[gorkam]

Tengo esta serie de potencias:\(  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{x+2}{2})^{n} \) y tengo que ver para qué valores de \( x \) converge. He aplicado el criterio del cociente, resultando:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{n(x+2)}{2(n+1)} \]
Como me piden los valores a los que converge, he hecho lo siguiente:
\[ lim_{n \to \infty}\frac{n(x+2)}{2(n+1)} \]
y una vez hecho el límite, tengo\[  \left|{\frac{x+2}{2}} \right|<1 \]
y de ahí obtengo el intervalo \[ (-4,0) \]. ¿habría alguna forma de analizar la convergencia o divergencia en los extremos de este intervalo?

[Fernando Revilla]

... y de ahí obtengo el intervalo \[ (-4,0) \]. ¿habría alguna forma de analizar la convergencia o divergencia en los extremos de este intervalo?

Para \( x=-4 \) obtenemos la serie \( \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n \) (serie armónica alternada) que es condicionalmente convergente y para \( x=0 \), obtenemos la serie \( \sum_{n=1}^{\infty}1/n \) (serie armónica) que es divergente.