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Mensajes - NoelAlmunia

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Cálculo 1 variable / Re: Límite Exponencial
« en: 04 Mayo, 2021, 05:42 pm »
Cordial saludo

Calcular el valor de \( a\in{\mathbb{R}} \) para que se cumpla \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}\left({{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^{2}+x+1}}{x}}}\right)^{\displaystyle\frac{ax^{2}+1}{x}}=\ e ^{2} \)


Hallo  \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^{2}+x+1}}{x}}=1 \)  y  \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{ax^{2}+1}{x}}=\infty \)

Luego se tiene la indeterminación: \( 1^{\infty} \)

Después hago \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^{2}+x+1}}{x} - 1 \) y luego multiplicar con \( \displaystyle\frac{ax^{2}+1}{x} \)

Pero  no sé cómo hallar el valor de \( a \)

Muchas gracias.

Saludos cordiales.
\( \displaystyle L=\lim_{x \to{+}\infty}{\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}\right)^\left(\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\right)} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}\right)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[ ]{1+\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}=1 \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\left(2ax\right)=\infty} \)

Por tanto: \( \displaystyle L=\lim_{x \to{+}\infty}{\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}\right)^\left(\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\right)}=1^\infty \)

Haciendo: \( f_\left(x\right)=\ln\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}\right)^\left(\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\right) \)

Anteriormente había cometido un error conceptual ya que la regla \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{f_\left(x\right)}{g_\left(x\right)}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f_\left(x\right)}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g_\left(x\right)}} \) se cumple sí: \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g_\left(x\right)}\ne 0 \)

Por lo tanto, continuando la operación:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f_\left(x\right)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\ln\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}\right)}{\left(\displaystyle\frac{x}{ax^2+1}\right)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{x+2}{2x^2\sqrt[ ]{x^2+x+1}}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}}}{-\displaystyle\frac{ax^2-1}{\left(ax^2+1\right)^2}}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x+2}{2x^3+2x^2+2x}}{\displaystyle\frac{ax^2-1}{\left(ax^2+1\right)^2}}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\left(x+2\right)\,\left(ax^2+1\right)^2}{\left(2x^3+2x^2+2x\right)\,\left(ax^2-1\right)}} \)

\( =\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a^2x^5+2a^2x^4+2ax^3+4ax^2+x+2}{2ax^5+2ax^4+\left(2a-2\right)x^3-2x^2-2x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{5a^2x^4+8a^2x^3+6ax^2+8ax+1}{10ax^4+8ax^3+\left(6a-6\right)x^2-4x-2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{20a^2x^3+24a^2x^2+12ax+8a}{40ax^3+24ax^2+\left(12a-12\right)x-4}} \)

\( =\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{60a^2x^2+48a^2x+12a}{120ax^2+48ax+\left(12a-12\right)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{120a^2x+48a^2}{240ax+48a}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{120a^2}{240a}}=\displaystyle\frac{a}{2} \)


Concluyendo, tenemos que: \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\ln\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}\right)^\left(\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\right)=\displaystyle\frac{a}{2}} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}\right)^\left(\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\right)}=e^{\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)} \)

Para que se cumpla la igualdad propuesta: \( \left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)=2 \)
\( a=4 \)

Adjunto una comparación gráfica de las dos funciones que verifica que cuando en la función \( \left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+x+1}}{x}\right)^\left(\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\right) \)  la constante \( a \) toma el valor 4, entonces la gáfica tiende asintóticamente al infinito hacia el valor \( e^2 \)


•   La primera aparición impresa de la regla de L’Hospital fue en el libro “Analyse des Infiniment Petits”, publicado por el eminente matemático francés Guillaume François Antoine de L’Hospital, Marqués de Sainte-Mesme, Conde de Entremont, Señor de Ouques, en 1696, pero la regla fue descubierta realmente en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli. Ambos entraron en un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de L’Hospital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli.


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Cálculo de Varias Variables / ¿Quién llega primero?
« en: 22 Abril, 2021, 10:40 pm »
Dos automóviles recorren trayectorias diferentes descritas por las curvas polares: \( r_1=\left(\theta\,^{4}/6\right) \) y \( r_2=\theta\,^{3} \) como se muestra en la gráfica adjunta.
Si ambos se desplazan con la misma velocidad constante de \( 10\,m/s \), ¿cuál automóvil llegará primero a su destino?



Imagen hecha visible por un moderador

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Cálculo de Varias Variables / Re: Masa de un alambre
« en: 21 Abril, 2021, 10:03 pm »
Hola

Hay que parametrizar la línea, sus puntos cumplen :

x=y

\( x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow{2x^2+z^2=1}\Rightarrow{z=\pm{\sqrt[ ]{1-2x^2}}} \)

En consecuencia la línea tomando como parámetro x se puede considerar como la reunión de 2 líneas, ambas son semicircunferencias :

\( \alpha_1:J_1\rightarrow{R^3} \)

\( x\rightarrow{\alpha_1(x)=(x,x,\sqrt[ ]{1-2x^2})} \)

\( \alpha_2:J_2\rightarrow{R^3} \)

\( x\rightarrow{\alpha_2(x)=(x,x,-\sqrt[ ]{1-2x^2})} \)

El integral de línea para la primera será : \( \displaystyle\int_{C_1}^{} \delta (\alpha_1(x)) \ \left\|{\alpha_1'(x)}\right\| \ dx \) el intervalo del parámetro se obtiene de los puntos de la línea que están en el plano XY es decir z=0 esto implica \( 2x^2=1\Rightarrow{\left |{x}\right |=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}}\Rightarrow{J=[-1/\sqrt[ ]{2},1/\sqrt[ ]{2}]} \) con eso el integral queda  \( \displaystyle\int_{-1/\sqrt[ ]{2}}^{1/\sqrt[ ]{2}} \delta (\alpha_1(x)) \ \left\|{\alpha_1'(x)}\right\| \ dx \) se puede observar que el integral de la segunda línea será igual entonces la masa m será : \( m=2 \ \displaystyle\int_{-1/\sqrt[ ]{2}}^{1/\sqrt[ ]{2}} \delta (\alpha_1(x)) \ \left\|{\alpha_1'(x)}\right\| \ dx \)



Saludos



Está claro. No sé si lo has resuelto pero me ha dado por esta via \( \displaystyle\frac{\pi}{32} \)

\( m=\displaystyle\int_{C}\left(1-2x^2\right)\,y^4\,dl \)    Si: \( z=\pm{\sqrt[ ]{1-2x^2}} \), entonces: \( \left(\displaystyle\frac{dz}{dx}\right)=\mp{\displaystyle\frac{2x}{\sqrt[ ]{1-2x^2}}} \)
Los otros diferenciales respecto a \( x \) son igual a 1

Por tanto, integrando respecto a \( x \) los límites van de \( -\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \) hasta \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \):
\( m=\displaystyle\int_{C}\left(1-2x^2\right)\,x^4\,\left\{\pm{\sqrt[ ]{2+\displaystyle\frac{4x^2}{1-2x^2}}\,dx}\right\}=\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{2}/2}^{\sqrt[ ]{2}/2}\left(1-2x^2\right)\,x^4\,\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2}{1-2x^2}}\,dx-\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{2}/2}^{-\sqrt[ ]{2}/2}\left(1-2x^2\right)\,x^4\,\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2}{1-2x^2}}\,dx \)

\( m=2\sqrt[ ]{2}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{2}/2}^{\sqrt[ ]{2}/2}x^4\,\sqrt[ ]{1-2x^2}\,dx=2\sqrt[ ]{2}\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\displaystyle\frac{1}{4}\,\sen^4\left(\theta\right)\,\sqrt[ ]{1-\sen^2\left(\theta\right)}\,\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sen^4\left(\theta\right)\,\cos^2\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

\( m=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\sen\left(\theta\right)\,\cos\left(\theta\right)\right)^2\,\sen^2\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right)=\displaystyle\frac{1}{16}\,\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sen^2\left(2\theta\right)\,\left(1-\cos\left(2\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)=\displaystyle\frac{1}{32}\,\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1-\cos\left(2\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)-\displaystyle\frac{1}{32}\,\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sen^2\left(2\theta\right)\,d\left(\sen\left(2\theta\right)\right) \)

\( m=\displaystyle\frac{\pi}{32}-\displaystyle\frac{1}{64}\,\,\sen\left(2\theta\right)\Big]_{-\pi/2}^{\pi/2}-\displaystyle\frac{1}{96}\,\,\sen^3\left(2\theta\right)\Big]_{-\pi/2}^{\pi/2} \)

\( m=\displaystyle\frac{\pi}{32} \)

Gracias.

4
Determine la ecuación de la circunferencia \( C \) tal que cuyo centro es el punto \( D(0,-2) \) y es tangente a la recta \( L: 5x-12y+2=0. \)

Hola, como puedo plantear este ejercicio?

La distancia desde cualquier tangente a una circunferencia hasta su centro constituye el radio de la misma.
La distancia de una recta a un punto \( \left(x_0;y_0\right) \) se calcula, como bien dice Luis, mediante:

\( d=\displaystyle\frac{\left|Ax_0+By_0\pm{C}\right|}{\mp{}\sqrt[ ]{A^2+B^2}} \)

O sea, el signo del radical es opuesto al de \( C \). Si \( C \) es cero, entonces toma el mismo signo que \( B \)
La distancia puede tener signo negativo, pero esto solo indica que el punto en cuestión y el orígen se encuentran a un mismo lado de la recta. Encaso contrario, es positiva.

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Cálculo 1 variable / Re: Analyse des Infiniment Petits
« en: 20 Abril, 2021, 03:20 pm »
Gracias Luis, ya vi cual es el problema. Tú mantuviste \( \left(d-x\right)^2 \) hasta el final, yo no. Yo lo descompuse y por tanto obtuve una ecuación cúbica al derivar e igualar a cero, de la forma: \( 2d\,x^3-\left(2d^2+r^2\right)\,x^2+d^2\,r^2=0 \), que tiene la estructura \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \)
Para darle solución la llevé a la forma: \( y^3+3py+2q=0 \)
Dónde: \( 2q=\left(\displaystyle\frac{2b^3}{27a^3}\right)-\left(\displaystyle\frac{bc}{3a^2}\right)+\displaystyle\frac{d}{a} \) y \( 3p=\displaystyle\frac{3ac-b^2}{3a^2} \).
Para esto tuve que asignarles valores a \( d \), a \( r \) y a \( l \); y como el discriminante \( D=q^2+p^3 \) me dio menor que cero, pude determinar los tres valores reales \( y_1 \), \( y_2 \) y \( y_3 \).
Luego retorno a la variable \( x \) mediante la sustitución: \( x=y-\displaystyle\frac{b}{3a} \)
De estas tres soluciones, una de ellas no satisface la primera derivada y otra no es ni máx, ni mín; solo una constituye un máximo de la función \( \overline{ED}_\left(x\right) \)

Lo comprobé dando valores: \( d=5 \), \( r=2 \), \( l=6 \)
Obtuve: \( x_1=5 \), \( x_2=-1.228 \) y \( x_3=1.628 \)
El punto cero de la derivada: \( x_3=1.628 \) es el que constituye el máximo de la función \( \overline{ED}_\left(x\right) \)

Voy a adjuntar esta comprobación gráfica que obtuve como resultado.
Este valor lo comprobé en la solución que da el ejercicio y concuerda perfectamente.

Por eso decía que la solución la comprobé de forma numérica pero no literal como se pide.

Muchas gracias.

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Cálculo 1 variable / Analyse des Infiniment Petits
« en: 19 Abril, 2021, 08:51 pm »
Uno de los problemas que planteó el marqués de L´Hospital en su libro Analyse des Infiniment Petits concierne a una polea conectada al techo de una habitación en un punto \( C \) mediante una cuerda de longitud \( r \). En otro punto \( B \) sobre el techo, a una distancia \( d \) de \( C \) \( \left(donde\,d>r\right) \), una cuerda de longitud \( l \) se conecta a la polea pasando por esta en \( F \) y se ata a un peso \( W \). El peso se libera y alcanza el reposo en su posición de equilibrio \( D \).
Tal como argumentó L'Hospital, esto sucede cuando la distancia \( \left|\overline{ED}\right| \) es máxima.
Demuestre que cuando el sistema alcanza el punto de equilibrio, se cumple que el valor de la distancia \( \left|\overline{EC}\right| \) es: \( \left(\displaystyle\frac{r}{4d}\right)\,\left(r+\sqrt[ ]{r^2+8d^2}\right) \)

He logrado comprobarlo de manera numérica, pero no de manera literal como se pide.


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Cálculo de Varias Variables / Masa de un alambre
« en: 19 Abril, 2021, 05:52 pm »
Se requiere calcular la masa de un alambre cuya forma se puede describir como el intercepto del plano \( y=x \) con la superficie \( x^2+y^2+z^2=1 \) si su densidad lineal de masa está dada por el campo escalar:
\( \delta_{(x,y,z)}=\left(1-2x^2\right)y^4 \)      \( \left(g/m\right) \)

8
Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.

Ahora sí mi hermano, cometiste al principio esos errores pero dejé que continuaras buscando.
Por mi parte yo no paso tanto trabajo con esto del cálculo de áreas planas, tanto las conformadas por una misma función (ej. el área de una elipse) como las formadas por el intercepto de varias curvas o funciones. Es muy facil para esto el uso de integrales curvilineas y su propiedad de aditividad.

El área de una superficie puedes calcularla mediante la integral de línea cerrada: \( \color{red}A=\displaystyle\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \) (*)
Como tienes la curva en paramétricas, es muy facil:
\( x=r\,\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right) \);   \( dx=\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
\( y=r\,\sen\left(\theta\right)-r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right) \);   \( dy=\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

Primeramente calculé el área conformada por la sección de la involuta superior con el parámetro desde cero hasta \( \pi \) (a partir de este punto la curva deja de ser involuta para convertirse en una semicircunferencia de radio \( \left(\pi\,r\right) \) ya que este radio es equivalente a la longitud de la semicircunferencia del silo), luego la trayectoria continúa por la línea recta \( y=-r \) desde \( y=\pi\,r \) hasta \( y=0 \). A partir de este punto, la integral de línea se traslada por la parte superior de la semicircunferencia superior del silo desde \( \pi \) hasta cero. Esta área se multiplica por dos ya que es idéntica a la superficie inferior que conforma la parte de abajo de la involuta y finalmente se suma el área de la semicircunferencia de radio\( \left(\pi\,r\right) \)

\( A_1=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\left(r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-r\,\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)+\left(r\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi\,r}^{0}\left(-r\right)dy+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\left(r^2\,\sen^2\left(\theta\right)+r^2\,\cos^2\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right) \)
Como puede notarse el recorrido es antihorario y la última integral está conformada a partir de la circunferencia paramétrica del silo de igual manera.

Por tanto:
\( A_1=\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\cos^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\sen^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{\pi r}^{0}dy+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sen^2\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cos^2\left(\theta\right)d\theta \)

Aquí dos integrales se cancelan y la solución de las restantes es muy sencilla empleando integración por partes e identidad trigonométrica del seno y coseno cuadrado. Dándo como resultado:
\( A_1=\left(5.1685\right)\,r^2 \)
\( A_2=\left(\displaystyle\frac{\pi^3}{2}\right)\,r^2 \)
\( A_T=2\,A_1+A_2=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\,\pi^3\right)\,r^2 \)

Muy útil el Teorema de Green aplicado para calcular áreas de recintos cerrados.

Si tomamos el campo vectorial \( \overrightarrow{F}=(M,N)=(-y,x) \)

Por el Teorema: \( \displaystyle\oint _{\partial D}\overrightarrow{F}\cdot{}\overrightarrow{dr}=\iint _D\left({\frac{{\partial N}}{{\partial x}}-\frac{{\partial M}}{{\partial y}}}\right)dA \)

Entonces queda: \( 2A=\displaystyle\oint _{\partial D}-ydx+xdy=\iint _D 2dA \)

 Te comiste el \( \displaystyle\frac{1}{2} \) en (*) que te marqué en rojo, pero que en los cálculos ya si lo pusiste.

También se puede utilizar para el cálculo del área otras expresiones como usar el campo vectorial por ejemplo \( \overrightarrow{F}=(-y,0) \)  o \( \overrightarrow{F}=(0,x) \)

Saludos desde España.

P.D.: Por cierto me ha gustado bastante el problema que has propuesto y las diferentes maneras de abordar el problema por los compañeros también.

Sí es muy facil utilizando esta integral curvilínea a partir de Green, reduce considerablemente los cálculos.
Cuando escribimos con LaTeX hay que poner los cinco sentidos para no enredarte. Yo aprendí la semana pasada cuando ingresé a este Foro, núnca lo había utilizado, entonces es muy frecuente que se queden algunos detalles. Por eso hay que revisar más al final de la escritura. Saludos cordiales desde Cuba.
Noel.

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Cálculo 1 variable / Re: Integral
« en: 19 Abril, 2021, 03:39 pm »
Comenzaré por el primer cambio de variables:
\( 2+3x=t \); \( 3dx=dt \); \( dx=\displaystyle\frac{1}{3}dt \)
\( x=\displaystyle\frac{t-2}{3} \)

\( I=\displaystyle\int \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2+3x}{x-3}}\,dx=\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\int \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3t}{t-11}}\,dt=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\int t^{1/2}\left(-11+t\right)^{-1/2}\,dt \)
\( I=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\int t^{1/2}\left\{t\left(-11\,t^{-1}+1\right)\right\}^{-1/2}\,dt=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\displaystyle\int \left(-11\,t^{-1}+1\right)^{-1/2}\,dt \)

Haciendo el segundo cambio de variable:
\( \left(-11\,t^{-1}+1\right)=k^2 \)   \( \longrightarrow \)   \( t^{-1}=\displaystyle\frac{1-k^2}{11} \)
\( 11\,t^{-2}\,dt=2k\,dk \)
\( dt=\displaystyle\frac{2k}{11\,t^{-2}}\,dk=22\,\displaystyle\frac{k\,dk}{\left(1-k^2\right)^2} \)

\( I=\left(\displaystyle\frac{22\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\displaystyle\int \displaystyle\frac{dk}{\left(1-k^2\right)^2} \)

*** Empleando la fórmula recursiva de la integral: \( \displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\left(a^2\pm{x^2}\right)^{n+1}}=\displaystyle\frac{x}{2na^2\,\left(a^2\pm{x^2}\right)^{n}}+\displaystyle\frac{2n-1}{2na^2}\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\left(a^2\pm{x^2}\right)^{n}} \), la cual se deduce mediante integración por partes.

\( I=\left(\displaystyle\frac{22\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\displaystyle\int \displaystyle\frac{dk}{\left(1-k^2\right)^2}=\displaystyle\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(\displaystyle\frac{k}{1-k^2}\right)+\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\int \displaystyle\frac{dk}{\left(1-k^2\right)}=\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(\displaystyle\frac{k}{1-k^2}\right)-\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\int \displaystyle\frac{dk}{\left(k^2-1\right)} \)
\( I=\displaystyle\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(\displaystyle\frac{k}{1-k^2}\right)-\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{6}\right)\,\ln\left|\displaystyle\frac{k-1}{k+1}\right|+C \)

Retornando a la variable \( t \): \( k^2=\displaystyle\frac{t-11}{t} \)
\( I=\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(t\,\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t-11}{t}}\right)-\displaystyle\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{6}\right)\,\ln\left|\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t-11}{t}}-1}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t-11}{t}}+1}\right|+C \)

Retornando a la variable \( x \): \( t=2+3x \)
\( I=\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(2+3x\right)\,\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3x-9}{2+3x}}-\displaystyle\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{6}\right)\,\ln\left|\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3x-9}{2+3x}}-1}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3x-9}{2+3x}}+1}\right|+C \)

Comprobando la solución de esta integral con Mathcad 15, se obtiene una solución equivalente.
Adjunto la respuesta que entrega Mathcad con una comprobación numérica.

Saludos.

10
Cálculo 1 variable / Re: Integral
« en: 16 Abril, 2021, 11:20 pm »
Hola:
Como resolver la siguiente integral

$$\displaystyle\int \sqrt{\frac{2+3x}{x-3}}$$

Gracias!

Si haces el cambio:

\( \left({\displaystyle\frac{2+3x}{x-3}}\right)=u^2\Leftrightarrow{}x=\displaystyle\frac{2+3u}{u^2-3} \)

Obtienes una integral racional que puedes resolver descomponiendo en factores simples.

Saludos.

P.D.: Se me adelanto Juan Pablo.

No entiendo que quisiste hacer, pero creo que es más factible sacarla empleando un cambio de variables y luego arroja una diferencial binomia.
Creo que puedo hacerla, la resuelvo y el lunes la escribo.
Saludos.

11
Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.

Ahora sí mi hermano, cometiste al principio esos errores pero dejé que continuaras buscando.
Por mi parte yo no paso tanto trabajo con esto del cálculo de áreas planas, tanto las conformadas por una misma función (ej. el área de una elipse) como las formadas por el intercepto de varias curvas o funciones. Es muy facil para esto el uso de integrales curvilineas y su propiedad de aditividad.

El área de una superficie puedes calcularla mediante la integral de línea cerrada: \( A=\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \)
Como tienes la curva en paramétricas, es muy facil:
\( x=r\,\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right) \);   \( dx=\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
\( y=r\,\sen\left(\theta\right)-r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right) \);   \( dy=\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

Primeramente calculé el área conformada por la sección de la involuta superior con el parámetro desde cero hasta \( \pi \) (a partir de este punto la curva deja de ser involuta para convertirse en una semicircunferencia de radio \( \left(\pi\,r\right) \) ya que este radio es equivalente a la longitud de la semicircunferencia del silo), luego la trayectoria continúa por la línea recta \( y=-r \) desde \( y=\pi\,r \) hasta \( y=0 \). A partir de este punto, la integral de línea se traslada por la parte superior de la semicircunferencia superior del silo desde \( \pi \) hasta cero. Esta área se multiplica por dos ya que es idéntica a la superficie inferior que conforma la parte de abajo de la involuta y finalmente se suma el área de la semicircunferencia de radio\( \left(\pi\,r\right) \)

\( A_1=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\left(r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-r\,\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)+\left(r\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi\,r}^{0}\left(-r\right)dy+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\left(r^2\,\sen^2\left(\theta\right)+r^2\,\cos^2\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right) \)
Como puede notarse el recorrido es antihorario y la última integral está conformada a partir de la circunferencia paramétrica del silo de igual manera.

Por tanto:
\( A_1=\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\cos^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\sen^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{\pi r}^{0}dy+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sen^2\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cos^2\left(\theta\right)d\theta \)

Aquí dos integrales se cancelan y la solución de las restantes es muy sencilla empleando integración por partes e identidad trigonométrica del seno y coseno cuadrado. Dándo como resultado:
\( A_1=\left(5.1685\right)\,r^2 \)
\( A_2=\left(\displaystyle\frac{\pi^3}{2}\right)\,r^2 \)
\( A_T=2\,A_1+A_2=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\,\pi^3\right)\,r^2 \)

12
A mí el área total me da: \( A_T=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)\cdot{\pi^3}\cdot{r^2} \)
Utilicé una integral de línea para el cálculo del área entre la involuta y el círculo de cero a \( \pi \), lo multipliqué por dos y le sumé el área del semicírculo restante.
Mañana escribo el resultado, robinlambada está en España pero yo estoy en Cuba.

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Hola.
Una idea.
Toma origen de referencia el centro del la circunferencia que es el silo.

Para hallar el punto de máximo alejamiento de la vaca, se entiende que la cuerda debe estar tensa y tangente a la circunferencia del silo.

Por tanto, al punto de tangencia de la cuerda con la circunferencia silo, que en paramétricas es \( (r cos \theta, rsen \theta ) \) , debes sumarle la longitud de la cuerda desplegada,( que es un arco de circunferencia según el ángulo en el punto de tangencia), al estar la cuerda tensa y ser tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)

Por tanto la curva descrita por la vaca en su extensión máxima entre \( \theta \in{}[-\pi,\pi] \)

Es: \( (x,y)=(r cos \theta, rsen \theta)+r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \) , recuerda restarle el área del silo al área de la curva


Y para  el resto tienes un semicírculo.

Saludos.

P.D.:Si tengo tiempo te pongo un dibujo.

Sí, robinlambada, por este método puedes deducir como bien hiciste la ecuación paramétrica de la curva que traza la vaca a desplazarse con la cuerda tensa.

Esta curva trazada por el extremo de la cuerda a medida que va "desenrrollando" en sentido antihorario en este caso, se denomina involuta del círculo. Es muy parecida a una cardioide, pero no lo es.
Si el círculo tiene radio \( r \) y centro \( O \), la posición inicial del punto \( P \) que sería el punto extremo de la cuerda es \( \left(r;0\right) \), y si el parámetro \( \theta \) se elige como en la figura que adjunto, también de este manera puede deducirse las expresiones paramétricas, que fue el método que encontré.
Adjunto la figura porque no sé como pegarla en el cuerpo del mensaje. Si puede ayudarme en eso se lo agradecería.



Lo desarrollé por simple análisis geométrico.
El punto P posee coordenadas \( x \) e \( y \) que caracterízan su ecuación paramétrica.
En este caso la coordenada \( x\equiv\overline{OR} \) y la coordenada \( y\equiv\overline{PR} \)
El ángulo \( \alpha \) es interior al triángulo rectángulo \( \triangle OPR \) y el \( \beta \) es interior al también triángulo rectángulo \( \triangle OTP \)

El parámetro \( \theta \) es la suma de \( \alpha+\beta \)
Finalmente, para definir la coordenada \( y \) planteamos que: \( y=\overline{OP}\cdot{\sen\left(\alpha\right)} \)
La longitud de \( \overline{TP} \) es equivalente a la longitud del arco de circunferencia \( TQ \). O sea,  \( \overline{TP}=r\cdot{\left(\theta\right)} \)

\( \sen\left(\alpha\right)=\sen\left(\theta-\beta\right)=\sen\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

Por tanto obtenemos:
\( y=\overline{OP}\left(\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\sen\left(\theta\right)}-r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\cos\left(\theta\right)} \)

De igual manera obtenemos la coordenada \( x \):
\( x=\overline{OP}\cdot{\cos\left(\alpha\right)} \)
\( \cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\theta-\beta\right)=\cos\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

\( x=\overline{OP}\left(\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\cos\left(\theta\right)}+r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\sen\left(\theta\right)} \)

Luego de obtener las ecuaciones de la involuta del círculo, es necesario calcular el área total para el apacentamiento de la vaca.
Es preciso calcular el área entre la involuta y la superficie del silo con el parámetro desplazándose desde cero hasta \( \pi \), luego la trayectoria ya no coincide con la involuta para convertirse en una semicircunferencia devido a que la cuerda la situamos referencialmente atada al silo en el punto \( \left(-r;0\right) \) situando a la circunferencia centrada en el orígen de coordenadas.
Luego de terminar la trayectoria semicircular, con el recorrido en sentido antihorario, comienza nuevamente a trazarce la parte inferior de la involuta simétrica a la superior.

Entonces quedaría calcular el área de toda la superficie, hasta ahora no se ha logrado el resultado correcto.

Imagen insertada por un moderador.

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Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Re: Integrales de flujo.
« en: 15 Abril, 2021, 05:35 pm »
Hola

Hola.

¿Existe actualmente algúna forma en el foro de poner integrales cerradas en espacios de varias dimensiones? Me refiero a comandos análogos a \oiint y \oiiint del paquete esint.

Saludos

Se podría intentar definir algún comando. Algo así:

[tex]\bigcirc\hspace{-14pt}\displaystyle\iint[/tex]

\( \bigcirc\hspace{-14pt}\displaystyle\iint \)

Saludos.

\( \displaystyle\oint_{C} \) :  \displaystyle\oint_{C}

\( \displaystyle\iiint f_\left(x,y,z\right)\,dV \) :  \displaystyle\iiint f_\left(x,y,z\right)\,dV

\( \displaystyle\iint_{S} f_\left(x,y\right)\,dS \) :   \displaystyle\iint_{S} f_\left(x,y\right)\,dS

15
El área donde se puede mover la vaca es una circunferencia de radio el semiperimetro del silo. A este area hay que quitarle el área del silo.
Creo....

 :banghead: Revisa bien, el área máxima está definida por una trayectoria que describe la vaca al moverse manteniendo la cuerda tensa en todo momento. Al ir moviendose con la cuerda tensa, en sentido antihorario, esta cuerda permanece tangente a la superficie del silo. Entonces, hasta cierto punto de la trayectoria, no es una semicircunferencia.

16
Cálculo de Varias Variables / El problema de la vaca que pasta
« en: 14 Abril, 2021, 10:51 pm »
Una vaca está atada a un silo con radio r por una cuerda lo suficientemente larga para alcanzar exactamente el punto diametralmente opuesto del silo.

Encuentre el área disponible para el apacentamiento de la vaca.




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Cálculo de Varias Variables / Re: El planeta Mercurio
« en: 14 Abril, 2021, 10:37 pm »
Hola fijate que tienes un gazapo en un signo en la última cuenta,


Me has hecho ver que yo he usado \( (a-c) \)  en vez de \( a \) , asi que mi tabla es incorrecta, corrigiendo el valor  proporcionalmente me da 360120465,133km


Saludos

Gracias, rectificado, es por \( 10^8 \)

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Cálculo de Varias Variables / Re: El planeta Mercurio
« en: 14 Abril, 2021, 09:55 pm »
Para determinar el perímetro o longitud de la órbita elíptica del planeta hagamos uso del concepto de longitud de arco de una curva plana, en este caso definida por las ecuaciones paramétricas de la elipse para lograr menos complejidad en el cálculo.
La longitud viene dada en este caso por la fórmula:
\( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta \)

Asumiendo la elipse centrada, con el Sol en uno de sus focos, parametrizamos la elipse respecto a \( \theta \):
\( x=a\,\cos\left(\theta\right) \)     \( y=b\,\sen\left(\theta\right) \)
\( \displaystyle\frac{dx}{d\theta}=-a\,\sen\left(\theta\right) \)    \( \displaystyle\frac{dy}{d\theta}=b\,\cos\left(\theta\right) \)
\( L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{a^2\,\sen^2\left(\theta\right)+b^2\,\cos^2\left(\theta\right)}\,d\theta=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{a^2-a^2\,\cos^2\left(\theta\right)+b^2\,\cos^2\left(\theta\right)}\,d\theta \)

\( L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{a^2-\left(a^2-b^2\right)\,cos^2\left(\theta\right)}\,d\theta=a\,\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{1-\left(\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}\right)\,\cos^2\left(\theta\right)}\,d\theta \)
Dónde: \( c^2=a^2-b^2 \),   \( e=\displaystyle\frac{c}{a} \)

Finalmente obtenemos: \( L=a\,\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{1-\left(e^2\right)\,\cos^2\left(\theta\right)}\,d\theta \)
Integrar esta función a mano es increíblemente difícil, si tiene un sistema algebraico computarizado puede evaluarla. Pero como el objetivo es desarrollarla analíticamente, una opción sería expresar la función subintegral como una serie de potencias infinita. Si nos damos cuenta, esta función determina una expresión binomial de la forma \( \left(1+x\right)^k \) escribiéndola como \( \left(1+\left(-e^2\cos^2\left(\theta\right)\right)\right)^{\frac{1}{2}} \)

Desarrollando en series de Maclaurin a \( \left(1+x\right)^k \):
\( f_\left(x\right)=\left(1+x\right)^{k} \) \( \longrightarrow{} \) \( f_\left(0\right)=1 \)
\( f'_\left(x\right)=k\,\left(1+x\right)^{k-1} \) \( \longrightarrow{} \) \( f'_\left(0\right)=k \)
\( f''_\left(x\right)=k\,\left(k-1\right)\left(1+x\right)^{k-2} \) \( \longrightarrow{} \) \( f''_\left(0\right)=k\,\left(k-1\right)  \)
\( f_\left(x\right)^\left(n\right)=k\,\left(k-1\right)...\left(k-n+1\right)\,\left(1+x\right)^{k-n} \) \( \longrightarrow{} \) \( f_\left(0\right)^\left(n\right)=k\,\left(k-1\right)...\left(k-n+1\right) \)

Por lo tanto, a partir de Maclaurin encontramos una serie infinita representativa del binomio anterior, se denomina serie binomial.

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{f_\left(0\right)^\left(n\right)}{n!}\,x^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{k\,\left(k-1\right)...\left(k-n+1\right)}{n!}\,x^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle{k\choose n}\,x^n} \)
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle{k\choose n}\,x^n}=1+kx+\displaystyle\frac{k\,\left(k-1\right)}{2!}\,x^2+\displaystyle\frac{k\,\left(k-1\right)\left(k-2\right)}{3!}\,x^3+... \)

Para nuestro caso extrapolamos planteando: \( x\equiv -e^2\cos^2\left(\theta\right) \) y \( k=\displaystyle\frac{1}{2} \)
Entonces tendrémos que:
\( \left[1+\left(-e^2\cos^2\left(\theta\right)\right)\right]^{\frac{1}{2}}=1+\displaystyle\frac{0.5}{1!}\,\left(-e^2\cos^2\left(\theta\right)\right)+\displaystyle\frac{\left(0.5\right)\,\left(0.5-1\right)}{2!}\,\left(e^4\cos^4\left(\theta\right)\right)+\displaystyle\frac{\left(0.5\right)\,\left(0.5-1\right)\,\left(0.5-2\right)}{3!}\,\left(-e^6\cos^6\left(\theta\right)\right)+... \)

En este sentido la longitud de la órbita podemos plantearla como una serie de potencia infinita que facilita grandemente el cálculo de las integrales:

\( L=a\,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\left[\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{\left(0.5\right)\,\left(0.5-1\right)...\left(0.5-n+1\right)}{n!}\,\left(-e\right)^{2n}\,\left(\cos\left(\theta\right)\right)^{2n}\,d\theta\right] \)

Tomando los cuatro primeros términos logramos buena aproximación:
\( L=a\displaystyle\left[\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta-\displaystyle\frac{0.5}{1!}\,e^2\,\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^2\left(\theta\right)\,d\theta-\displaystyle\frac{1}{4\cdot{2!}}\,e^4\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^4\left(\theta\right)\,d\theta-\displaystyle\frac{3}{8\cdot{3!}}\,e^6\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^6\left(\theta\right)\,d\theta+...\right] \)

\( L\approx 5.7934\cdot{10^7}\left[2\pi-0.02122\pi-\left(2.251\cdot{10^{-4}}\right)\left(2.3562\right)-\left(4.7762\cdot{10^{-6}}\right)\left(1.9635\right)\right] \)

\( L\approx 5.7934\cdot{10^7}\left[6.21598\right]=3.60116\cdot{10^{8}} \)

Como puede verse, se obtiene gran aproximación por esta via. Las integrales del coseno cuadrado, coseno cuarto y coseno sexto son muy fáciles de resolver.

Saludos cordiales.  ;)

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Cálculo de Varias Variables / Re: El planeta Mercurio
« en: 14 Abril, 2021, 02:28 pm »
Yo tampoco veo que busque respuesta en el sentido de ser "preciso", porque la órbita de mercurio justamente es la menos elíptica del sistema solar. Tampoco busca la posición en función del tiempo sino la longitud de la órbita.
Mercurio  como cualquier otro de los planetas del sistema solar no solo es atraído gravitacionalmente por el Sol, sinó también por el resto de los planetas, los que más afectan su órbita a parte del Sol son Júpiter y Saturno por ser los más masivos y "cercanos".
Asi la elipse es una solución al problema de los dos cuerpos, Sol-Mercurio pero para ser preciso se necesita abordar el problemas de los n cuerpos, incluyendo como mínimo a Júpiter y a Saturno.
Aún así para ser más realista se debe plantear un modelo para una posición y tiempo iniciales si la desea graficar .
A este resultado orbital le faltará aún el corrimiento al del perihelio adicional, que solo se calcula atraves de la relatividad general y no por la aplicación de la teoría newtoniana.
Por lo que cualquier resultado hasta la cuarta cifra signicativa, va a poderse contrasta al telescopio.
Esto es válido sea cual fuere el método de integración o aproximación de la elipse a polinomios por series de Maclaurin o Taylor .

Hermanos, es un problema académico que encontré en un libro de análisis cuando estudiaba, no lo inventé yo.
No es un problema de precisión para cálculos de la NASA ni mucho menos pero los datos utilizados y la respuesta coincide perfectamente con los datos que brinda la Wikipedia sobre la trayectoria del planeta Mercurio.
Busquen "Planeta mercurio" en Wikipedia y verán los datos reales y como sí concuerdan totalmente con los brindados por el ejercicio.
El objetivo es meramente su resolución por algún método analítico.
Saludos.

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Bueno, si la pregunta del ejercicio es tan estricta sobre los límites de integración a partir de una integral doble tomando una x-curva que se desplace por el eje y, sí tienes que dividir la integral en la suma de tres integrales. Pero si tomas como referencia una y-curva que se desplace en el eje x, solo empleas una integral de \( \displaystyle\frac{\pi}{4} \) hasta \( \displaystyle\frac{5\pi}{4} \)
Pero utilizando una integral de línea como te puse en el ejemplo, parametrizando respecto a x, con recorrido antihorario, es mucho más sencillo y llegas al mismo resultado.
Pero bueno, al parecer eso es lo que exige el problema y no comprendí el enunciado estricto inicialmente. Pensé solo en darle solución.
Saludos.

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