[SimónH]

Hola buenas, estaba intentando demostrar que:

\(  \textrm{Si } A,B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \textrm{ con n impar  y }A^2 +B^2 = O,  \textrm{entonces det}(AB-BA)=0  \)
Lo he intentando de mil formas : utilizando complejos, utilizando que n es impar, buscando en varios sitios... y no hay manera.

Os agradecería mucho vuestra ayuda, gracias.

[ani_pascual]

Hola buenas, estaba intentando demostrar que:

\(  \textrm{Si } A,B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \textrm{ con n impar  y }A^2 +B^2 = O,  \textrm{entonces det}(AB-BA)=0  \)
Lo he intentando de mil formas : utilizando complejos, utilizando que n es impar, buscando en varios sitios... y no hay manera.

Os agradecería mucho vuestra ayuda, gracias.

Hola:
Si no me he equivocado...

Spoiler

\( \left\{\begin{array}{l}(A+B)^2=A^2+B^2+AB+BA=AB+BA\\(A-B)^2=A^2+B^2-(AB+BA)=-(AB+BA)\end{array}\right.\Longrightarrow (A+B)^2=-(A-B)^2\Longrightarrow |A+B|^2=|(A+B)^2|=|-(A-B)^2|=(-1)^n|(A-B)^2|=\\-|A-B|^2\Longrightarrow |A+B|=|A-B|=0\Longrightarrow 0=|A-B|\cdot |A+B|=|(A-B)(A+B)|=|A^2\textcolor{red}{+}B^2+AB-BA|=|AB-BA| \)

[cerrar]

He visto un error de signo, lo cual invalida la prueba. Está marcado en rojo
Saludos

[SimónH]

Muchísimas gracias, de verdad. 

[Masacroso]

Lo que está en el siguiente spoiler tiene un error, como muy bien apunta geómetracat más abajo.

ESTÁ MAL

Una forma: si \( A \) y \( B \) son matrices de coeficientes reales y \( n \) es impar entonces necesariamente tienen cada una un valor propio real (ya que sus polinomios característicos son polinomios de coeficientes reales y grado impar). Por otra parte, si triangularizamos \( A \) o \( B \) (aunque para ello tengamos que recurrir a matrices de coeficientes complejos) encontramos que los valores propios de \( A^2 \) o \( B^2 \) son los cuadrados de los valores propios (quizá complejos) de \( A \) y \( B \).

De ahí se sigue que si \( A^2v=\lambda^2 v \), para algún \( \lambda \in \mathbb{R} \), entonces debe darse el caso de que \( B^2v=-\lambda ^2 v \) (ya que \( A^2=-B^2 \) es una de las premisas del ejercicio), y por tanto \( i|\lambda | \) o bien \( -i|\lambda | \) es valor propio de \( B \). Sin pérdida de generalidad podemos asumir que \( i|\lambda | \) es valor propio de \( B \) (como matriz compleja), de donde se sigue que \( (AB-BA)v=ABv-BAv=i|\lambda |\lambda v-i\lambda |\lambda |v=0 \), y por consiguiente \( \det(AB-BA)=0 \).

AÑADIDO: no parece relevante el hecho de que las matrices sean reales, o que \( n \) sea impar, un argumento casi idéntico al de arriba se puede hacer sin tener esto en cuenta. Eso puede significar dos cosas: que haya una demostración mucho más sencilla y directa para el caso en que las matrices sean reales y \( n \) impar, o bien que mi demostración está mal en algún punto.

CORRECCIÓN: ya sabía que algo se me estaba pasando por alto, y es que si \( Bv=i|\lambda |v \), al ser \( v \) un vector de coordenadas reales distinto de cero entonces necesariamente \( i|\lambda |\in \mathbb{R} \), ya que \( Bv \) es un vector de coordenadas reales, por tanto \( \lambda =0 \). En resumen: si \( A^2=-B^2 \), siendo tanto \( A \) como \( B \) matrices cuadradas de coeficientes reales de misma dimensión impar \( n \), entonces existe \( v\in \mathbb{R}^n\setminus \{0\} \) tal que \( Av=Bv=0 \).

[cerrar]

[geómetracat]

De ahí se sigue que si \( A^2v=\lambda^2 v \), para algún \( \lambda \in \mathbb{R} \), entonces debe darse el caso de que \( B^2v=-\lambda ^2 v \) (ya que \( A^2=-B^2 \) es una de las premisas del ejercicio), y por tanto \( i|\lambda | \) o bien \( -i|\lambda | \) es valor propio de \( B \). Sin pérdida de generalidad podemos asumir que \( i|\lambda | \) es valor propio de \( B \) (como matriz compleja), de donde se sigue que \( (AB-BA)v=ABv-BAv=i|\lambda |\lambda v-i\lambda |\lambda |v=0 \), y por consiguiente \( \det(AB-BA)=0 \).

Esto creo que no está bien, porque parece que estás usando que si \( v \) es vector propio de \( B^2 \) también es vector propio de \( B \), y eso no es cierto en general. Por ejemplo, si \( B=J:= \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix} \), tienes que \( B^2=-I \) (luego todo vector no nulo es vector propio de valor propio \( -1 \)), pero sin embargo \( B \) no tiene vectores propios reales.
Por otro lado, no veo dónde se usa la hipótesis de que \( n \) sea impar.

Para una solución del problema, se puede mirar por aquí: https://math.stackexchange.com/questions/4833103/if-a2b2-0-n-and-ab-ba-is-invertible-then-n-is-even

[Masacroso]

De ahí se sigue que si \( A^2v=\lambda^2 v \), para algún \( \lambda \in \mathbb{R} \), entonces debe darse el caso de que \( B^2v=-\lambda ^2 v \) (ya que \( A^2=-B^2 \) es una de las premisas del ejercicio), y por tanto \( i|\lambda | \) o bien \( -i|\lambda | \) es valor propio de \( B \). Sin pérdida de generalidad podemos asumir que \( i|\lambda | \) es valor propio de \( B \) (como matriz compleja), de donde se sigue que \( (AB-BA)v=ABv-BAv=i|\lambda |\lambda v-i\lambda |\lambda |v=0 \), y por consiguiente \( \det(AB-BA)=0 \).

Esto creo que no está bien, porque parece que estás usando que si \( v \) es vector propio de \( B^2 \) también es vector propio de \( B \), y eso no es cierto en general. Por ejemplo, si \( B=J:= \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix} \), tienes que \( B^2=-I \) (luego todo vector no nulo es vector propio de valor propio \( -1 \)), pero sin embargo \( B \) no tiene vectores propios reales.
Por otro lado, no veo dónde se usa la hipótesis de que \( n \) sea impar.

Sí, había pensado eso. Sospechaba que algo no estaba bien y no sabía el qué. Gracias por el vistazo geómetracat.

[ani_pascual]

Para una solución del problema, se puede mirar por aquí: https://math.stackexchange.com/questions/4833103/if-a2b2-0-n-and-ab-ba-is-invertible-then-n-is-even

Hola, geómetracat:
Después de mi intento fallido de resolución, he visto que has dejado un enlace donde hay una prueba del resultado. No obstante, no me queda del todo claro, así es que, si no es mucho pedir, me gustaría que revisaras lo que he entendido y que en caso de estar errado, expusieras con detalle la demostración correcta (no sé inglés  ):
\( (A+iB)\cdot (A-iB)=A^2+B^2-i(AB-BA)=-i(AB-BA)\Longleftrightarrow (A+iB)\cdot\overline{(A+iB)}=-i(AB-BA)\Longrightarrow\\ \Longrightarrow0\leq det(A+iB)\cdot \overline{det(A+iB)}=det[(A+iB)\cdot\overline{(A+iB)}]\\=det[-i(AB-BA)]=(-i)^n det(AB-BA)\stackrel{\mbox{ n impar }}{\Longrightarrow} det(AB-BA)=0 \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

\( (A+iB)\cdot (A-iB)=A^2+B^2-i(AB-BA)=-i(AB-BA)\Longleftrightarrow (A+iB)\cdot\overline{(A+iB)}=-i(AB-BA)\Longrightarrow\\ \Longrightarrow0\leq det(A+iB)\cdot \overline{det(A+iB)}=det[(A+iB)\cdot\overline{(A+iB)}]\\=det[-i(AB-BA)]=(-i)^n det(AB-BA)\stackrel{\mbox{ n impar }}{\Longrightarrow} det(AB-BA)=0 \)
Saludos

Está (casi bien); pero conviene indicar que la clave no es que \( 0\leq det(A+iB)\cdot \overline{det(A+iB)} \), sino simplemente que es un número real. Como ese número REAL es igual a \( (-i)^n det(AB-BA) \) donde \( det(AB-BA) \) es real, si \( n \) es impar \( (-i)^n=\pm i \) y la única posibilidad para que \( (-i)^n det(AB-BA) \) sea real es que \( det(AB-BA)=0 \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Está (casi bien); pero conviene indicar que la clave no es que \( 0\leq det(A+iB)\cdot \overline{det(A+iB)} \), sino simplemente que es un número real. Como ese número REAL es igual a \( (-i)^n det(AB-BA) \) donde \( det(AB-BA) \) es real, si \( n \) es impar \( (-i)^n=\pm i \) y la única posibilidad para que \( (-i)^n det(AB-BA) \) sea real es que \( det(AB-BA)=0 \).

Gracias por la explicación, Luis Fuentes, thank you 
Saludos