[Juan Sánchez]

Sea el sistema dinámico $$\begin{cases}x'=P_n(x,y)\\y'=Q_n(x,y)\end{cases}$$
Donde \( P_n \) y \( Q_n \) son polinomios homogeneos de grado \( n \), cómo puedo demostrar que, en el caso de que exista, el único punto crítico aillado del sistema es el origen y es único?

No sé como demostrar la unicidad. He intentado suponer que hay 2 puntos críticos y llegar a alguna contradicción pero no lo consigo.

[martiniano]

Hola.

No sé como demostrar la unicidad. He intentado suponer que hay 2 puntos críticos y llegar a alguna contradicción pero no lo consigo.

Es que no tienes que demostrar que \( (0,0) \) es el único punto crítico, sinó el único aislado.

Si \( (a,b)\neq{(0,0)} \) es un punto crítico, entonces se cumple para todo \( k\in{\mathbb{R}} \):

\( P_n(ka,kb)=k^nP_n(a,b)=0 \)
\( Q_n(ka,kb)=k^nQ_n(a,b)=0 \)

Luego \(  (a,b) \) no está aislado.

[Luis Fuentes]

Hola

 En este hilo se preguntó lo mismo... y algo mas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=108321.0

Saludos.