[Richard R Richard]

Hola, Carlos,

Spoiler

El primer grafico de las dos masas puntuales esta perfecto, pero ya el segundo de cuatro masas está mal.

No, no están mal. Ten presente que DCM ha generado esas figuras con una aplicación para dibujar líneas de campo de cargas eléctricas, y no creo que nadie se haya dedicado a programar aplicaciones terraplanistas todavía.

He dibujado yo mismo las líneas de campo con Mathematica para el caso de cuatro y ocho masas:

 

Como ves, el resultado se parece bastante a los gráficos de DCM. Hay que tener en cuenta que las figuras serán algo diferentes en función de los puntos elegidos como muestra para trazar las líneas y otros parámetros.

Cual sería para ti la razón por la que las líneas de campo que bien las pones en el primer gráfico,  notando que se desvían entre sí, que no se tocan  y salen por medio de las masas , cambias de idea y en el siguiente no lo hacen del mismo modo, en la imagen de 4 masas dejas que las líneas pasen por el centro!!!!!!!? , lo cual es falto de lógica y jamás va a ocurrir, (deben alejarse sin tocarse y pasar al exterior por entre medio de dos masas contiguas), por eso los que siguen del mismo modo están mal

No, eso está bien. Como ves, Mathematica también dibuja las líneas perpendiculares que siguen los ejes (por alguna razón, la vertical la ha interrumpido antes, pero eso es problema del sotware. En realidad hay dos líneas de campo verticales y dos cuatro horizontales (en el interior de la circunferencia que contiene a las masas, más otras tantas en el exterior). Eso no tiene nada de extraño. Una partícula situada sobre el eje horizontal, digamos en \( (0.01, 0) \), se moverá hacia la masa situada en \( (1, 0) \) siguiendo una línea de campo horizontal que "parte" de \( (0,0) \), aunque sin contener a este punto. Igualmente, una partícula situada en \( (0,0.01) \) subirá en línea recta hacia la masa situada en \( (0,1) \).

De hecho, del punto \( (0,0) \) "salen" infinitas líneas de campo, en el sentido de que hay infinitas líneas que son curvas que tienden a \( (0,0) \) si las recorremos "hacia atrás" (en el sentido opuesto al campo), aunque no contienen al \( (0,0) \), donde el campo es nulo.

Más curiosa es la situación en las diagonales (siempre en el caso de cuatro masas). La verdad es que no había prestado mucha atención a los gráficos de DCM (aceptando su palabra de que los había generado una aplicación fiable), pero al verlos con detalle, llama la atención que se ven líneas de campo que se cortan en las diagonales. Puede parecer raro, pero ello tiene la explicación obvia de que en los puntos de corte el campo es nulo. En efecto, he calculado ese punto y es \( (0.386742,0.386742) \). Lo he marcado en mi figura de cuatro masas. En ese punto (y en sus simétricos) el campo gravitatorio se anula, y una partícula situada ahí no se moverá, pero las partículas sobre la diagonal caerán hacia él. De ese modo, hay dos líneas de campo en cada diagonal, una que parte del \( (0,0) \) y llega a ese punto de campo nulo, y otra que viene desde infinito y también llega hasta él. En cambio, las líneas que pasan por puntos cercanos a la diagonal se acercan a ese punto para luego desviarse bruscamente hacia la masa más próxima, como muestra la figura.

El resultado global es que hay un flujo entrante en la circunferencia alrededor de las diagonales y un flujo saliente alrededor de los ejes, con los que el flujo total es nulo, como tiene que ser.

,  con 8 o mas las líneas de campo comienzan a curvarse mas prontamente  y viran hacia el exterior dejando cada vez menos densidad de líneas hacia el centro,

No sé muy bien cómo entender aquí lo de "densidad de líneas". Por cualquier punto del plano pasa una línea de campo, por lo que puedes dibujar todas las líneas que quieras tan próximas como quieras.

llegados a infinitos puntos en la circunferencia , no habrá densidad de líneas es decir ninguna línea de campo en el interior (eso es g=0), pasar de 2d a 3d no requiere mucho esfuerzo mental no hay resultante de líneas de campo en el interior.

No, justamente el problema principal del "argumento" de DCM está ahí, en que está mezclando alocadamente un caso bidimensional y otro tridimensional (aparte de que, como le he dicho, le bastaría calcular la divergencia del campo para ver que es cero). DCM habla de "superficie cerrada", pero en algún momento se ha dado cuenta de que no le encajaba del todo y ahora me fijo en que cuando pregunta por el caso de 32 partículas dice "cilindro", lo cual es una trampa muy gorda, porque un cilindro no es una superficie cerrada.

Si consideramos una esfera de verdad rodeada por un anillo de masas (o un cilindro con sus dos tapas), el dibujo de las líneas de fuerza sobre el plano del cinturón no aporta nada. De hecho, puestos a hacer la trampa, DCM lo habría tenido más fácil considerando una circunferencia de radio menor, donde el campo gravitatorio apunta ciertamente hacia afuera en todos los puntos de la circunferencia, pero eso no prueba nada, porque es sólo el campo en una circunferencia, que tiene medida nula y no aporta nada en sí mismo al flujo total en toda la esfera o cilindro (con tapas).

No me he puesto a hacer cuentas detalladas, pero, así a ojo, por simetría, diría que la suma de los flujos por las tapas del cilindro será no nulo (hacia dentro del cilindro), por lo que el flujo neto por la superficie lateral del cilindro será también no nulo y hacia afuera.

Añado: Pero el flujo por las tapas tiende a 0 cuando la altura del cilindro tiende a infinito, con lo que incluso en el caso de una superficie cilíndrica de altura infinita, el flujo a través de ella resulta ser nulo.

Globalmente, el flujo en la superficie es entrante lejos del cinturón de masas y sale en tantos chorros como partículas cerca de las masas, y el balance es nulo, como no podía ser de otro modo.

Pero nada de eso se puede evaluar a partir de las figuras de DCM, que sólo muestran una sección plana que es sí misma no aporta nada a la hora de estimar el flujo por una superficie cerrada. Una situación muy distinta se daría si consideras masas dispuestas más o menos uniformemente sobre una esfera, pero el dibujo de DCM no tiene nada que ver con ese caso.

[cerrar]

Comprendo la crítica, no es de mi preferencia, pero en ciertos matices, no sé si decir que no estoy de acuerdo o bien que lo interpreto de otro modo, te comentaré lo que yo entiendo y dime por favor en donde puedo equivocarme. Una línea de campo tiene siempre tangencialmente la dirección del vector campo gravitatorio (dejemos de lado lo teórico aún del bosón o gravitón) pero entendida la gravedad como campo vectorial, la dirección de la fuerza de gravedad tiene entonces en un punto dirección tangencial a la línea de campo.
Entiendo que en la línea  imaginaria que une las masas, las líneas de campo tangenciales siguen existiendo, en direccion vertical y horizontal , también decirte que  debería haberlas dibujado  , pero y aquí comienza mi contrapunto,  la fuerza de gravedad de la masa opuesta, masa allá del centro u origen, hace que la intensidad del campo en el punto disminuya o reduzca su módulo también cerca de la masa de análisis, y por simetría podemos decir que es cero en el origen. Lo que entiendo (o al menos eso es lo que siempre he creído que significa esa representación) es que la densidad de líneas de campo que debemos dibujar sería proporcional al valor de la gravedad en esa zona.
Basándonos en el dibujo de dos masas en arreglo de línea vertical, ninguna línea de campo podría atravesar la línea horizontal media que la separa, si podemos decir que las líneas de campo se irán aproximando asintóticamente , y dada una perfecta simetría la línea vertical tendrá un vector vertical que disminuye de módulo hacia el origen o línea media. En el de 4 masas ubicadas como un cuadrado de lados horizontales y verticales, ninguna línea de campo atravesará las rectas $$y=x$$ e $$y=-x$$

Al poner más carga o masa al lado opuesto, más rápido tenderá a cero la gravedad cerca del origen. En el de 8 ya tenemos 8 ejes de simetría
$$y=0$$
$$y=1/2x$$
$$y=x$$
$$y=2x$$
$$x=0$$
$$y=-1/2x$$
$$y=-x$$
$$y=-2x$$
Pero esto hace que la densidad de línea de campo en las proximidades del origen se reduzca más, o bien se puede interpretar que el cero
  gravitatorio(con cierta tolerancia $$\pm 0.0001$$ por poner un ejemplo) se aproxima más y más hacia las masas que crean el campo por el lado interno de la
circunferencia en la que están inscritas.
Más masas ponemos más líneas de simetría, más cerca de las masas estará la tolerancia del valor medido cero. Te doy la derecha que
aún existe un vector campo recto que une siempre dos masas opuestas y simétricas, pero es justamente el de menor módulo en la representación en la cercanía de cada masa y por eso es el menos representativo de lo que sucede como distribución de las líneas de campo. Esto llevado al límite de la continuidad de masas es que tanto el sumatorio vectorial (ahora una integral) tanto en la dirección x e y son cero en cualquier punto interior de la circunferencia.
En dirección horizontal la simetría se entiende que existe la misma distribución de masa a izquierda que a derecha.
Pero en la vertical, tenemos más cerca las próximas y más alejadas las opuestas, y allí vienen todos los mambos o cacaos mentales de pensar que hay gravedad hacia la superficie interna. Pero esto es fácilmente rebatible o desmontable con una simple rotación a 90 del problema. Un análisis de lo por encima o bajo de una línea horizontal debe ser idénticamente nulo, luego también lo es en una rotación arbitraria, y la única forma en que esto es posible es que el campo interior sea cero en todas direcciones dentro de la circunferencia, reitero llevar el mismo análisis a 3d no requiere ningún esfuerzo mental, el campo en el interior de una esfera hueca es nulo.

Saludos

[Carlos Ivorra]

Comprendo la crítica, no es de mi preferencia, muy a mi pesar en ciertos matices, no sé si decir que no estoy de acuerdo o bien que lo interpreto de otro modo, te comentaré lo que yo entiendo y dime por favor en donde puedo equivocarme.

Pues el error principal, sin entrar en detalles, es que estás "demostrando" esto:

y la única forma en que esto es posible es que el campo interior sea cero en todas direcciones dentro de la circunferencia, reitero llevar el mismo análisis a 3d no requiere ningún esfuerzo mental, el campo en el interior de una esfera hueca es nulo.

Y sucede que eso es falso: el campo gravitatorio generado por una circunferencia con una densidad lineal uniforme no es nulo en el interior de la circunferencia. Te adjunto un artículo en el que se estudia ese campo.

Mira en particular la figura 4, en la que la curva azul es el potencial gravitatorio en el plano del anillo en función de la distancia a su centro. Como ves, no es constante ni en el interior ni en el exterior. Tiene una singularidad en el propio anillo debido a que lo suponemos sin grosor. Si fuera un toro de radio menor muy pequeño, la singularidad desaparecería, igual que la singularidad de una masa puntual desaparece cuando la consideramos como una esfera.

[JCB]

... / ...
Y sucede que eso es falso: el campo gravitatorio generado por una circunferencia con una densidad lineal uniforme no es nulo en el interior de la circunferencia. Te adjunto un artículo en el que se estudia ese campo.
... / ...

Hola a tod@s.

Creo que hay una confusión: el campo gravitatorio en el centro de un anillo es \( 0 \). Lo que no es \( 0 \), es el potencial gravitatorio en el centro de ese mismo anillo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Carlos Ivorra]

... / ...
Y sucede que eso es falso: el campo gravitatorio generado por una circunferencia con una densidad lineal uniforme no es nulo en el interior de la circunferencia. Te adjunto un artículo en el que se estudia ese campo.
... / ...

Creo que hay una confusión: el campo gravitatorio en el centro de un anillo es \( 0 \). Lo que no es \( 0 \), es el potencial gravitatorio en el centro de ese mismo anillo

No, no hay ninguna confusión. No estoy hablando del centro del anillo, donde el campo es nulo, sin duda. Lo que digo es que en los puntos del círculo limitado por el anillo, el campo gravitatorio no es nulo. En el centro sí, pero en los demás puntos del círculo no. La figura 4 del artículo que he adjuntado antes muestra en azul la gráfica del potencial gravitatorio y el campo es el opuesto de su gradiente, que es, pues, un campo radial que apunta hacia el anillo. Si dejas un cuerpo en reposo dentro del anillo, pero no en su centro, no se quedará parado, sino que caerá en línea recta hacia el punto del anillo más cercano.

[JCB]

Hola a tod@s.

Pues gracias por la aclaración, Carlos Ivorra. En todo caso, sí que había una confusión, la mía: creía que te referías al campo gravitatorio en el centro de un anillo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Comprendo la crítica, no es de mi preferencia, muy a mi pesar en ciertos matices, no sé si decir que no estoy de acuerdo o bien que lo interpreto de otro modo, te comentaré lo que yo entiendo y dime por favor en donde puedo equivocarme.

Pues el error principal, sin entrar en detalles, es que estás "demostrando" esto:

y la única forma en que esto es posible es que el campo interior sea cero en todas direcciones dentro de la circunferencia, reitero llevar el mismo análisis a 3d no requiere ningún esfuerzo mental, el campo en el interior de una esfera hueca es nulo.

Y sucede que eso es falso: el campo gravitatorio generado por una circunferencia con una densidad lineal uniforme no es nulo en el interior de la circunferencia. Te adjunto un artículo en el que se estudia ese campo.

Mira en particular la figura 4, en la que la curva azul es el potencial gravitatorio en el plano del anillo en función de la distancia a su centro. Como ves, no es constante ni en el interior ni en el exterior. Tiene una singularidad en el propio anillo debido a que lo suponemos sin grosor. Si fuera un toro de radio menor muy pequeño, la singularidad desaparecería, igual que la singularidad de una masa puntual desaparece cuando la consideramos como una esfera.

... / ...
Y sucede que eso es falso: el campo gravitatorio generado por una circunferencia con una densidad lineal uniforme no es nulo en el interior de la circunferencia. Te adjunto un artículo en el que se estudia ese campo.
... / ...

Creo que hay una confusión: el campo gravitatorio en el centro de un anillo es \( 0 \). Lo que no es \( 0 \), es el potencial gravitatorio en el centro de ese mismo anillo

No, no hay ninguna confusión. No estoy hablando del centro del anillo, donde el campo es nulo, sin duda. Lo que digo es que en los puntos del círculo limitado por el anillo, el campo gravitatorio no es nulo. En el centro sí, pero en los demás puntos del círculo no. La figura 4 del artículo que he adjuntado antes muestra en azul la gráfica del potencial gravitatorio y el campo es el opuesto de su gradiente, que es, pues, un campo radial que apunta hacia el anillo. Si dejas un cuerpo en reposo dentro del anillo, pero no en su centro, no se quedará parado, sino que caerá en línea recta hacia el punto del anillo más cercano.

Mmmhh, un tanto intuitivamente extraño para mi pero intentaré defender posición,  de momento es como que veo que le das crédito a DCM diciendo que la gravedad al interior de una esfera no es nula si $$r\neq 0$$ y $$r<R$$ para una distribución de masa esférica, leeré con detenimiento el artículo, a vuelo de pájaro, ya que mi ingles  aparte de pésimo es falto de practica, básicamente veo que lo que intentan es determinar trayectorias estables en una distribución de masa en anillo,  calculan el potencial gravitatorio en un punto P externo y no sobre el plano de la circunferencia, nuestra  vista 2d hace que \( z=0 \) y acotamos \( r_{\perp}<R \)


Bajo esas condiciones la aceleracion de la gravedad en un punto ubicado a radio $$r < R$$ y analizando sobre el plano en direcciones paralelas y perpendiculares al segmento que une el centro de la circunferencia y el punto P  podemos descomponer la aceleración en esas dos direcciones

Supongamos la siguiente relación que en el paper parece obvia pero a DCM puede que le cause ruido,  la densidad volumétrica del material del anillo es \( \rho' \)  en el paper hacer esta suposición $$\rho'=\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{SL}=\dfrac{\rho}{S}$$  digamos $$\rho$$ es una densidad lineal de masa $$\rho=\dfrac{M}{2\pi R}$$

dicho de otro modo

$$M=\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\rho R \ d \phi=2\pi R\rho$$

que no es otra cosa que confirmar lo dicho previamente.


Si quiero calcular la gravedad en el punto P

$$g_{\perp}=G\rho R \displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\dfrac{R\sin \phi d \phi}{((R\cos\phi-r)^2+(R\sin\phi)^2)^{\frac32}}= \boxed 0$$

esta integral  da cero siempre  con independencia del valor de $$r $$

Pero la que realmente importa es esta

$$g_{\parallel}=g(r)=G\rho R \displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\dfrac{(R\cos \phi-r) d \phi}{((R\cos\phi-r)^2+(R\sin\phi)^2)^{\frac32}}=$$

o bien por simetría

$$g_{\parallel}=g(r)=2G\rho R \displaystyle \int\limits_0^{\pi}\dfrac{(R\cos \phi-r) d \phi}{((R\cos\phi-r)^2+(R\sin\phi)^2)^{\frac32}}=$$


Esta integral no es cero???

Bueno todavia no la puse en Wolfram alpha a calcular para sorprenderme o no del resultado junto con ustedes , supongo Carlos que tu ya prevees que no es cero... y por eso posteaste el artículo.


PD  suponiendo al anillo como un cilindro de longitud infinita y radio R, aplicando Gauss con un cilindro infinito interior de eje paralelo ,deberías obtener gravedad cero ...

Edito: Si el potencial en el centro es nulo, y en el centro no hay distribución de masa no hay forma que el potencial varie al cambiar el radio en el interior. Si el potencial no cambia su gradiente tampoco, y si el potencial es constante su gradiente es cero... o me equivoco.




Saludos

[Carlos Ivorra]

Mmmhh, un tanto intuitivamente extraño para mi pero intentaré defender posición,  de momento es como que veo que le das crédito a DCM diciendo que la gravedad al interior de una esfera no es nula si $$r\neq 0$$ y $$r<R$$ para una distribución de masa esférica,

De eso nada. No estoy tan borracho como para darle la razón a DCM en algo. Lo que pasa es que una esfera no es lo mismo que un anillo. Si tienes una esfera hueca y consideras una esfera interior concéntrica, el campo gravitatorio sobre ella tiene que ser radial, luego la densidad de flujo tiene que ser constante, pero el flujo es nulo, luego el campo es nulo. No tiene más misterio.

Pero eso no vale para un anillo. Si tomas una esfera interior concéntrica, el campo gravitatorio no tiene por qué ser radial (no lo es) y, aunque el flujo será nulo igualmente, no puedes deducir de ahí que el campo es nulo. Entrará flujo por los polos y saldrá por el ecuador.

leeré con detenimiento el artículo, a vuelo de pájaro, ya que mi ingles  aparte de pésimo es falto de practica, básicamente veo que lo que intentan es determinar trayectorias estables en una distribución de masa en anillo,  calculan el potencial gravitatorio en un punto P externo y no sobre el plano de la circunferencia, nuestra  vista 2d hace que \( z=0 \) y acotamos \( r_{\perp}<R \)

No.  Se calcula el potencial en cualquier punto. En el dibujo el punto es externo y no sobre el plano, pero eso es por dibujar algo. El cálculo vale para todo punto P, esté donde esté. No es complicado (aunque hay alguna errata en algunos pasos intermedios). El punto de partida es la fórmula general para el potencial:

\( \displaystyle V = -G \int_\Omega\frac\rho{\|r-\xi\|}\,dl(\xi) \)

donde \( dl \) es el elemento de longitud del anillo. Es el equivalente a la fórmula que puedes ver en la wikipedia, donde dice:

\( \displaystyle V(x) = -\int_{\mathbb R^3}\frac{G}{|x-r|}dm(r), \)

sólo que en vez de \( \mathbb R^3 \) ponemos el anillo y el elemento de volumen \( dm \) se sustituye por el elemento de longitud \( dl(\xi) \). A partir de aquí, sólo hay que hacer un cálculo rutinario:

La posición del punto es \( r = (x, 0, z) \), pues por simetría podemos suponer \( y = 0 \), mientras que el anillo lo recorremos con \( \xi = (R\cos\phi, R\sen \phi, 0) \). Entonces:

\( \|r-\xi\| = \sqrt{(R\cos\phi-x)^2+R^2\sen^2\phi + z^2}= \sqrt{R^2\cos^2\phi + x^2-2Rx\cos \phi+R^2\sen^2\phi +z^2} \)

\(  = \sqrt{R^2+z^2+x^2-2R x\cos \phi} = \sqrt{(R+x)^2+z^2-2Rx(1+\cos\phi))} = \chi\sqrt{1-\frac{4R x}{\chi^2}(1+\cos\phi)}=\chi\sqrt{1-k^2\frac{1+\cos\phi}2} \),

donde llamamos \( \chi^2 = (x+R)^2+z^2 \) y \( k^2 = 4Rx/\chi^2 \). Por lo tanto, el potencial es

\( \displaystyle V = -G\int_0^{2\pi}\frac{\rho R\,d\phi}{\chi\sqrt{1-k^2\cos^2(\phi/2)}}= -\frac{GM}{2\pi \chi}\int_0^{2\pi}\frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\cos^2(\phi/2)}}. \)

Cambiando \( \phi' = \phi/2 \) queda

\( \displaystyle V =-\frac{GM}{\pi \chi}\int_0^\pi\frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\cos^2\phi}}. \)

Finalmente usamos que el integrando es simétrico respecto a \( \pi \), con lo que la integral de \( 0 \) a \( \pi \) vale lo mismo que de \( \pi \) a \( 2\pi \), y el resultado es:

\( \displaystyle V =-\frac{2GM}{\pi \chi}\int_0^{\pi/2}\frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\cos^2\phi}}= -\frac{2GM}{\pi \chi}K(k), \)

donde

\( \displaystyle K(k) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\cos^2\phi}} \)

es la integral elíptica completa de primera clase.

Ésta es la fórmula que deducen en el artículo. Si quieres aplicarla al caso de puntos situados dentro del anillo, eso significa hacer \( z=0 \), con lo que \( \chi = x+R \) y \( k^2 = 4Rx/(x+R)^2 \).

Aquí he dibujado algunos potenciales para \( z = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 1 \) a partir de esta expresión.

Edito: Si el potencial en el centro es nulo, y en el centro no hay distribución de masa no hay forma que el potencial varie al cambiar el radio en el interior. Si el potencial no cambia su gradiente tampoco, y si es el potencial constante es su gradiente es cero... o me equivoco.

El potencial en el centro no es nulo (es negativo), pero el potencial toma un valor máximo en el centro del anillo (respecto de \( x, y \)), por lo que sus derivadas parciales respecto de \( x, y \) son nulas, y toma un valor mínimo respecto de \( z \), por lo que su derivada respecto de \( z \) también es nula, y así el campo (el opuesto al gradiente) es nulo en el centro.

Lo que no sé es por qué dices que el potencial no puede cambiar. El campo gravitatorio en el círculo limitado por el anillo es radial. Una masa situada en él (salvo en su centro) es atraída al punto más cercano del anillo. Por eso el potencial tiene un máximo en el centro y desde allí decrece, así el gradiente del potencial apunta siempre hacia el centro y el campo en dirección opuesta.

PD  suponiendo al anillo como un cilindro de longitud infinita y radio R, aplicando Gauss con un cilindro infinito interior de eje paralelo ,deberías obtener gravedad cero ...

¿Por qué? El flujo es nulo, pero la densidad de flujo no es constante. Es invariante por rotaciones del cilindro, pero depende de la altura. Si miras las gráficas del potencial, verás que para alturas pequeñas el potencial es decreciente a la izquierda de \( R \), lo que significa que el campo gravitatorio apunta hacia afuera del cilindro, es decir, que el flujo es positivo, pero para alturas mayores el potencial es creciente, luego el flujo es negativo.

Se me ha hecho un poco tarde para mirar tus integrales. Si sigues viendo gato encerrado, las miraré mañana, o cuando pueda.

[Richard R Richard]

Lo siento , en post anterior ,me he olvidado de colgar un gráfico sobre cómo relaciono las variables para postear mi integral, si acaso vale la pena revisarlas, siento que si no soy claro, otros podrían aprovechar, para sacar provecho y creer que tiene un hilo de esperanza de tener razón.



Como dije releeré con mas calma, seguramente programaré algo para ver si llevo o no razón, el 99% de las veces no la tengo, luego comentaré.


Si este carácter de autoreflexión lo tuvieran todos, el hilo hubiese tenido quizá una decena de respuestas nada más.

Saludos

[Carlos Ivorra]

$$g_{\parallel}=g(r)=2G\rho R \displaystyle \int\limits_0^{\pi}\dfrac{(R\cos \phi-r) d \phi}{((R\cos\phi-r)^2+(R\sin\phi)^2)^{\frac32}}=$$

Esta integral no es cero???

He aquí la gráfica de esa integral, para R = 1 y sin la constante \( 2 G \rho \):

Como cabía esperar, la intensidad del campo es cero en el centro del anillo y tiende a infinito al acercarnos a él.

[Richard R Richard]

Hola, me levante  hoy domingo con ganas de programar

Spoiler

Calculé la misma integral en intervalos de 1000 divisiones para el radio y 1000 para los arcos de circunferencia entre 0 y pi , masa unitaria , radio exterior unitario y constante de gravitación unitaria.


Este es el resultado


el código Python

Código: [Seleccionar]


from math import acos, sin, cos, sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
Pi = acos(-1) # Pi
R=1
M=1
G=1
div=1000
radio=[]
Fuerza=[]
for a in range(0,div):
   r=R*a
   F=0
   dM=M
   for b in range(0,div):
      t=Pi*b
      F=F+2*dM*G*(R*cos(t)-r)/((R*cos(t)-r)**2+(R*sin(t))**2)**1.5
   Fuerza.append(F)
   radio.append(r)
x = radio
y = Fuerza
fig, ax = plt.subplots(1,1,figsize=(10,6),dpi=100)
ax.plot(x, y,color = 'tab:blue', marker = '',linestyle = 'solid', label = 'aceleracion g')
ax.set_title('aceleracion en anillo', loc = "center", fontdict = {'fontsize':14, 'fontweight':'bold', 'color':'tab:blue'})
ax.set_xlabel("radio") # Añade un título con el contenido de la cadena titulo al eje x de ax. Se puede personalizar la alineación y la fuente con los mismos parámetros que para el título principal.
ax.set_ylabel("aceleracion") # Añade un título con el contenido de la cadena titulo al eje y de ax. Se puede personalizar la alineación y la fuente con los mismos parámetros que para el título principal.
ax.legend(loc = 'upper right') # Dibuja un leyenda en los ejes ax con los nombres indicados en la lista leyendas.
ax.grid(axis='both', color='k', linestyle='solid') # Dibuja una rejilla . El parámetro axis indica los ejes puede ser
''' 'x' (eje x), 'y' (eje y) o 'both' (ambos)'''
plt.show()
plt.savefig("DCMgder.png")




 

[cerrar]

Bien reconozco que me sorprende que no es cero en todo el intervalo, pero también he comprendido que la fuerza debe ir al infinito a llegar al radio R dado que dividimos por el cuadrado de la distancia de separación $$||\vec d||=||\vec R-\vec r||$$ y esto tenderá a infinito inevitablemente.


A mi me ha salido mas plana que a ti, creo que es un tema de escala en los ejes.


Una reflexión, comentario sobre el tema, recuerdo que de estudiante  hice el cálculo sobre si una estructuctura anular  que rodeaba la Tierra girando a determinada velocidad podría ser estable (algo como los anillos de Saturno) , resultó que no, y ato cabos sueltos, pensando que son problemas similares y esté es más inestable aún por que el anillo no gira, no hay conservación de momento angular.
Lo "lógico" es que cualquier masa central ante el más mínimo desequilibrio se acerque hacia el anillo, a la vez el anillo a la masa y disminuya el potencial gravitatorio del conjunto, masa+anillo, conservándose la posición el centro de masas del conjunto.  Ahora lo pienso bien, ya no sé que debatía antes,  gracias por ponerme en carril.


Solo que ahora no veo fundamento sólido para oponerme a los terrahuequistas que dicen se puede habitar el interior del planeta, tranquilo Richard, ya se me pasará.


Sigo pensando que el principio de superposición funciona, que si a una esfera le quito una esfera de menor radio interior concéntrica dejando el hueco, en el interior la gravedad es cero, en todo el volumen y a la vez que de ese modo es fácil ver que a densidad constante , la gravedad crece linealmente con el radio desde el centro, cosas de bachillerato, no lo pudo concebir de otra manera.



Saludos