Hola gente.
Tengo el agrado de informales que al fin he logrado culminar la prueba del UTF para el caso \( n = 3 \).
Llevó mucho trabajo, sobre todo porque antes era necesario entender las propiedades de factorización del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \).
En el mensaje #4 se halla toda la teoría completa y necesaria del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \), para poder aplicarse en la prueba del Teorema de Fermat.
En el mensaje #5 se halla la prueba completa del UTF para el exponente \( n = 3 \).
La dificultad mayor estaba en el Lema 3 del mensaje #5, el cual estaba sin la prueba hasta hoy.
Ahora bien, tras completar toda la teoría de factorización del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \), la prueba del Lema 3 pu¡ede llevarse a cabo sin inconveniente, y todo queda ahora bien completado.
Así que el mensaje número #4 lo he ampliado enormemente.
He escrito allí una enorme cantidad de material referido a la factorización en \( Z[\sqrt{-3}] \).
De todo ese material, la última sección titulada "Factorización en \( Z[\sqrt{-3}] \)" es lo que se usa en el esquivo Lema 3 del mensaje #5.
Si bien sólo se usa esa última parte, para llegar allí son necesarias todas las observaciones hechas previamente.
A aquellos que estén interesados en aprender bien toda el álgebra requerida en el Teorema de Fermat,
les recomiendo que se tomen el tiempo de estudiar toda la teoría expuesta en el mensaje #4 acerca del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \).
Tengan en cuenta que es justamente el estudio de este tipo de anillos lo que abrió las puertas a grandes avances en la historia del Teorema de Fermat.
O sea, estudiar ese anillo es tiempo bien invertido, además de ser el primer peldaño de una tortuosa escala.
A pesar de todo, los cálculos están hechos de forma intermedia entre lo puramente algebraico, y lo puramente elemental.
Esto creo que ayudará a que todos (incluyéndome) logremos de a poco ir adentrándonos en aguas más profundas.
Me he basado en el texto de Ivorra para el estudio del anillo, así como del Lema 3,
pero he reformulado completamente el orden y manera en que se exponen las cuentas,
porque me pareció que era mejor poner de manifiesto todo el tiempo que las cantidades cuadráticas involucradas eran normas de elementos del anillo, y por otra parte, me pareció que una exposición más detallada y ordenada podría ser más útil.
Como siempre, los detalles aburridos o complicados aparecen en los Spoilers, y pueden omitirse o abrirse según el gusto de cada quien.
Finalmente, si detectan cualquier error en los cálculos, o en la exposición, o si desean hacer cualquier otro tipo de comentario, ya saben que pueden hacerlo.
