Hola
Sea \( O \) el origen del plano cartesiano. \( C \) la circunferencia de radio \( a \) centrada en \( (0,a) \) y \( T \) la recta tangente a \( C \) en el punto \( (0,2a) \). La cisoide de Diocles es el lugar geométrico de los puntos \( P \) que verifican \( \left |{OP}\right |=\left |{AB}\right | \) donde \( A \) y \( B \) son los puntos de intersección de la recta que pasa por \( O \) y por \( P \) con \( C \) y \( T \) respectivamente:
a) Encontrar la ecuación de la cisoide en coordenadas polares y cartesianas
Si la recta \( OP \) forma un ángulo \( t \) con el eje \( OX \), tenemos que:
\( A=(OA cos(t), OA sin(t)) \)
Pertenece a la circunferencia \( C \) de ecuación \( x^2+(y-a)^2=a^2 \) de donde sustituyendo se obtiene:
\( OA=2asin(t) \)
El punto \( B \) es de la forma:
\( =(OB cos(t), OB sin(t)) \)
y por pertenecer a la recta \( y=2a \) se obtiene:
\( OB=\dfrac{2a}{sin(t)} \)
Finalmente:
\( OP=OB-OA=2a\left(\dfrac{1}{sin(t)}-sin(t)\right) \)
La en polares queda:
\( r=2a\left(\dfrac{1}{sin(t)}-sin(t)\right) \)
En cartesianas tomando:
\( x=rcos(t) \)
\( y=rsin(y)=2a(1-sin^2(t))=2acos^2(t)=2a\dfrac{1}{1+tan^2(t)}=2a\dfrac{1}{1+(y/x)^2} \)
Operando se llega a la ecuación implícita:
\( y^3+yx^2-2ax^2=0 \)
b) Demostrar que la recta \( T \) es una asíntota de la Cisoide
Por ejemplo pasando a coordenadas proyectivas y homogeneizando la ecuación:
\( y^3+yx^2-2ax^2z=0 \)
Si cortamos con la recta \( y=2az \) queda:
\( 8a^3z^3=0 \)
y por tanto corta en el punto del infinito \( z=0 \), \( y=0 \), \( x=1 \) con mutliplicidad tres (mayor que dos): hay tangencia.
Saludos.
