El teorema y el texto que he citado los entiendo bien, lo que no acabo de comprender es cómo deduce a partir de las ecuaciones del sistema, las dos ecuaciones de abajo (lo que he subrayado en el texto citado).
Gracias de antemano.
Si te fijas un poco se ve de inmediato sin hacer cuentas. x-3 y x-2 son enteros consecutivos, luego uno es par y otro es impar; sin embargo, los dos módulos son pares, por tanto, alguna de las divisiones \( \dfrac{x-3}{6} \) o \( \dfrac{x-2}{4} \) no pueden dar un entero.
En general, lo puedes ver como una suma de dos o más enteros \( \dfrac{x-r_{1}}{m_{1}}+\dfrac{x-r_{2}}{m_{2}}+... \) la cual, como tal, va a dar otro entero. Ese entero resultante será múltiplo del mcm de los módulos (como en cualquier suma de fracciones en la aritmética elemental) y ésa es la esencia del teorema chino. Cuando los módulos son coprimos, el mcm es directamente el producto de los módulos y el MCD es 1, por lo que \( MCD(m_{1}m_{2})\cdot mcm(m_{1}m_{2})=m_{1}m_{2}\Rightarrow mcm(m_{1}m_{2})=1\cdot m_{1}m_{2} \), lo que quiere decir que, cuando los módulos son coprimos, el producto de los módulos
divide es común respecto de cualquier \( x-r_{i} \), donde ese producto de los módulos es el “módulo general” del sistema, podríamos decir. Por eso, cuando ocurre esto, tiene solución siempre. Y en otros casos dependerá.
O sea, mira\( \dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{q}+\dfrac{c}{r}=k \) (“a=x- resto”, etc.).
Entonces podemos operar asi
\( \dfrac{qr}{qr}\cdot\dfrac{a}{p}+\dfrac{pr}{pr}\cdot\dfrac{b}{q}+\dfrac{pq}{pq}\cdot\dfrac{c}{r}=k\rightarrow \)
\( qr\cdot\dfrac{a}{pqr}+pr\cdot\dfrac{b}{pqr}+pq\cdot\dfrac{c}{pqr}=k\rightarrow \)
\( qr\cdot a+pr\cdot b+pq\cdot c=(pqr)k \)
Donde “a” es múltiplo de “p” (por la propia definición de la congruencia) y así con los demás. Es decir, “pqr” tiene que ser divisor común de cada sumando de esa suma, para cada sumando, para que “k” sea entero.
Saludos.
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entiendo lo que dices pero no se que quieres responder, capaz la parte C)