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Estudia convergencia \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}\)
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Tema: Estudia convergencia \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}\)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
25 Agosto, 2020, 01:49 pm
Leído 345 veces
Buscón
$$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Estudia convergencia \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}\)
Estudia la convergencia de la integral impropia y si es convergente calcúlala.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx} \)
En línea
25 Agosto, 2020, 02:02 pm
Respuesta #1
Buscón
$$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Re: Estudia convergencia \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}\)
Es inmediata, así que directamente calculándola
\( \begin{align*}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}&=\lim_{t \to{+}\infty}{\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}}-\lim_{t \to{-}\infty}{\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}}=\lim_{t \to{+}\infty}\left({\arctg(x)}\bigg|_0^t\right)-\lim_{t \to{-}\infty}\left({\arctg(x)}\bigg|_0^t\right)=\\\\
&=\lim_{t \to{+}\infty}{\left(\arctg(t)\right)}-\lim_{t \to{-}\infty}{\left(\arctg(t)\right)}=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi\end{align*} \)
Saludos.
EDITADO.
¿Porqué no es cero si la función es impar?.
CORREGIDO.
Confjundiendo el integrando con la integral.
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