabajas bajo la suposición \( n_1=n_{p-1} \) y \( mcd(n_1,k)=n_1 \) con \( n_1 \) no múltiplo de \( 3 \). Pero OJO ahí ese \( k \) es el de la expresión de \( n_p=\dfrac{3^{p-1}n_1+k}{2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p}} \).

 Entonces en ningún momento estas descartando que \( n_1=n_p \) y  \( mcd(n_1,k)=n_1 \) con \( n_1 \) no múltiplo de \( 3 \).

 O visto de otra manera en ningún momento estás descartando que \( n_1=n_{p-1} \) si \( mcd(n_1,k)=1 \), \( h\neq n_1 \) ó si \( mcd(n_1,k)=n_1 \) y \( n_1 \) es múltiplo de \( 3 \) (siendo en todos esos caso el \( k \) de la expresión \( n_p \)).

 Como te dije el usar en el caso c.ii) \( n_1=n_{p-1} \) no viene a cuento y hace que todo que apliques ahí no se relacione con lo que has descartado antes.

Saludos.

Podemos enlazar esto con mi hilo, pues  la expresión \( n_p=\dfrac{3^{p-1}n_1+k}{2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p}} \).
que aqui presenta, es la misma que yo demostraba que era

\( Y=\frac{( 3^j\cdot{}x_{jn}+3^j-2^j)}{2^j} \)
Quedaba demostrado que:
"Podemos expresar todo impar como \(  x_{jn} =  2^j\cdot{}(2n-1)-1 \), donde j,n\( \ \in{N} \),  / al aplicarle \( (3X+1)/2 \) j veces llegamos a un par \( Y=\frac{( 3^j\cdot{}x_{jn}+3^j-2^j)}{2^j} \)"
Si a ese par Y, le aplicamos  \( \frac{Y}{2^k} \) llegamos al impar \( n_p \). donde  p es  j+1, pues yo partí de  laconjetura simplificada en la que el paso es  (3n+1)/2, en  lugar de 3n +1
 
 \( n_p=\dfrac{3^{p-1}n_1+3^{p-1}-2^{p-1}}{2^{p-1+k}} \). ¿ \( n_p \) será siempre distinto de \( n_1 \)?

El calculo de k en función de  n1, es  muuuyy complejo, aunque  está resuelto.

Pero la única conclusión a la que llegamos es que al poderse aplicar a todo impar, (por la  propia definición de  \( X_2 \)), "Llegamos a  otro distinto ?", y así sucesivamente, por lo que es razonable pensar que tras \( n \) ciclos de  aplicar las reglas \( j \) y \( k \),  veces, aparecerá el \( 1 \) irremediablemente, pues mientras  no aparezca seguiremos iterando....


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Responderé, pero necesito tiempo.

5
¡¡¡¡¡ Exacto ¡¡¡¡

\( a/b \) mod \( c=d \)   equivale a:  \( \dfrac{a}{b}=d+kc \)

Y del mismo modo que hemos pasado de un módulo a una serie, podemos pasar de una serie a un módulo.

\( \dfrac{a}{b}=d+kc\Rightarrow{} \) \( a=b(d+kc)=bd+cbk \)   equivale a: \( a \) mod \( cb=bd\Rightarrow{} \) (\( a \) mod \( cb)/b=d\Rightarrow{} \)

\( a/b \) mod \( c=(a \) mod \( cb)/b \)
 
Que es la formula con la que iniciábamos este hilo..  que podrá utilizarse  cuando por algún motivo no sea posible realizar la división a/b

Gracias y un cordial saludos.

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No, no es eso, intento expresarlo más claramente:

Por ejemplo:

X congruente con 2 mod 3,\( (X\equiv{} 2 \) mod 3\( ) \) significa que  X mod 3=2, con lo que \( X=3*i +2 = \) {2,5,8,11......}

Si decimos:  \( (X+1)/2 \) congruente con \( 1 \) mod \( 3 \), significa que \( ((X+1)/2) \) mod 3 = 1 \( \Rightarrow{} X= \){1,7,13,.....}

(Evidentemente no es lo mismo que \( (X+1) \) = \( 1\cdot{}2 \) mod \( 3 \) donde  X={1,5,7,10,13....})

La pregunta es, entonces, como se resuelve \( (X+a)/b \) mod \( c=d \)
     

         

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Me retracto....

No es cierto que, tras j pasos de incremento (3x+1)/2, y  k pasos, de dividir por 2,  X1 sea siempre < que  X2

Un simple contra ejemplo:

X2=11 => sube hasta el 26 tras j=2 pasos, y cae al X1=13 tras k=1 paso.

Habrá que seguir aplicando n veces el proceso j,k hasta que siempre se cumpla... pues por observación, en cada ciclo j,k  el núnero de casos en que se  cumple parece incrementarse...

Gracias.

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Gracias por tus comentarios, y por pasarlo a un nuevo hilo:

Evidentemente, solo he mostrado la prueba del primer paso:

Por lo que  queda demostrado que:
"Podemos expresar todo impar como \(  x_{jn} =  2^j\cdot{}(2n-1)-1 \), donde j,n\( \ \in{N} \),  / al aplicarle \( (3X+1)/2 \) j veces llegamos a un par \( Y=\frac{( 3^j\cdot{}x_{jn}+3^j-2^j)}{2^j} \)"

Estoy  preparando el siguiente, (Traducir mis apuntes a TEX es un infierno).

Paciencia....

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Demostración:

\( x_{jn}=2^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)-1\Rightarrow{}x_{jn}+1=2^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)
\Rightarrow{}3\cdot{}(x_{jn}+1)=3\cdot{}2^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)\Rightarrow{} \)
\( 3\cdot{}x_{jn}+3=3\cdot{}2^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)\Rightarrow{}
3\cdot{}x_{jn}+1+2=3\cdot{}2^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)\Rightarrow{} \)
\( (3\cdot{}x_{jn}+1+2)/2=3\cdot{}2^{(j-1)}\cdot{}(2\cdot{}n-1)\Rightarrow{}
(3\cdot{}x_{jn}+1)/2+1=3\cdot{}2^{(j-1)}\cdot{}(2\cdot{}n-1)\Rightarrow{} \)

\( a_1=(3\cdot{}x_{jn}+1)/2=2^{(j-1)}\cdot{}3\cdot{}(2\cdot{}n-1)-1\Rightarrow{} \)

 ..... tras j iteraciones ....

\( a_j=(3\cdot{}a_{(j-1)}+1)/2=2^{(j-j)}\cdot{}3^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)-1=3^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)-1 \),  ¡¡¡¡¡¡  PAR ¡¡¡¡¡¡¡

Despejemos n de  la ecuación inicial:

\( x_{jn}=2^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)-1\Rightarrow{}(x_{jn}+1)/2^j=2\cdot{}n-1\Rightarrow{}
(x_{jn}+1)/2^j +1=2\cdot{}n\Rightarrow{} n=(x_{jn}+1+2^j)/2^{(j+1)}  \)

Sustituyendo n en:  \( a_j=3^j\cdot{}(2\cdot{}n-1)-1 \)

\( a_j=3^j\cdot{}(2\cdot{}(x_{jn}+1+2^j)/2^{(j+1)} -1)-1\Rightarrow{}
a_j=( 3^j\cdot{}x_{jn}+3^j+2^j\cdot{}3^j)/2^j -3^j-1\Rightarrow{} \)
\( a_j=( 3^j\cdot{}x_{jn}+3^j+2^j\cdot{}3^j-2^j\cdot{}3^j-2^j)/2^j=( 3^j\cdot{}x_{jn}+3^j-2^j)/2^j  \)

Llamemos Y a nuestro par \( a_j \)

\( Y=\frac{( 3^j\cdot{}x_{jn}+3^j-2^j)}{2^j} \)

Por lo que  queda demostrado que:
"Podemos expresar todo impar como \(  x_{jn} =  2^j\cdot{}(2n-1)-1 \), donde j,n\( \ \in{N} \),  / al aplicarle \( (3X+1)/2 \) j veces llegamos a un par \( Y=\frac{( 3^j\cdot{}x_{jn}+3^j-2^j)}{2^j} \)"

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Pues vamos a ello:

primer paso:
 
"Demostrar que para todo impar \( X_2 \), \( \exists{} \) un \( j=f(X_2) \in{N} \),  / al aplicarle \( (3X+1)/2 \) j veces llegamos a un par Y".

La ecuación:  \(  x_{jn} =  2^j\cdot{}(2n-1)-1 \), representa a todos los números impares, en función de  \( j,n \in{\mathbb{N}}  \).
Todo par puede  representarse  como  una potencia de 2 por un impar \( 2^j\cdot{}(2n-1)  \), y todo número impar puede representarse como ese par menos 1,  por lo que es evidente que:
\(  x_{jn} =  2^j\cdot{}(2n-1)-1 \), representa a todos los números impares.

El motivo de usar esta formula es que "j" representa el número de veces que a un impar le hemos de aplicar  \( (3\cdot{}x_{jn}+1)/2 \) para que nos de un par.

Ejemplo:

   \( x_{jn} = 23 \Rightarrow{} (23+1) = 2\cdot{}2\cdot{}2\cdot{}3 \Rightarrow{} j=3 , n=2 \)

Los tres pasos:

1) \( (3\cdot{}23+1)/2 = 35 \)
2) \( (3\cdot{}35+1)/2 = 53 \)
3) \( (3\cdot{}53+1)/2 = 80 \)  ¡¡¡¡ "par" ¡¡¡¡

y aquí la ecuación que nos calcula ese par:

\( Y=(3^j \cdot{}x_{jn}+3^j-2^j)/2^j  \)

En nuestro ejemplo:

\( Y=(3^3 \cdot{}23+3^3-2^3)/2^3=80  \)

La demostración de la veracidad de  esta formula ha sido larga, (10 noches de confinamiento covid) y trataré de exponerla seguidamente, mientras tanto, se podrá comprobar la veracidad de esta formula con cuantos ejemplos queramos.
Disculpas por no continuar hoy..."mañana más...."

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Y ahora les presento la maravilla de esta ecuación:

El señor Collazt no lo explicó, pero aquí descubrimos su secreto...

en la ecuación:  \(  x_{jn} =  2^j\cdot{}(2n-1)-1 \)

"j" representa el número de veces que a un impar le hemos de aplicar  \( (3\cdot{}x_{jn}+1)/2 \) para que nos de un par.

Ejemplo:

   \( x_{jn} = 23 \Rightarrow{} (23+1) = 2\cdot{}2\cdot{}2\cdot{}3 \Rightarrow{} j=3 , n=2 \)

Los tres pasos:

1) \( (3\cdot{}23+1)/2 = 35 \)
2) \( (3\cdot{}35+1)/2 = 53 \)
3) \( (3\cdot{}53+1)/2 = 80 \)  ¡¡¡¡ "par" ¡¡¡¡

y aquí la ecuación que nos calcula ese par:

\( a_j=(3^j \cdot{}x_{jn}+3^j-2^j)/2^j  \)

En nuestro ejemplo:

\( a_3=(3^3 \cdot{}23+3^3-2^3)/2^3=80  \)

La demostración me llevó 10 noches de confinamiento covid-19, y 20 fólios pero mereció la pena.

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A ver si así se entiende  mejor el cambio de  variables, se trata de  asemejar nuestra  ecuación al caso ax+by=c, para  aplicarle el algoritmo de Euclides:
Partimos  de  nuestra ecuación:

\(  x_{jn} = 2^j\cdot{}(2n-1)-1 = 2\cdot{}2^j\cdot{}n-2^j-1\Rightarrow{}  \)

\(  x_{jn}+1 = 2\cdot{}2^j\cdot{}n-2^j \)

Y buscamos cambios de  variables para  asemejarla a "ax+by=c"

Cambios de variable:
 
\( K=(x_{jn}+1) \)
\(  Y=2^j  \)
\( Z=2^j\cdot{}n=Y\cdot{}n \)

lo que transforma  nuestra ecuación en:

\( K=2\cdot{}Z-Y \)


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 Gracias Robin por la  respuesta.

My intento se apoya en un cambio de  variables

Cambios de variable:

\(  Y=2^j  \), par;  \( Z=Y\cdot{}n \), par;  \( K=(x_{jn}+1) \), par
\(  x_{jn} =  2^j\cdot{}(2n-1)-1 = 2^{(j+1)}\cdot{}n-2^j-1  \Rightarrow{} K=2\cdot{}Z-Y \)

Y ahora podemos aplicar el algoritmo de Euclides

\(  1=2-1\Rightarrow{}K=2K-K \Rightarrow{} K=2\cdot{}(K-Q)-(K-2Q) \)

1)  \( Z=(K-Q)\Rightarrow{} Z\geq{}2 \), par;  \( Q\geq{}0 \), par;\(  \Rightarrow{}  Q \leq{} (K-2) \)
             
2)  \( Y=(K-2Q) , Y=2^j\Rightarrow{}Y\geq{}2; \Rightarrow{} (K-2Q)\geq{}2\Rightarrow{} Q\leq{}(K-2)/2

\Rightarrow{} 0\leq{}Q\leq{}(K-2)/2, Q par \Rightarrow{} Q=2\cdot{}R \Rightarrow{}    0\leq{}R\leq{}(K-2)/4, \forall{}R\in{}N \)

deshaciendo los cambios de  variable, llegamos a:

\( n=\frac{x_{jn} +1-2\cdot{}R}{x_{jn} +1-4\cdot{}R} \)

\(  \forall{}R\in{}N \) donde \(  0\leq{}R\leq{}\frac{x_{jn}-1}{4} \)

Consiguo acotar los  valores, pero  no resolverlo.




 

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Perfecto ¡¡¡¡¡

Podemos ver que “j” es el número de  veces que podemos dividir por dos a  \(  x_{jn}+1 \) , y “n”  es el  resto impar +1, dividido por 2

Perooo, ¿Habrá una  formula  matemática para expresar esto? 

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La respuesta es "SI"...

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Buenas tardes:

Les presento una preciosa ecuación:

 \(  x_{jn} =  2^j\cdot{}(2n-1)-1 \)

Esta ecuación representa todos los números impares, en función de  \( j,n \in{\mathbb{N}}  \).
Todo número impar puede representarse como un par menos 1, y todo par puede  representarse  como  una potencia de 2 por un impar.

Esta ecuación, para un X dado tiene una  única solución j,n, pero sabríamos calcular ese j,n  mediante una formula matemática.

¿sabremos resolver esta ecuación diofántica no lineal  de 2 variables?


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Por favor, de manera teórica , como se resolvería la ecuación:

\( (X+a)/b \) congruente con \( d \) mod \( c \),  donde \( a,b,c,d \) y \( X \) son enteros.  ¿Cuáles serían los valores de  \( X \), expresados como un módulo?

Gracias.

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Si pudiera demostrar que el número de pasos para que todo impar  \( X_2 \) ,  al aplicarle \( (3n+1)/2 \) es \( j=f(X_2) \),  y que el número de pasos para que ese par \( Y \), llegue a otro impar \( X_1 \)  dividiéndolo \( k \) veces por \( 2 \), es  \( k=f(j) \) , y que  ese \( X_1 \) siempre es menor que  \( X_2 \)  quedaría demostrada?.

O sea, para todo \( X_2 \) existe un \( j \)  tal que tras aplicar \( j \) veces  \( (3n+1)/2 \)  nos  da  un par "Y",  tal que al aplicarle \( k \) veces \( Y/2 \), nos da un impar \( X_1 \) tal que \( X_1<X_2 \). Si se puede demostrar esto, ¿la  conjetura quedaría  demostrada?.

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Gracias Luis por responder:

Y si imaginásemos por un momento que  la  aritmética modular no tiene porque estar restringida a números enteros????....

en tu ejemplo: \( 1=1 \) mod \( 3=(2\cdot 1/2) \) mod \( 3=(2\cdot 1/2 mod 3) \) mod \( 3\Rightarrow \) todos estos números \( (3\cdot i-2)/2=\{1/2, 2, 7/2, 5, 13/2, 8,\ldots\} \). son congruentes con \( 1/2 \) mod \( 3 \). Y si el valor \( x \) módulo \( 3 \) esta definido como un número entre \( 0 \) y \( 3 \).  tanto lo cumple \( 1/2 \) como \( 2 \).
Y sin embargo como bien dices en \( 5/2 \) mod \( 6 \), \( (6\cdot i-1)/2=\{5/2, 17/2, 29/2\ldots \} \) no hay enteros, pero todos  esos números siguen siendo congruentes con \( 5/2 \) mod \( 6 \).

lo que hago es expresar el modulo como una serie: decir a es congruente con "\( b \) mod \( c \)" es lo mismo que decir \( a=a_i=c\cdot i-(c-b) \) \( \forall{} \) \( i \) perteneciente a \( \Bbb N \),  y viceversa, y en las series nada impide que \( c \) o \( b \) no sean enteros.

 \( x=a/b \) mod \( c \) \( \Rightarrow \)  \( x=c\cdot i-(c-a/b) \) \( \Rightarrow \) \( x=(c\cdot b\cdot i-(c\cdot b-a))/b \) \( \Rightarrow \) \( a/b \) mod \( c \) = (\( a \) mod \( (c\cdot b))/b \)

Mensaje corregido desde la administración.

20
Este mensaje quiere matizar la siguiente observación:

Citar
Observación importante: La división en general no está permitida en las igualdades que involucran congruencias.

que se hace en este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=34174.msg134826#msg134826

Ha sido separado por la administración para mayor comodidad y claridad en su lectura.



Citar
Observación importante: La división en general no está permitida en las igualdades que involucran congruencias.

Buenas tardes:  esta  observación es matizable:
investigando un tema me  he  visto en la necesidad de  resolver  \( X=(a/b) \) mod \( c \) , donde  \( a \) es muuuuy grande, y no es viable la división.

Lo he  resuelto,  con un cambio de  módulo, y seguidamente con una  descomposición de  \( a \) en varios productos,
un ejemplo fácil : \( X=12/3 \) mod \( 3\quad \Rightarrow{}X=1 \),   el cambio es el siguiente: \( (12\textsf{ mod }9)/3=1 \).
en mi caso \( a/b=((2^{52})\cdot 17+2^4)/(3^4)  \) tengo que calcular \( (a/b) \) mod \( 3 \), y el resultado es "0".
si ves esto interesante, puedes contactar y paso la demostración general.

Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

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