[efretes]

Buenas noches foro, ¿podrían ayudarme con esto?, no encuentro casi nada relacionado con Error porcentual en cuanto a beneficio.

 Un Gerente de ventas estima que su equipo venderá 1000 unidades durante el próximo mes. El cree que su estimación es precisa dentro de un error porcentual del 3%. La función Beneficio es \( B(q)=q-4\cdot 10^{-5}q^2 \), donde \( q \) es el numero de unidades vendidas por mes en dólares, hallar el error porcentual máximo en el beneficio estimado.
Saludos.
Mensaje corregido desde la administración.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches foro, ¿podrían ayudarme con esto?, no encuentro casi nada relacionado con Error porcentual en cuanto a beneficio.

 Un Gerente de ventas estima que su equipo venderá 1000 unidades durante el próximo mes. El cree que su estimación es precisa dentro de un error porcentual del 3%. La función Beneficio es \( B(q)=q-4\cdot 10^{-5}q^2 \), donde \( q \) es el numero de unidades vendidas por mes en dólares, hallar el error porcentual máximo en el beneficio estimado.

 Tengo ciertas dudas del contexto del problema, que fomentaría que uses unas u otras herramientas para resolverlo.

 En general si tienes una función derivable \( f(x) \) y un valor de \( x \) con error \( e \), para estimar \( |f(x\pm e)-f(x)| \) (que es el error cometido) puedes usar el Teorema de Rolle:

\( |f(x\pm e)-f(x)|=f'(c)\cdot e \) donde \( c\in [x-e,x+e] \)

 Es decir en tu caso tendrías:

 \( \text{error absoluto}\leq B'(c)\cdot 30 \) (donde \( 30 \) el el \( 3% \) de \( 1000 \) unidades) y \( c\in [970,1030] \).

 Tendrías que hallar el máximo de \( B'(c)=1-8\cdot 10^{-5}c \) en \( c\in [970,1030] \).

 El error porcentual sería \( \dfrac{\text{error absoluto}}{B(1000)}\cdot 100 \).

 Si no se trate de usar derivadas podrías directamente acotar la diferencia:
 
 \( \text{error absoluto}=B(1000+e)-B(1000) \) con \( e\in [-30,30] \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:
Vaya por delante que ignoro cómo se trata este asunto usando procedimientos específicos de economía. Tampoco he indagado si lo que voy a proponer es equivalente a lo propuesto por Luis Fuentes. Se me ocurre que el error porcentual de la estimación del número de unidades vendidas, puede ser equivalente al error relativo, es decir, \( e_q=\dfrac{dq}{q}=\dfrac{\varepsilon_q}{q}=0,03 \) donde \( \varepsilon_q=dq \) es el error absoluto de la estimación \( q \). Para hallar el error porcentual del beneficio, es decir, el error relativo, bastaría con hallar \( e_B=\dfrac{\varepsilon_B}{B}=\dfrac{dB}{B} \), donde \( \varepsilon_B=dB \) es el error absoluto del beneficio \( B \). Entonces \( B=q-4\cdot 10^{-5}q^2\Longrightarrow \varepsilon_B=\varepsilon_q+\varepsilon_T \) con \( T=4\cdot 10^{-5}q^2 \). Como \( \ln T=\ln 4\cdot 10^{-5}+2\ln q \) se tiene que \( e_T=\dfrac{\varepsilon_T}{T}=\dfrac{dT}{T}=2\dfrac{dq}{q}=0,06\Longleftrightarrow \varepsilon_T=0,06 T=0,06\cdot4\cdot 10^{-5}q^2  \) y, por tanto, el error absoluto del beneficio es \( \varepsilon_B=\varepsilon_q+\varepsilon_T=0,03q+0,06\cdot4\cdot 10^{-5}q^2  \), con lo cual el error relativo o error porcentual del beneficio sería \( e_B=\dfrac{\varepsilon_B}{B}=\dfrac{0,03q+0,06\cdot 4\cdot 10^{-5}q^2}{q-4\cdot 10^{-5}q^2}=\dfrac{0,03\cdot 1000+0,06\cdot 4\cdot 10^{-5}\cdot 1000^2}{1000-4\cdot 10^{-5}\cdot 1000^2}=\boxed{0,03375} \) o en porcentaje \( 3,375\% \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Para hallar el error porcentual del beneficio, es decir, el error relativo, bastaría con hallar \( e_B=\dfrac{\varepsilon_B}{B}=\dfrac{dB}{B} \), donde \( \varepsilon_B=dB \) es el error absoluto del beneficio \( B \). Entonces \( B=q-4\cdot 10^{-5}q^2\Longrightarrow \varepsilon_B=\varepsilon_q+\varepsilon_T \) con \( T=4\cdot 10^{-5}q^2 \). Como \( \ln T=\ln 4\cdot 10^{-5}+2\ln q \) se tiene que \( e_T=\dfrac{\varepsilon_T}{T}=\dfrac{dT}{T}=2\dfrac{dq}{q}=0,06\Longleftrightarrow \varepsilon_T=0,06 T=0,06\cdot4\cdot 10^{-5}q^2  \) y, por tanto, el error absoluto del beneficio es \( \varepsilon_B=\varepsilon_q+\varepsilon_T=0,03q+0,06\cdot4\cdot 10^{-5}q^2  \),

Me parece extremadamente raro como razonas. No es cierto que si \( B=A+T \) entonces:

\( \dfrac{dB}{B}=\dfrac{dA}{A}+\dfrac{dT}{T} \) (*)

que es lo que parece que estés utilizando.
 
Con el método que propongo (mediante la derivada) quedaría un error porcentual máximo estimado de \( 2.8825 \)%.

Si usar (*) que en mi opinión es incorrecto, tu idea puede ser correcta: consiste básicamente en aproximar la función en el punto donde pretendemos estimar el error por su derivada. En ese caso el error estimado quedaría:

\( \dfrac{B'(1000)\cdot 0.03}{B(1000)}\cdot 100=2.875 \)%

El enfoque es distinto; porque esto es una estimación del error, mientras que la forma que yo expuse es una acotación del error usando la derivada.

El error máximo EXACTO se tendría maximizando:

\( \dfrac{|B(1000+e)-B(1000)|}{B(1000)}\cdot 100 \) con \( e\in [-30,30] \)

y resulta ser \( 2.87875 \)%.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Me parece extremadamente raro como razonas.

Estoy de acuerdo. 

No es cierto que si \( B=A+T \) entonces:

\( \dfrac{dB}{B}=\dfrac{dA}{A}+\dfrac{dT}{T} \) (*)

que es lo que parece que estés utilizando.

Me parece que no es eso lo que he utilizado. Lo que he usado es que si el beneficio es una suma (resta) de dos términos, \( B=q-4\cdot 10^{-5}q^2 \), entonces el error absoluto es la suma de los errores absolutos de los términos. El error absoluto, \( \varepsilon_q \), del primer término,  se puede hallar, dado que se conoce el error relativo \( e_q=0,03 \) y, por tanto, es \( \varepsilon_q=qe_q =0,03q \). Para hallar el error absoluto, \( \varepsilon_T \), del segundo término, que es un producto, se halla primero el error relativo, \( e_T=2e_q=2\cdot 0,03=0,06 \), con lo cual el error absoluto del segundo término es \( \varepsilon_T=Te_T=0,06(4\cdot 10^{-5}q^2) \). Sumando ambos errores absolutos se tiene el error absoluto del beneficio, \( \varepsilon_B \), que dividido entre el beneficio da el error relativo o porcentual del beneficio, \( e_B=0,03375 \).
Es probable que no sea correcto el método. Voy a buscar un mensaje de delmar en el que comentó unas fórmulas relacionadas con los errores.   

mensaje

Estaría bien que efretes comentara si conoce la respuesta. 
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Quizás se pueda plantear de esta otra forma:
Como el error porcentual en la estimación de \( q \) es \( 0,03 \) (\( 3\% \)), entonces el número máximo de unidades que se estima vender es \( 1030 \) y el mínimo \( 970 \). El beneficio correspondiente a estas ventas es \( B(1030)=987,564 \) y \( B(970)=932,364 \) respectivamente y el de la estimación realizada \( B(1000)=960 \), luego  el error porcentual del beneficio sería \( e_B=\dfrac{\Delta B}{B}=\dfrac{B(1030)-B(970)}{B(1000)}=\dfrac{55,2}{960}=0,0575 \), es decir, \( 5,75\% \). El resultado no coincide con lo expuesto aquí, quizás, debido a que a la hora de calcular el error absoluto del beneficio, como suma del error absoluto de dos términos, \( q \) y \( -4\cdot 10^{-5}q^2 \), no he tenido en cuenta que están relacionados.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Me parece que no es eso lo que he utilizado. Lo que he usado es que si el beneficio es una suma (resta) de dos términos, \( B=q-4\cdot 10^{-5}q^2 \), entonces el error absoluto es la suma de los errores absolutos de los términos.

Si, tienes razón. Pero eso tiene sentido más bien el el contexto de errores de redondeo, cuando en cada opearación los resultados parciales se van aproximando. Si tuvieras 10 términos y sumas individualmente los errores, estarías estimando una cota de error a priori mucho más alta que si calculas el error de manera global.

Por lo demás, no se trata de que haya una forma más correcta que otra de hallar el error; depende de como se lo hayan definido de manera precisa a efretes y de las herramientas que le piden que use. En ese sentido en algunos contextos le pedirán hallar el error máximo exacto y en otras ESTIMAR (aproximar) el error, que no es lo mismo. Normalmente si sólo se usa la derivada de la función en el punto se está estimando (aproximando el error). Si se hace una maximización rigurosa de los valores en que puede oscilar el resultado, entonces se está calculando de manera exacta.

Por último la definición típica de error relativo es el cociente del error absoluto entre el valor real; sin embargo en la práctica lo paradójico de esto es que el valor real muchas veces no se conoce. De ahí surgen diferentes definiciones alternativas.

Saludos.