\( A(k):1+2+3+\ldots +k=k(k+1)/2 \)
\( A(k+1):1+2+3+\ldots +k+1=k+1(k+2)/2 \)
Y la verdad es que no se cómo seguir.
¿Alguien que me ayude?
Muchas gracias.
Esto es un poco largo, pero como veo que estás empezando con este tipo de ejercicios, creo que te puede venir bien este tipo de explicación.
En primer lugar, observa que es cierto no sólo para n=1, sino para n=2, para n=3, para algunos casos.
Haciendo eso parece que se cumplirá para n=4, para n=5... pero no se puede comprobar para todos, porque no se acaban.
Entonces, si se cumpliera para todos, como no se acaba, se cumpliría para el siguiente a cualquiera, porque no hay un último; es decir, si los números se acabaran en 8, por ejemplo, no se cumpliría para 8+1, porque no existiría, pero eso no pasa.
Si en algún momento se dejara de cumplir (imagina que para n=29 no fuera cierto y sí lo fuera para todos los menores que 29) se cumpliría para algunos “n” (a los que ahora llamamos k, porque no son, o suponemos que no son todos; y “n” suele representar cualquier número natural, todos). Y también se cumplirá (o podría cumplirse) para algunos siguientes a partir de n+1 (que llamaremos k+1).
[no obstante, tampoco hay demasiado problema en poner “n” en vez de “k”).
Entonces, existen casos ciertos seguros (al menos un caso, para n=1, que es el que se prueba siempre, el caso base). Así, cuando dices “se cumple para k” en la hipótesis, se trata de cualquiera de los que lo cumplen seguro; está representando a todos los que lo cumplan (si hay uno, pues uno, si hay dos, pues dos, si todos, pues todos). Y sabes que existe como poco un caso seguro, el que has probado para n=1.
Como “k” está representando a todos los que lo cumplen, también está representando al “k” más grande en caso de que existiera (o sea, en caso de que hubiera un “k” máximo; y en tal caso no se cumpliría para todo “n”, evidentemente). Pero, entonces, si existiera un “k” máximo, pues no se cumpliría para los “k” siguientes; con lo que nos bastará comprobar si se cumple para “k+1”.
*En spoiler va una observación que ahora no es demasiado importante
Spoiler
Podría cumplirse, por ejemplo, para k=1,2,3,4, no cumplirse para k=5,6,7, volver a cumplirse para 8,9,10... O sea, podrían existir unos “k” máximos relativos, por trozos. Pero siempre habría uno que sería el mayor (en caso de que no se cumpliera para todos, digo). En esto último que he dicho hay algo que no es correcto, podría no cumplirse para todos, y no haber siempre un "k" máximo absoluto; podría ser como con infinitas "islas" de números que cumplen y otros que no
“k” es genérico; ¿qué quiere decir esto? Pues quiere decir que, si fallara, te “detectaría” todos esos “máximos relativos”, no uno en particular. Por esto mismo, cuando no falla, está diciendo más o menos esto: “lo cumplen todos en cadena para 1,..., k, k+1... hasta el infinito”.
Ahora, cuando tú escribes esto
\( {\color{blue}A(k)}:1+2+3+\ldots+k=\dfrac{{\color{blue}k(k+1)}}{{\color{blue}2}} \)
\( A(k+1):{\color{blue}1+2+3+\ldots+k}+(k+1)=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \)
y desarrollas por la distributiva en el lado derecho...
\( A(k+1):{\color{blue}1+2+3+\ldots+k}+(k+1)={\color{blue}\dfrac{(k+1)}{2}k}+\dfrac{(k+1)}{2}2 \)
tienes que lo azul (que no hay que demostrar que existe, es cualquier caso de los que existen seguro) se cancela a ambos lados y queda
\( (k+1)=\dfrac{(k+1)}{2}2 \).
Lo cual es una igualdad cierta, luego se cumple para todo “n”.
Saludos.
