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Buenas,

Hola

7mo axioma (distributiva de escalar respecto a la suma):
Al estar \( f(x),g(x) \) en \( V \) existe un escalar \( \lambda \) tal que \( \lambda(f(x) + g(x))=\lambda f(x) + \lambda g(x) \) luego en F existe \( h(x) \) tal que \( h(x) = \lambda f(x) + \lambda g(x) = \lambda(f+g)(x) \).

No es que "exista un escalar". El escalar viene dado.  Fíjate que una vez que has definido la suma de funciones y el producto de una función por un escalar, es todo muy rutinario. Todas las propiedades se cumplen como consecuencia de que se cumplen en la imagen \( V \), ya que en esencia en la función suma se suman imágenes y en la producto por escalar se multiplican las imágenes por el escalar.

Entonces dados \( f,g\in F \) y \( \lambda\in \Bbb K \) tienes que probar que:

\( (\lambda(f+g))=(\lambda f)+(\lambda g) \)

Por definición de igualdad entre funciones eso equivale a probar que para todo \( x\in X \):

\( (\lambda(f+g))(x)=((\lambda f)+(\lambda g))(x) \)

Pero:

1) Por definición de función suma y función producto por escalar:

\( (\lambda(f+g))(x)=\lambda((f+g)(x))\lambda(f(x)+g(x)) \)

2) Por la ser \( V \) espacio vectorial:

\( \lambda(f(x)+g(x))=\lambda f(x)+\lambda g(x) \)

3) Por definición de producto de función por escalar:

\( \lambda f(x)+\lambda g(x)=(\lambda f)(x)+(\lambda g)(x) \)

4) Por definición de producto de suma de funciones:

\( (\lambda f)(x)+(\lambda g)(x)=((\lambda f)+(\lambda g))(x) \)

He querido detallártelo mucho, pero si te fijas es absolutamente mecánico e inmediato.

Saludos.

Se agradece mucho el detalle, ¿los otros axiomas están correctos ? Parecía un ejercicio mas tedioso al comienzo, pero los axiomas son bastantes directos de demostrar ya que se cumplen en V.

1) Por definición de función suma y función producto por escalar:
\( (\lambda(f+g))(x)=\lambda((f+g)(x))\lambda(f(x)+g(x)) \)

¿Aquí no falta un igual? para que quede \( (\lambda(f+g))(x)=\lambda((f+g)(x))=\lambda(f(x)+g(x)) \)

Para rematar el ejercicio completo con los últimos 3 axiomas:
8vo axioma (distributiva respecto a suma de escalares):
\( (\lambda + \mu)f(x) \)
Por ser V espacio vectorial
\( \lambda f(x) + \mu f(x) = (\lambda f)(x) + (\mu f)(x) \)

9no axioma (asociatividad mixta):
\( \lambda (\mu f(x)) \)
Por ser V espacio vectorial:
\( (\lambda \mu) f(x) \)

10mo axioma(identidad):
\( (1f)(x) = 1f(x) \)
Por ser V espacio vectorial
\( 1f(x)=f(x) \)

¿Es correcto?

Para otros ejercicios del estilo, siempre deben ser los 10 axiomas ¿o hay una cantidad reducida que ya baste?

Saludos,
Franco.

PD: No te preocupes por mi post, creo es idéntico al que hice.
2
Topología (general) / Re: Problema sobre Topología heredada o inducida
« Último mensaje por nico en Hoy a las 12:32 am »
Hola Luis, gracias nuevamente.
Adjunto con las correcciones realizadas.

Saludos
3
Probabilidad / Re: Distribución condicionada
« Último mensaje por KatherineR en Hoy a las 12:03 am »
Muchas Gracias Luis , si lo pude terminar y el resultado fue  0,17272.

Muchas Gracias   ;D ;D ;D ;D
4
Hola

7mo axioma (distributiva de escalar respecto a la suma):
Al estar \( f(x),g(x) \) en \( V \) existe un escalar \( \lambda \) tal que \( \lambda(f(x) + g(x))=\lambda f(x) + \lambda g(x) \) luego en F existe \( h(x) \) tal que \( h(x) = \lambda f(x) + \lambda g(x) = \lambda(f+g)(x) \).

No es que "exista un escalar". El escalar viene dado.  Fíjate que una vez que has definido la suma de funciones y el producto de una función por un escalar, es todo muy rutinario. Todas las propiedades se cumplen como consecuencia de que se cumplen en la imagen \( V \), ya que en esencia en la función suma se suman imágenes y en la producto por escalar se multiplican las imágenes por el escalar.

Entonces dados \( f,g\in F \) y \( \lambda\in \Bbb K \) tienes que probar que:

\( (\lambda(f+g))=(\lambda f)+(\lambda g) \)

Por definición de igualdad entre funciones eso equivale a probar que para todo \( x\in X \):

\( (\lambda(f+g))(x)=((\lambda f)+(\lambda g))(x) \)

Pero:

1) Por definición de función suma y función producto por escalar:

\( (\lambda(f+g))(x)=\lambda((f+g)(x))\lambda(f(x)+g(x)) \)

2) Por la ser \( V \) espacio vectorial:

\( \lambda(f(x)+g(x))=\lambda f(x)+\lambda g(x) \)

3) Por definición de producto de función por escalar:

\( \lambda f(x)+\lambda g(x)=(\lambda f)(x)+(\lambda g)(x) \)

4) Por definición de producto de suma de funciones:

\( (\lambda f)(x)+(\lambda g)(x)=((\lambda f)+(\lambda g))(x) \)

He querido detallártelo mucho, pero si te fijas es absolutamente mecánico e inmediato.

Saludos.
5
Hola

Es la primera vez que me encuentro ante este tipo de ejercicio y el concepto formal de espacio vectorial así que disculpad todos los errores que cometeré a continuación  :laugh:

3er axioma (Asociativa)
\( (f+g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x) \) pero \( f(x),g(x)\in V \) y \( V \) es un espacio vectorial entonces \( (f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+(g+h)(x) \)

4to axioma (identidad de la suma):
Para este no estoy del todo seguro.
El inverso de la suma seria la función \( f(x)=O_V \) para todo \( x\in X  \) me refiero que como imagen siempre de el vector nulo de \( V \).

5to axioma (inverso de la suma):
Por \( f(x)\in V \) existe \( −f(x)\in V \) tal que \( f(x)+(−f(x))=O_V \) entonces en \( F \) debe existir \( h(x) \) tal que \( h(x)=−f(x) \)

6to axioma (cerrado bajo multiplicación por escalar):
Si \( f(x) \) esta en \( V \), en \( V \) existe un escalar \( \lambda \) tal que \(  (\lambda)f(x)=\lambda f(x) \) por definición de la multiplicación en \( F \) tengo entonces \( h(x)=(\lambda f)(x)=\lambda f(x) \)

7mo axioma (distributiva de escalar respecto a la suma):
Al estar \( f(x),g(x) \) en \( V \) existe un escalar \( \lambda \) tal que \( \lambda(f(x)+g(x))=\lambda f(x)+\lambda g(x)  \) luego en \( F \) existe \( h(x) \) tal que \( h(x)=\lambda f(x)+\lambda g(x)=\lambda (f+g)(x).
 \)
¿Hasta aquí va bien?

Saludos,
Franco.

Por error borré tu mensaje. He intentado restaurarlo. Espero haber sido fiel a la versión escrita por ti. Disculpas. Luis Fuentes.
6
Probabilidad / Re: Distribución condicionada
« Último mensaje por Luis Fuentes en Ayer a las 11:16 pm »
Hola

Un laboratorio de computación tiene dos impresoras: A y B. La impresora A maneja el 60% de todos los
trabajos. Su tiempo de impresión se distribuye exponencialmente con una media de 120 segundos. La
impresora B maneja el 40% restante de trabajos. Su tiempo de impresión es uniforme entre 0 minutos y 5
minutos (inclusive).

a) Calcular la probabilidad de que un trabajo elegido al azar se imprima en menos de 0.5 minutos.

Hola chicos necesitaria saber que modelo de distribucion para  el ejercicio a ) la mayoria de los datos los tengo planteados , pero  no se como resolver el ejercicio a)

Muchas Gracias

Es una distribución condicionada. Si llamas \( X \) al tiempo de impresión sabes que:

\( X|A=Exp(1/2) \) (siendo \( A \) el suceso "usar la impresora A", con \( P(A)=0.6 \))
\( X|B=U(0,5) \) (siendo \( B \) el suceso "usar la impresora B" con \( P(B)=0.4 \))

Entonces:

\( P(X<0.5)=P(X<0.5|A)P(A)+P(X<0.5|B)P(B) \)

Para hallar \( P(X<0.5|A) \) usas la exponencial y para  \( P(X<0.5|B) \)  la uniforme.

¿Sabes terminar?.

Saludos.
7
Topología (general) / Re: Problema sobre Topología heredada o inducida
« Último mensaje por Luis Fuentes en Ayer a las 11:10 pm »
Hola

Hola Luis, muchas gracias por tu comentario.
Lo arreglo y lo adjunto nuevamente.

Saludos

Al final cada uno redacta como quiere; pero más bien me refería a algo así:


"... entonces cómo \( \{x\}\subset U\subset X \), \( \{x\} \) es abierto en \( U \) y \( U \) es abierto en \( \{X\} \), se tiene que \( \{x\}  \) es un abierto de \( X \)..."

Es decir poner de manifiesto que  son decisivas las dos cosas para concluir que \( \{x\}  \) es un abierto de \( X \):

- que \( \{x\} \) es abierto de \( U \).
- que \( U \) es abierto de \( X \).

Y por cierto me he dado cuenta también que donde tienes escrito "se tiene que es un abierto de \( \{x\} \)" tiene que poner "se tiene que \( \{x\}  \) es un abierto de \( X \)".

Saludos.
8
Análisis Matemático / Re: Derivabilidad e integrabilidad de una función
« Último mensaje por Asdfgh en Ayer a las 10:49 pm »
Buenas tardes, una última cosa, te agradezco mucho la ayuda.

Se me ocurre viendo ideas de otros años que podría calcular \( \lim_{t\to +\infty} f(t) \) aplicando el teorema
del valor medio en el intervalo \( [0,t] \), pero no sé como usarlo.

Te agradezco la ayuda encarecidamente.

Un saludo.

Muchas gracias, podría hacer el primer apartado así?

Spoiler
Estudiaremos la integrabilidad en intervalos de la forma \( ]0, \alpha] \). Para ellos veamos el siguiente límite:
      
         \[ \lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{1-\cos(x)}{x}\cdot e^{-tx} \right|=\lim_{x \rightarrow 0} \left| \dfrac{\sen^2(x)}{x\cdot (1+\cos(x))}\cdot e^{-tx} \right|= \lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{\sen(x)}{x}\cdot \frac{\sen(x)}{1+\cos(x)}\cdot e^{-tx} \right| \]
      
      Sabiendo que \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sen(x)}{x}=0 \) tenemos que:

      \begin{equation*}
      \lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{\sen(x)}{x}\cdot \frac{\sen(x)}{1+\cos(x)}\cdot e^{-tx} \right|=\lim_{x \rightarrow 0} \left| 0\cdot \frac{0}{1+1}\cdot 1 \right|=0
      \end{equation*}

      como el límite es 0 y la función constantemente igual a 1 es integrable en el intervalo \( ]0,\alpha] \) usando el criterio por comparación por paso al límite, tenemos que la función \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) también es integrable en dicho intervalo para cada \( t\in \mathbb{R}^+ \).
      
      Ahora estudiemos la situación en un intervalo de la forma \( [\alpha, +\infty[ \). Vamos a comparar con la función \( e^{-tx} \) que sabemos que es integrable para todo \( t>0 \) en este tipo de intervalos.

      \begin{equation*}
         \lim_{x \rightarrow +\infty} \left| \frac{\dfrac{(1-\cos(x))}{x}\cdot e^{-tx}}{e^{-tx}} \right|=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left| \dfrac{1-\cos(x)}{x} \right|=0
      \end{equation*}

      como el límite es 0 y la función \( e^{-tx} \) es integrable en \( [\alpha, +\infty[ \) usando el criterio por comparación por paso al límite tenemos que la función \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) también es integrable en dicho intervalo para todo \( t\in \mathbb{R}^+ \).
      
      Concluimos que \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) es integrable en \( ]0, +\infty[=\mathbb{R}^+ \) para todo \( t\in \mathbb{R}^+ \).
[cerrar]

Veamos, la función

        \( g(x)=\begin{cases}{\dfrac{1-\cos x}{x}e^{-tx}}&\text{si}& x>0\\0 & \text{si}& x=0\end{cases} \)

es continua en \( [0,+\infty) \) lo cual implica de manera obvia que es integrable en cada intervalo de la forma \( (0,\alpha] \) (y también \( [0,\alpha] \)). Entonces la integrabilidad de \( g(x) \) en \( \mathbb{R}^+ \) se limita a estudiar la convergencia de \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}g(x)\ dx \).
9
Hola

Es conveniente demostrar que \( F,K,+,. \) cumple los axiomas de un espacio vectorial.

Axioma 1
\( f,g\in{F}\Rightarrow{D(f)=D(g)=X} \)

\( \forall{x}\in{X}, \exists{f(x)} \wedge \ \exists{g(x)} \)

\( f,g\in{F}\Rightarrow{f(x),g(x)\in{V}} \)

Por ser V espacio lineal se tiene \( \exists{(f(x)+g(x))}\in{V} \)

Luego \( \exists{h}\in{F} \ / \ h:X\rightarrow{V} \)
                            \(  x\rightarrow{h(x)=f(x)+g(x)} \)

Por ser \( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \ \forall{x}\in{X} \) se tiene que por definición :

h=f+g

Por lo tanto \( \forall{f,g}\in{F}, \ \exists{f+g}\in{F} \)

En consecuencia se cumple el axioma 1

Axioma 2

\( f+g:X\rightarrow{V} \)

          \( x\rightarrow{(f+g)(x)=f(x)+g(x)} \)

Pero \( f(x),g(x)\in{V} \) y V es un espacio lineal entonces\( f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x) \)

Por lo tanto : \( f+g=g+f \) por la definición de igualdad de funciones.

Ahora sí adelante


Saludos
10
Temas de Física / Re: Ejercicio sobre conservación de energía (demostraciones)
« Último mensaje por JCB en Ayer a las 10:41 pm »
Hola a tod@s.

Tal y como dice Richard. El peso se descompone en dirección radial, \( mg\cos\theta \) (la componente que se utiliza para la Dinámica en la dirección radial), y en dirección tangencial \( mg\sin\theta \), que no participa en el ejercicio. Por otra parte, consideré como referencia 0 de energía potencial gravitatoria, al plano horizontal que pasa por la base del montículo esférico.

Saludos cordiales,
JCB.
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