Si \( \alpha \leq 1 \) con \( \alpha \) entero, entonces la serie es

\( \begin{displaymath}\sum_{i = 1}^{n} n^{\frac{1}{n^{\alpha}}} \end{displaymath} \)

\( \begin{displaymath}\sum_{i = 1}^{n} \sqrt[n^{\alpha}]{n} \end{displaymath} \)

converge ¿o no?

Para la demostración puedes usar el hecho de que si \( x \) es un racional positivo se puede expresar como la suma de dos racionales positivos, digamos \( y \) y \( k \). Entonces

\( x = y+k \) \( x \geq y \), \( x \geq k \)

y además puedes usar la conocida desigualdad
\( \begin{equation*}a \geq \frac{a}{r}\end{equation*} \)
con \( r \geq 1 \)

Ojalá esto te sirva

PD: No incluí esta respuesta en mi mensaje anterior porque la escribí después, y si lo hubiera editado sería menos notorio que hay una nueva respuesta. 

La desigualdad como está no es cierta a menos que \( a \) sea natural o que \( a \geq 1 \) y que \( x \) y \( y \) sean racionales no negativos.

Tengo curiosidad por el resultado de Damian

¿Qué pasaría?

La cuestion aquí es encontrar la tasa de variación del área.

Yo lo interpreto de la siguiente manera:
Como el objeto circular va aumentando de tamaño, eso significa que el radio va aumentando de tamaño conforme pasa el tiempo. Es decir, el radio está en función del tiempo.
Pero el área del círculo está en función del radio, así, tendríamos una composición de funciones:
Sea \( r(t) \) el radio en un determinado momento \( t \).
Sea \( f(r) \) el área del círculo con radio \( r \).

Estas cantidades se relacionan con la conocida fórmula (función para este caso)
\( f(x) = \pi [r(t)]^{2} \)
y la taza de variación de la función con respecto al tiempo es
\( f'(x) = 2\pi r(t) r'(t) \)
Ahora, sustituyendo los datos. En un dado instante \( t_1 \),
\( r(t_1) = 6 \)
\( r'(t_1) = 4 \)
De aquí podemos deducir que \( f'(t_1) = 2\pi \cdot 6 \cdot 4 = 48\pi \)

En principio, para deducir la variacíon del àrea cuando el radio es 5, se debería proceder de manera análoga, sin embargo está el inconveniente de que no tenemos la tasa de variación del radio en ese momento.

Por el momento llegué hasta ahí. Espero que te ayude un poco.

Tambien podrías pensar que ambos lados de la desigualdad los puedes multiplicar por \( -\frac{1}{2} \). Se invierte la desigualdad y se va el dos.

Es en escencia los mismo que ya te dijeron.

Tienes razón. He complicado las cosas más de lo debido. A partir de esa definición puedes ver la solución más fácilmente.

Muchas gracias, no había notado ese detalle tan simple.

Hola a todos, tengo una duda y necesito su ayuda.

Resulta que viendo la demostración del teorema de convolución (transformada de Laplace), me encontré con algo que no entiendo, o mejor dicho, cuya justificación no tengo clara.

\( \nonumber \begin{equation}
(\int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} f(\tau)d\tau)(\int_{0}^{\infty} e^{-s\beta} g(\beta) d\beta) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-s(\tau + \beta)} f(\tau) g(\beta) d\tau d\beta
\end{equation}
 \)

Mi duda es: ¿Cómo pasamos de la multiplicación de integrales a una integral doble?, ¿bajo qué condiciones puedo hacer eso?

Si me pudieran explicar, de preferencia para un caso general, si hay algún teorema  o propiedad especial que lo explique se los agradeceré infinitamente.

Un Saludo.

Ya lo entendí. Pero tu forma de modelar el problema solo revela que la emperatura del café del rey al pasar tres minutos y mezclarlo, es menor que la temperatura del café de la reina cuando hizo la mezcla. Porque indudablemente es cierto que \( T'_{cafe}<T_{cafe} \) ya que éste ultimo aún no se ha enfriado. Es decir que

\( \begin{equation}\frac{T'_{cafe}+T_{crema}}{2} < \frac{T_{cafe}+T_{crema}}{2}\end{equation}  \).

Ahora, sea \( \begin{equation}T_f = \frac{T_{cafe}+T_{crema}}{2}\end{equation} \)

Entonces lo que se debe mostrar es que

\( \begin{equation}\frac{T'_{cafe}+T_{crema}}{2} < T'_f\end{equation} \)

para t = 3. Aunque supongo que se puede generalizar.

Aclarando que \( T'_f = \frac{dT_f}{dt} \) con \( T_f \) como se definó.

Asi que lo unico que se me ocurre es usar la solución de la ecuación de Newton y tratar de sacar una conclusión de ahí