En estos momentos tenemos que \( exp(x) \) está bien definida en \( R \).
Quiero decir es una función con las propiedades de las exponenciales, (teorema 3 ,en mi edición).
Se toma \( e = exp(1) \). (pag 472 de mi edición)
Por \( \displaystyle 1 = log(e) = \int_1^e \frac{1}{t} dt \).
Para los racionales :
\( exp(x) = exp(1)^x = e^x \) .
Pero la función \( exp(x) \) está de finida en todo \( R \).
Lo que propone es si estamos construyendo la función \( e^x \) que le falta para estar completa( para estar definida en los irracionales).
¿ Que candidato de función le pondrías en los irracionales ?.
¿ No le pondrías \( exp(x) = e^x \) en los irracinales ?
Quiero decir si se que \( exp(x) \) está definida para todo \( x \in R \) y \( e^x \) sólo está definida en \( Q \) (en este momento de la construcción) y además tienes que \( exp(x) = e^x \) en los racionales cómo extendería \( e^x \) para que fuera continua en todo \( R \).
Haciendo \( e^x = exp(x) \).
Por eso pone en el Spivak:
Al estar \( exp \) definida para todo \( x \) y \( exp(x) = e^x \) para \( x \) racionales, resulta consecuente con nuestro uso anterior de la notación exponencial definir \( e^x \) como \( exp(x) \) para todo \( x \).
