Hola!

Una variable aleatoria \( X \) sigue la ley doble exponencial de parametros \( \mu \) y \( b \) si su densidad \( f_X(x)=\frac{1}{2b}e^{-\frac{|x-\mu|}{b}} \), siendo \( b>0 \) y \( \mu>0 \)

Tengo que calcular la esperanza y varianza. A mi lo primero que se me ocurrió fue para la esperanza usar la fórmula \( E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx \) lo que me da algo MUY distinto al verdadero resultado que es \( \mu \) y para la varianza usé la fórmula siguiente:
\( V(X)=E(X^2)-E^2(X) \) hallando obviamente \( E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_X(x)dx \) que también me dio una chorrera de cosas que se aleja muchisimo del resultado correcto que es \( 2b^2 \).

Me fijé en la solución y hace lo siguiente, \( E(X-\mu)=0 \) y \( E((X-\mu)^2)=2b^2 \) entonces \( E(X)=\mu \) y la \( V(X)=2b^2 \) entonces no entiendo un par de cosas:
1) ¿Por qué la \( E(X-\mu)=0 \)?
2) Se que si \( E(X)=\mu \) se tiene que \( V(X)=E((X-E(X))^2)=E((X-\mu)^2) \) pero...¿de donde sale ese \( 2b^2 \)?

Desde ya muchas gracias!

Saludos!

Buenas!
Tengo que hallar todos los \( a\in\mathbb{Z} \) que cumpen que \( a^3\equiv 3(mod\;11) \)
Lo estuve pensando de distintas maneras pero no me doy cuenta...usando la definición no creo llegar a ningún lado, es decir:
\( a^3\equiv 3(mod\;11)\Leftrightarrow 11\mid a^3-3 \), pensé en que podría salir usando diofánticas planteando \( a^3\equiv 3(mod\;11)\Leftrightarrow a^3=3+11k\Leftrightarrow a^3-11k=3 \) pero al estar ese \( a^3 \) no se como encararla.
Me gustaría si alguien pudiese darme una pista de como pensarla, así puedo pelearla desde otro punto de vista.

Desde ya muchas gracias,

Saludos!

Hola!

Debo resolver la siguiente problema:

Se desean comprar 430 dólares en cheques de viajero. Los cheques solamente vienen de 20 y de 50 dólares. ¿Cuántos cheques de cada cantidad deberán adquirirse?

Lo cuál se traduce a la ec. diofántica:

\( 50x+20y=430 \)

Primero hayo el \( mcd(50,20)=10 \) y después por la Identidad de Bezout se sabe que existen enteros \( x_0,\,y_0' \) tales que \( 50x_0+20y_0=10 \)

Para hallar dichos coeficientes divido 50 entre 20 y obtengo \( 50=20\cdot 2+10\,\Rightarrow\,50\cdot 1+20\cdot (-2)=10\,\Rightarrow\,50(43\cdot 1)+20(-43\cdot 2)=430\,\Rightarrow\,50\cdot 43+20\cdot (-86)=430 \)

\( (43,-86) \) es una solución particular de modo que la solución al problema sería:

\( x=43+\frac{50}{10}h=43+5h \) y \( y=-86-\frac{20}{10}h=-86-2h \)

Pero como yo quiero que x,y mayores o iguales a cero entonces queda:

\( h\geq -8 \) y \( h\leq -43 \) de modo cuando x queda positivo y da negativo y viceversa...

Que puedo estar haciendo mal?

Muchas gracias,

Saludos

Hola a todos!

A ver si me pueden dar una idea de como encarar estos problemas:

1)

¿Existe algún homomorfismo no nulo \( \psi:\mathbb{Z}_7\rightarrow S_6 \) (recordamos que el
homomorfismo nulo entre dos grupos \( G \) y \( K \) es el que manda todo elemento de \( G \) al
neutro \( e_k \) de \( K \)).

Por defininición un homomorfismo es una función \( \psi:G\rightarrow G' \) que cumple que \( \psi(x*y)=\psi(x)*'\psi(y)\;\forall\;x,\,y\in G \) entonces como el producto de \( S_6 \) es la composición de funciones se me ocurrió probar con que \( \psi(\bar{x})= \) deja fijo \( x \) y el resto de los elementos los permuta. El tema es que no se cumple que \( \psi(\bar{xy})=\psi(\bar{x})\psi(\bar{y}) \) y no me doy como podría ser asi que les pido alguna sugerencia a ver si puedo darle con el homomorfismo.

2)

Hallar \( n \) y \( m \) si se sabe que existe un isomorsmo \( \mu:\mathbb{Z}_n\rightarrow S_m \).

Como por letra existe un isomorfismo \( \mu \) entonces \( \mathbb{Z}_n\simeq S_6 \) de modo que \( |\mathbb{Z}_n|=|S_6|\Rightarrow\;n-1=m! \) pero hasta ahi llego y no se como seguir, ¿alguna idea para poder continuarlo?

Desde ya muchas gracias!

Hola a todos! Una duda sencilla, si tengo el grupo \( G = \left\{{f^ig^j\mid\;i=0,1;j=0,1,2,3}\right\} \) en donde \( f(x,y)=(-x,y) \) y \( g(x,y)=(-y,x) \) entonces quiero probar que \( H = \left\{{id,g,g^2,g^3}\right\} \) es subgrupo normal de \( G \).

\( G \) me quedó \( G=\left\{{id,f,g,g^2,g^3,fg,fg^2,fg^3}\right\} \) y ya probé que \( H\leq G \) y faltaría probar que \( H\triangleleft G \) entonces tengo 2 opciones:

\( 1)\;H\triangleleft G\;\Leftrightarrow\;gHg^-1\subset H\,\forall\; g\in G \)
\( 2)\;H\triangleleft G\;\Leftrightarrow\;gH=Hg \;\forall g\in G \)

Creo la correcta es la segunda forma pero es demasiado larga...entonces mi pregunta es ¿existe otra manera de hacerlo?

Si elijo la segunda forma entonces deberia verificar que:

\( fH=Hf;\;fgH=Hfg;\;fg^2H=Hfg^2;\;fg^3H=Hfg^3 \) ¿o estoy verificando algo de mas o algo de menos?

Desde ya muchisimas gracias!

Saludos!

Hola a todos!

Sea \( \varphi\;:G\rightarrow G' \) entonces sea la imagen de \( \phi \) \( \varphi(G) = \left\{{\varphi(a)\mid a\in G}\right\} \)

Tengo que demostrar el siguiente lema:

Si \( \varphi \) es un homomorfismo de \( G \) en \( G' \), entonces la imagen de \( \varphi \) es un subgrupo de \( G' \).

DEM:

Entonces como primer paso pruebo que \( \varphi(G) \) es cerrado respecto al producto de \( G' \):

Si \( \varphi(a),\;\varphi(b)\in\varphi(G)\;\Rightarrow\;\varphi(a)\varphi(b)\in\varphi(G) \)

Dados \( a,\;b\in G\;\Rightarrow\;\varphi(a)\in\varphi(G) \) y \( \varphi(b)\in\varphi(G) \), como \( G \) es un grupo y entonces \( G \) es cerrado se tiene que \( ab\in G\;\Rightarrow\;\varphi(ab)\in\varphi(G) \) y además como \( \varphi \) es un homomorfismo se cumple que \( \varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)\;\Rightarrow \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \in\varphi(G) \)

Por lo tanto \( \varphi(G) \) cerrado respecto al producto de \( G' \)

Como segundo paso tengo que probar la existencia del inverso:

\( a\in G\;\Rightarrow\; \varphi(a)\in\varphi(G) \)
\( a^{-1}\in G\;\Rightarrow\; \varphi(a^{-1})\in\varphi(G) \)

Además por ser \( \varphi \) un homomorfismo se tiene que \( \varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}\in\varphi(G) \)

Por lo tanto \( \exist \varphi(a)^{-1}\in\varphi(G) \)

Para finalizar, \( \varphi(G) \) es subgrupo de \( G' \)

¿Es correcta la demostración?

Desde ya muchas gracias!

Hola a todos! Estoy teniendo problemas con el siguiente ejercicio que dice lo siguiente:

Tres jugadores tiran al blanco. La probabilidad de que el jugador 1 dé en el blanco es \( \frac{1}{6} \), la probabilidad de que el jugador 2 dé en el blanco es \( \frac{1}{4} \) y la probabilidad de que el jugador 3 dé en el blanco es \( \frac{1}{3} \). Cada uno dispara una vez.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado solamente una vez?

LLamando:
\( A_1= \)"el jugador 1 da en el blanco"
\( A_2= \)"el jugador 2 da en el blanco"
\( A_3= \)"el jugador 3 da en el blanco"
\( B = \)"el blanco es alcanzado solamente una vez"

\( P(B) = P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(B)P(\bar{A})P(\bar{C}) + P(C)P(\bar{A})P(\bar{C})=\frac{31}{72} \)

Me dio la respuesta correcta pero...es la forma correcta de pensarlo o existe otra forma o fórmula? En este caso usé que son sucesos independientes.

b) ¿Si sólo uno da en el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido el jugador 1?

Acá quiero calcular \( P(A_1\mid B) \) entonces se me ocurrio que podía usar el Teorema de Bayes que sería

\( P(A_1\mid B) = \frac{P(B\mid A_1)P(A_1)}{P(B)} \) pero no se como hallar \( P(B\mid A_1) \) si lo analizo en si lo que dice \( B\mid A \) es que dado que el jugador 1 dio en el blanco ¿cuál es la probabilidad de que se de solamente una vez en el blanco?
entonces se que si fuese al menos una vez tendría \( P(B\mid A_1) = 1 \) pero en este caso no se la forma correcta.

Si hago \( \frac{P(A_1)P(\bar{A_2})P(\bar{A_3})}{P(B)}=\frac{6}{31} \) que es la respuesta correcta pero por la fórmula de Bayes eso no es exactamente \( P(B\mid A_1) \). Espero alguien me pueda dar una mano porque estoy bastante mareado.

Saludos!

Tengo el siguiente ejercicio que dice así:

En una fábrica los productos se codifican con 3 letras distintas que indican 3 operaciones que sufren cada uno de los productos y 3 cifras distintas en ese orden: primero las letras y después los números. Las letras utilizadas son \( A,B,C \) y \( D \).

\( 1. \) ¿Cuantos productos pueden codificarse?

Yo lo pensé así:

Tengo 4 letras para las distintas operaciones \( A,B,C,D \) y 10 dígitos entonces \( P(4,3)\cdot P(10,3)=4\cdot 3\cdot 2\cdot 10\cdot 9\cdot 8=17280 \) productos.

\( 2. \) ¿Cuántos códigos empiezan con A y terminan con 9?

\( P(3,2) \) para las letras y \( P(9,2)  \) para los números \( \Rightarrow P(3,2)\cdot P(9,2) = 3\cdot 2\cdot 9\cdot 8 = 432 \)

\( 3. \) ¿En cuántos los números 0 y 2 aparecen juntos y en ese orden?

Para la primera letra puedo elegir entre las 4 disponibles, para la segunda entre 3...para los números el número \( 02 \) está fijo pero puede estar en las primeras 2 posiciones o en las dos últimas posiciones (de las tres últimas posiciones correspondientes a las letras en la codificación) y entonces tengo dos formas y para la posición restante puedo elegir entre los 8 números restantes. De modo que me queda:

\( P(4,3)\cdot P(8,1)\cdot 2 = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 8\cdot 2 = 384 \)

\( 4. \) IDEM \( 3. \) pero no necesariamente en orden

\( \Rightarrow 4\cdot 3\cdot 2\cdot 8\cdot 4 = 768 \)

Entonces mi pregunta es si es correcta la forma en que los pensé.

Muchas gracias!

Saludos!

Hola a todos!

Tengo una duda sobre como encarar un ejercicio que dice asi:

Demostrar que el producto de tres naturales consecutivos es multiplo de 6.

Entonces demostrar que a es multiplo de b es equivalente a demostrar que b es divisor de a...de modo que deberia demostrar lo siguiente:

\( 6|a(a+1)(a+2) \)

Dado que \( 6=2\cdot 3 \) entonces me bastaria con demostrar que \( 2|a(a+1)(a+2) \) y también con 3 ¿es válido lo qe digo?

En caso de ser válido...dados a, a+1 y a+2 se sabe que dividiendo entre dos el resto r pertenece a {0,1} y dividiendo entre 3 r pertenece a {0,1,2} entonces siempre se cumple que \( 2|a(a+1)(a+2) \) y \( 3|a(a+1)(a+2) \) demostrando así que \( 6|a(a+1)(a+2) \) y entonces \( a(a+1)(a+2) \) es multiplo de 6.

Saludos y gracias!

Hola a todos!

Queria ver si pueden darme una mano con lo siguiente que no logro entender:

Tengo la siguiente fórmula de recurrencia:

\( T_w(n) = 2T_w(n/2) + n - 1 \)

Donde \( T_w \) es solo notación de programación. Debo resolver dicha ecuación para obtener \( T_w(n) \) y también tengo la solución que es :

Tomando \( n=2^p \):

\(


T_w(n)=2T_w(n/2)+n-1

2^1T_w(n/2)=2^2T_w(n/2^2)+n-2^1

2^2T_w(n/2^2)=2^3T_w(n/2^3)+n-2^2

\hspace{3cm}\vdots

2^{p-1}T_w(n/2^{p-1})=2^pT_w(n/2^p)+n-2^{p-1}

2^pT_w(n/2^p)=2^pT_w(1)=0

 \)

Y después sigue. Lo que quería es si alguien puede explicarme el método usado en la resolución y como se llamaria.

Gracias de antemano.

Saludos!