Mi solución.
No sé si paso algo por alto. Pero mi solución esencialmente es esta:
Añado los detalles:Tomamos el punto \( C' \) en el segmento \( AB \) tal que \( BC=BC' \). Los triángulos \( CDB \) y \( DC'B \) son congruentes por tener un ángulo y los lados que lo comprenden iguales. Por tanto \( C'D=CD=AD \).
Entonces el triángulo \( ADC \) es isósceles, por tener los lados \( AD \) y \( C'D \) iguales. Por ser el ángulo \( \angle DEB \) recto el segmento \( ED \) es la mediatriz del lado desigual \( AC' \) y así \( AE=EC' \).
Entonces:
\( AB=AE+EC'+C'B=2AE+BC\quad \Rightarrow{}\quad AE=\dfrac{AB-BC}{2} \)
