[ulavenezla]

Sea \( T:\mathbb{R}^3\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) definida por \( T\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{x - y + 2z}\\{2x + y}\\{-x - 2y + 2z}\end{bmatrix} \) encuentre una base para ker(T) e Im(T)


Sé que por definición ker(T) es un subconjunto de \( \mathbb{R}^3 \), tal que\( ker(T)=\left\{{\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}\subset\mathbb{R}^3}: T\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}=0\right\} \)


Creo que tendría que resolver el siguiente sistema \( \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{-1}&{-2}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix} \)

para ello aplicamos Gauss- Jordan a \( \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{-1}&{-2}&{2}\end{bmatrix} \) si no tengo errores llego a \( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{2/3}\\{0}&{1}&{-4/3}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 El método es correcto. No he revisado las cuentas.

Saludos.

[ulavenezla]

Hola si el problema que tengo es cómo  hallar esas bases, por favor me explican gracias 

[Luis Fuentes]

Hola

 De acuerdo con la última matriz obtenida el núcleo tiene por ecuaciones cartesianas:

 \( x+\dfrac{2}{3}z=0 \)
 \( y+\dfrac{-4}{3}z=0 \)

 de ahí ponemos "todo" en función de \( z \) y pasamos a las paramétricas:

\(  x=-\dfrac{2}{3}a,\quad y=\dfrac{4}{3}a,\quad z=a \)

 Por tanto el núcleo está generado por:

\(  (-\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3},1) \)

 Por la fórmula de las dimensiones la imagen tiene dimensión:

\(  dim(Im)=3-dim(ker)=2 \)

 Está generada por dos columnas independientes de la matriz asociada:

\( \begin{pmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{-1}&{-2}&{2}\end{pmatrix} \)

Saludos.

[ulavenezla]

Para el espacio columna de la imagen no sería más sencillo ver los pivotes de la escalonada reducida

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{2/3}\\{0}&{1}&{-4/3}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)


es decir  la primera y la segunda columna de esta matriz \( \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{-1}&{-2}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix} \)

A ver si no me estoy confundiendo

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que dices es exactamente a lo que me refería con esta frase:

Está generada por dos columnas independientes de la matriz asociada:

Saludos.