[matematico]

Hola! Ya estoy de vuelta.
Tengo problemas para solucionar estas dos cuestiones, ¿alguien me puede ayudar?

a) Prueba que si R es un Dominio de Factorización Única, todo ideal principal está contenido en un número finito de ideales principales.

b) Justifica si la siguiente afirmación es cierta en cualquier Dominio Euclídeo R: dado I ideal no nulo, el anillo cociente R/I es un Dominio de Integridad si y solamente si R/I es un cuerpo.

[Luis Fuentes]

Hola

 a) Si tienes el ideal \( I=<a> \) y \( I\subset <b> \) entonces \( a=kb \), por tanto \( b \) es un factor de \( a \). Ahora utiliza que \( a \) factoriza de manera única salvo unidades.

\( a=a_1\ldots a_n \)  con \( a_i \) primo.

 b) En general dado un ideal \( I \) en un anillo \( R \):

 \( I \) es primo \( \Leftrightarrow{} \) \( R/I \) es dominio entero.

 \( I \) es maximal \( \Leftrightarrow{} \) \( R/I \) es cuerpo.

 Por la afirmación que te indican equivale a decir que todo ideal primo en un dominio euclídeo es maximal. ¿Es cierto?.

Saludos.