Hola
Lamento decir esto, pero a día de hoy no me convencen las respuestas de
martiniano y
Carlos sobre la validez del razonamiento con \( C_2 \). Pero no es porque desconfíe de ellos, sino porque nunca he hecho ningún razonamiento así.
Entonces quería volver a consultar si el siguiente razonamiento:
\(
\begin{array}{l}
\exists x\,p(x)\lor q(x)\\
\forall x\,q(x)\to r(x)\\
\exists x\,\neg r(x)\\\hline
\exists x\,p(x)\lor r(x)
\end{array}
\)
es válido y puede demostrarse formalmente utilizando las siguientes propiedades y sin usar hipótesis adicionales:
Reglas de inferencia permitidas
Modus Ponens, Modus Tollens, Adición, Simplificación, silogismo hipotético, y las siguientes llamadas dilemas constructivo y silogismo disyuntivo (en ese orden):
\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
r\to s\\
p\vee r\\\hline
\therefore q\vee s
\end{array}\qquad
\begin{array}{l}
p\vee q\\
\neg q\\\hline
\therefore p
\end{array}
\)
Yo no he podido. ¿Alguien?
Lo que se me ocurre ahora es usar reducción al absurdo, aunque nunca lo he hecho en estos tipos de razonamientos. He proseguido así:
\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,p(x)\lor q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,q(x)\to r(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg\exists x\,p(x)\lor r(x)&\text{Suposición}\\
6)&\forall x\,\neg p(x)\land\neg r(x)&\text{Negación 5)}\\
7)&\neg p(a)\land\neg r(a)&\text{Particularización universal 6)}\\
8)&\neg r(a)&\text{Eliminación conjunción 7)}\\
9)&\neg q(a)&\text{Modus Tollens 4,8)}\\
10)&p(a)&\text{Silogismo disyuntivo 3,9)}\\
11)&\neg p(a)&\text{Eliminación conjunción 7)}\\
\end{array}
\)
y aquí llegamos a una contradicción entre las líneas 10 y 11. Por lo tanto, lo que hemos supuesto en 5) es falso, y el razonamiento es válido. ¿Cómo sabemos que la contradicción provino de haber supuesto la línea 5) pero no provino de alguna de las otras premisas? Porque yo podría haber dicho "Por lo tanto, lo que hemos supuesto en 1) es falso, y el razonamiento es válido". ¿Por qué la contradicción sólo proviene de 5)?
¿Lo ven bien? No me convence mucho, porque necesito probarlo solamente usando las leyes lógicas reglas de inferencia mostradas en la cita de más arriba y no se me ocurre cómo.
Gracias y saludos