[espejo]

Probar que si un grupo G tiene un subgrupo propio de indice finito entonces tiene un subgrupo normal propio de indice finito

[Rogelio Yoyontzin]

He notado que has puesto toda tu tarea en el foro... ¿Por qué mejor no nos platicas en qué te estás confundiendo, o cuáles son tus dificultades?

[espejo]

si tiene subgrupo propio de indice finito entonces los unicos subgrupo son el 1 y el total
no entiendo la relacion con el subgrupo normal

[Luis Fuentes]

Hola

si tiene subgrupo propio de indice finito entonces los unicos subgrupo son el 1 y el total

¿? Esto es falso.

 Si \( G \) es el grupo y \( H \) el subgrupo propio de índice finito intenta justificar que hay un subgrupo normal \( H' \) conteniendo a \( H \).

Saludos.

[espejo]

para que sea normal tiene que ser \( xH=Hx \)

Sabemos que es propio entonces los unicos subgrupos son el 1 y el total multiplicando por 1 sale H=H

si el indice es finito es que el numero de clases es finito
 no se seguir

[espejo]

¿Alguien sabe cómo se hace?

[Rogelio Yoyontzin]

Sea \( H \) tu subgrupo de índice finito (digamos n).   \( G \) actua en las clases laterales (izquierdas) de \( G \) módulo \( H \) por multiplicación por la izquierda. Esta multiplicación permuta las clases laterales.   Entonces esta  acción determina un homomorfismo de grupos \( G\to S_n=Perm(H/G) \). El kenrel de este homomorfismo es normal y de índice finito.

Te dejo los detalles a ti.

[espejo]

¿El kenrel es el nucleo?
y ese homomorfimo de donde sale no lo veo
puedes escribir un poco mas los detalles
muchas gracias

[Rogelio Yoyontzin]

El kernel es el núcleo.

Pero si quieres realmente entender, tienes que intentarlo tú. Mejor inténtalo y escribe específicamente que detalle NO te sale. De otra manera tan solo te estamos resolviendo tu tarea,  y así nunca vas a aprender.