\( A,B,C,D \) es un cuadrilátero convexo verificando \( AB>BC \), \( CD=DA \) y \( \angle ABD=\angle DBC \). Sea \( E \) el punto de la recta \( AB \) tal que \( \angle DEB=90^o \). Probar que \( AE=\dfrac{AB-BC}{2} \).
Dibujo.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115739.0;attach=22681)
\( A,B,C,D \) es un cuadrilátero convexo verificando \( AB>BC \), \( CD=DA \) y \( \angle ABD=\angle DBC \). Sea \( E \) el punto de la recta \( AB \) tal que \( \angle DEB=90^o \). Probar que \( AE=\dfrac{AB-BC}{2} \).
Mi solución.
No sé si paso algo por alto. Pero mi solución esencialmente es esta: :D
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115739.0;attach=22682)
Añado los detalles:
Tomamos el punto \( C' \) en el segmento \( AB \) tal que \( BC=BC' \). Los triángulos \( CDB \) y \( DC'B \) son congruentes por tener un ángulo y los lados que lo comprenden iguales. Por tanto \( C'D=CD=AD \).
Entonces el triángulo \( ADC \) es isósceles, por tener los lados \( AD \) y \( C'D \) iguales. Por ser el ángulo \( \angle DEB \) recto el segmento \( ED \) es la mediatriz del lado desigual \( AC' \) y así \( AE=EC' \).
Entonces:
\( AB=AE+EC'+C'B=2AE+BC\quad \Rightarrow{}\quad AE=\dfrac{AB-BC}{2} \)
Saludos.
P.D. Añadida una explicación.