\( \begin{align*}
\dfrac{10x^3y^2z-40x^5y^2z}{5x^2y^3z+10x^3y^3z}&=\dfrac{x^3y^2z(10-40x^2)}{x^2y^3z(5+10x)}\\
&=\dfrac{x}{y}\dfrac{10-40x^2}{5+10x}\\
&=\dfrac{x}{y}\left(\dfrac{2-8x^2}{1+2x}\right)
\end{align*} \)
Ahora hacemos la división \( -8x^2+2 \) entre \( 2x+1 \) (*).
-8x^2 + 2 | 2x + 1
8x^2 + 4x -4x + 2
4x + 2
-4x - 2
0
Esto es, \( \dfrac{2-8x^2}{1+2x}=-4x+2=2(1-2x) \). Luego
\( \dfrac{x}{y}\left(\dfrac{2-8x^2}{1+2x}\right) = \dfrac{2x(1-2x)}{y} \)
(*) También puede dividirse usando Ruffini con \( \alpha=-\frac12 \) en virtud de que \( 2x+1=2\big[x-(-\frac12)\big] \). En ese caso hay que tener presente que los coeficientes a los que lleguemos hay que dividirlos entre 2.
