Puedes ir viendo por grado del polinomio: si el grado es cero entonces \( p(x)=1 \) es el polinomio buscado. Si el grado es uno entonces hay que buscar \( a,b\in \mathbb{R} \), con \( a\neq 0 \), tales que \( p(x):=ax+b \). Con \( p(0)=1 \) tenemos que \( b=1 \), por tanto teniendo en cuenta que \( p(1)=p(2)=1 \) debe darse el caso de que
\( \displaystyle{
a+1=2a+1=1\iff a=2a=0\iff a=0
} \)
Es decir: no existe polinomio de grado uno que satisfaga las condiciones dadas. Pasamos a grado dos, entonces tenemos que \( p(x)= ax^2+bx+c \), y al igual que antes con \( p(0)=1 \) encontramos que \( c=1 \). Usando las otras dos condiciones nos quedan las ecuaciones
\( \displaystyle{
4a+2b+1=a+b+1=1\iff 4a+2b=a+b=0\iff a=-b \,\land\, 2a=-b\iff a=b=0
} \)
Por tanto no existe ningún polinomio de grado dos que satisfaga las condiciones dadas.
Alternativamente, otra solución más elegante, viene de definir el polinomio \( q(x):=p(x)-1 \), entonces las condiciones dadas nos dicen que \( q \) es un polinomio de grado menor o igual a dos que tiene raíces en cero, uno y dos, es decir, que es divisible tanto por \( x \) como por \( x-1 \) como por \( x-2 \), y por tanto es divisible por \( h(x):=x(x-1)(x-2) \). De la división euclídea de \( q \) por \( h \) obtenemos que el único polinomio que puede cumplir tales condiciones es \( q(x)=0 \), por tanto la única solución al problema inicial es \( p(x)=1 \).∎
