Hola
Supongo que debería de ser:
Calcular el volumen encerrado entre tres cilindros de radio r cuyos ejes se cortan formando un triángulo de radio equilátero de lado \( 2 \sqrt[ ]{3}\color{red}r\color{black} \) y los dos planos tangentes a los tres cilindros.
Los triángulos tienen altura \( h=2\sqrt{3}r\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=3r \) y por tanto dado que los cilindros tienen radio \( r \) sus generatrices se cortan en el centro del triángulo (que están a distancia \( h/3 \) da cada lado).
Para calcular el volumen pedido calcularemos primero el volumen del prisma triangular de base el triángulo equilátero y altura \( 2r \) (ya que los planos tangentes a los tres cilindros son paralelos al triángulo y a distancia \( r \) del mismo, uno a cada lado). Este volumen es:
\( V_1=\text{área base}\cdot 2r=3\sqrt{3}r^2\cdot 2r=6\sqrt{3}r^3. \)
Hay que descontarle el volumen de los cilindros en el interior del prisma. Este se descompone en seis cuñas iguales como las que se ven el dibujo consistentes en un semicilindro cortado con un plano que forma un ángulo de \( 30 \) grados con el eje y es tangente a la circunferencia de la base.
Así que el problema ahora es calcular de una cuña como la indicada:
Por comodidad la consideramos de radio \( 1 \) y luego multiplicaremos el volumen por \( r^3 \).
Si consideramos el cilindro \( x^2+y^2=1 \), queremos cortarlo con el plano \( cos(30)(x-1)+sin(30)z=0 \), es decir, \( z=\sqrt{3}-\sqrt{3}x \). Entonces manejando coordenadas cilíndricas el volumen de una de esas cuñas es:
\( V_c=r^3\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}-\rho \sqrt{3}cos(\theta)}\rho dzdrd\theta=\ldots=r^3\cdot \dfrac{(3\pi-4)\sqrt{3}}{6} \)
Por tanto el volumen pedido es:
\( V_1-5V_c=r^3(6\sqrt{3}-(3\pi-4)\sqrt{3})=r^3\sqrt{3}(10-3\pi) \)
Saludos.
P.D. Revisa las cuentas.
