[Luis Fuentes]

En un torneo de ajedrez participan ocho jugadores durante siete días. Cada día se disputan cuatro partidas en las que participan todos los jugadores, y al finalizar el torneo todos se enfrentaron contra todos exactamente una vez. Demostrar que al terminar el quinto día existe un conjunto de al menos cuatro jugadores que ya jugaron entre ellos todas las partidas.

[Luis Fuentes]

Hola

En un torneo de ajedrez participan ocho jugadores durante siete días. Cada día se disputan cuatro partidas en las que participan todos los jugadores, y al finalizar el torneo todos se enfrentaron contra todos exactamente una vez. Demostrar que al terminar el quinto día existe un conjunto de al menos cuatro jugadores que ya jugaron entre ellos todas las partidas.

Pista para simplificarlo.

Dado que al final del torneo en cualquier grupo de cuatro jugadores se han enfrentado todos contra todos exactamente una vez, si uno de esos grupos el quinto día ya ha completado sus partidas, en las dos jornadas restantes no jugarán ninguna entre ellos. Y viceversa si en las dos últimos días no juegan entre ellos, sus partidas han tenido que completarse en las cinco primeras sesiones.

Por tanto el problema equivale a demostrar que en dos jornadas al menos hay un grupo de cuatro jugadores que no se han enfrentado ningún par de ellos entre si.

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Mi solución.

Continuando con la pista. Nos fijaremos en dos jornadas competitivas. Formamos una lista de enfrentamientos empezando por un jugador poniendo a su derecha quien juega con él el primer día, después a su derecha quien juega con esta segunda persona el segundo día, después el rival de esta tercera persona el primer día y así sucesivamente. Por ejemplo si las partidas fueron:

Primer día: \( 1-2, 3-4, 5-6, 7-8 \) Segundo día: \( 1-4,2-5,3-8,6-7 \)

Lo indicamos:

\( 1-2+5-6+7-8+3-4+1 \)

Con el \( - \) en medio indico que la partida es del primer día; y con el \( + \) del segundo. Como vemos en el ejemplo se ha formado un ciclo (el más grande posible) de longitud 8, es decir, al final aparece otra vez una partida con el primer jugador.

Ahora:

 - Es claro que los ciclos tienen que ser de longitud par (primer día/segundo día/primer día/segundo día/...).
 - No puede haber un ciclo de longitud \( 2 \) (1-2+1) (porque entonces un jugador jugaría con dos personas el mismo día).
 - Por tanto:

 o bien hay dos ciclos de orden \( 4 \): \( 1-2+3-4+1 \) , \( 5-6+7-8+5 \)
 o bien hay un ciclo de orden \( 8 \): \( 1-2+5-6+7-8+3-4+1 \)

 En cualquiera de los dos casos los grupos de jugadores \( 1,3,5,7 \) ó \( 2,4,6,8 \) no han tenido ningún enfrentamiento interno en dos jornadas, que es lo que queríamos probar.

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Saludos.

[I am Bo]

Buenas.
Adjunto el enunciado de este problema, pero en Murcia:

En un torneo de ajedrez participan seis maestros durante cinco días. Cada día se disputan tres partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez. Demostrar que al terminar el tercer día del torneo existe un conjunto de al menos tres maestros que ya han jugado entre ellos todas la partidas. ¿Es único el conjunto?

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

En un torneo de ajedrez participan seis maestros durante cinco días. Cada día se disputan tres partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez. Demostrar que al terminar el tercer día del torneo existe un conjunto de al menos tres maestros que ya han jugado entre ellos todas la partidas. ¿Es único el conjunto?

Observación:

La solución es prácticamente la misma que en el enunciado análogo de Galicia.

Equivale igualmente a probar que en dos jornadas al menos hay tres maestros NO han jugado ninguno de ello entre si.

Y esquematizando las primeras/segundas partidas en la misma forma que indiqué en la otra solución, en este caso la única posibilidad es un único ciclo de orden 6: \( 1-2+3-4+5-6+1 \).

Por tanto en los grupos \( 1,3,5 \) ó \( 2,4,6 \) sus integrantes no han jugado entre si: el conjunto NO es único.

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Saludos.