Suponiendo que no se introducen definiciones nuevas sino que se trabaja con las más comunes, también parece haber el matiz de que, por definición:
\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\qquad\qquad (i) \end{align}
Pero también por definición:
\begin{align}f'({x_0}^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x);}\qquad\qquad (ii)\end{align}
De manera que \( (i) \) sería calcular la derivada lateral de \( f \) por definición, mientras que \( (ii) \) sería calcular el límite lateral de \( f' \) sabiendo la expresión de \( f' \). Así que, según veo, ambas son iguales, pero propiamente \( (ii) \) se deduce de \( (i) \). De hecho:
\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\overset{(*)}{=}\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x)}=f'(x_0^+);\end{align}
Donde en \( (*) \) se ha aplicado la regla de L'Hôpital.
Esta es mi interpretación de la explicación que me ha dado hoy mi profesor.
Saludos y gracias a los dos.