[nataivel]

2.10. 7. PROBLEMAS

Si Ud. tiene buen conocimientos de teoria de matrices, entonces, podrá resolver con facilidad los siguientes problemas...

1. Determine “x” si, \( tr(G) = x^2+49 \)

Donde: \( G=EF \),

\( E\color {red}_3_x_3 \color {black}=(e_i_j) \)   tal que  \( e_i_j= \left \{ \begin{matrix} ij& \mbox{si }i \le j
\\ 0 & \mbox{si } i>j\end{matrix}\right  \) 

\( F\color {red}_3_x_3 \color {black}=(f_i_j) \)   tal que  \( f_i_j= \left \{ \begin{matrix} x& \mbox{si }i = j
\\ 0 & \mbox{si } i\ne j\end{matrix}\right  \) 

SOLUCIÓN

Spoiler

Debemos interpreter ambas matrices,

MATRIZ E:

Primera fila y primera columna: i=1, j=1; es i=j, (multiplicar indices), luego, \( e_1_1=1 \)

Primera fila y segunda columna: i=1, j=2; es i<j, (multiplicar índices), luego,  \( e_1_2=2 \)

Primera fila y tercera columna: i=1, j=3; es i<j, (multiplicar índices), luego,  \( e_1_3=3 \)

Segunda fila y primera columna: i=2, j=1; es i>j (cero), luego, \( e_2_1=0 \)

Segunda fila y segunda columna: i=2, j=2; es i=j (multiplicar indices), luego, \( e_2_2=4 \)

Segunda fila y tercera columna: i=2, j=3; es i<j (multiplicar indices), luego, \( e_2_3=6 \)

Tercera fila y primera columna: i=3, j=1; es i>j (cero), luego, \( e_3_1=0 \)

Tercera fila y segunda columna: i=3, j=2; es i>j (cero), luego, \( e_3_2=0 \)

Tercera fila y tercera columna: i=3, j=3; es i=j (multiplicar indices), luego, \( e_3_3=9 \)

De aquí, la matriz E es,

\( E=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{0}&{4}&{6}\\{0}&{0}&{9}\end{bmatrix}  \)

MATRIZ F. Nótese que la matriz F coincide con la definición de MATRIZ ESCALAR (O CONSTANTE): \( F=xI \)

Multiplicando ambas matrices,

\( G=EF=E(xI)=Ex  \)     (o sea, el producto de un escalar “x” por una matriz “E”)

Entonces, es inmediato,

\( G=\begin{bmatrix}{x}&{2x}&{3x}\\{0}&{4x}&{6x}\\{0}&{0}&{9x}\end{bmatrix}  \)

Pero, en G debemos calcular la TRAZA. O sea,

\( tr(G)=x+4x+9x=14x \)           (1)

Por otra parte, según el enunciado,

\( tr(G)=x^2+49 \)           (2)

Igualando (1) y (2), resulta la ecuación cuadrática,

\( x^2-14x+49=0 \)          (3)

Factorizando,       
       
\( (x-7)(x-7)=0 \)      entonces,     
 
En conclusión,

 \( x=7 \)      (multiplicidad 2)

[cerrar]

2. Demostrar que, toda matriz cuadrada puede expresarse, de manera única, como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

SOLUCIÓN

Spoiler

Sea S una matriz simétrica, y T una matriz antisimétrica. Se pide expresar una matriz A, como suma de las anteriores matrices. O sea,

\( A=S+T \)       (1)

Obtengamos la transpuesta de esta matriz,

 \( A^t=(S+T)^t =S^t+T^t  \)   (propiedad P2, 2.10.1.6. Transpuesta de una matriz)

Entonces, por definición de matriz simétrica y antisimétrica, \(  S^t+T^t = S-T  \) , de donde,   

\( A^t= S-T  \)      (2)

Hemos formado, con (1) y (2), un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (las incógnitas son S y T). Resolviendo dicho sistema, tenemos:

\( S=\displaystyle\frac{1}{2} (A+A^t) \)          (3)

\( T=\displaystyle\frac{1}{2} (A - A^t) \)         (4)

Las soluciones obtenidas son únicas porque las operaciones indicadas en (1) y (2) generan un único valor para las matrices resultantes; además de que \( A \)  y   \( A^t) \)   son matrices de grado:1.

Finalmente, podemos escribir,

\( A=\displaystyle\frac{1}{2} (A+A^t)+ \displaystyle\frac{1}{2} (A - A^t)  \) 

[cerrar]

         
3. ¿Es simetrica o no la siguiente matriz \( M_4_x_4=((-1)^{ij}(i+j)) \)?

SOLUCIÓN

Spoiler

Se asume que M y N son matrices de orden 4x4. Entonces, sea,

 \( M=(m_i_j) =((-1)^i^j(i+j)) \)

Por definición, su transpuesta es,

Sea: \( N=(n_i_j)=(m_j_i)=((-1)^j^i(j+i))= ((-1)^i^j(i+j))=M  \)

De aquí, la matriz M es igual a su transpuesta N. O sea, \( N=M^t=M  \)

Conclusión, la matriz dada (M) es simétrica.

[cerrar]

4. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden “n”. Demostrar: \( (AB)^t=B^tA^t  \)

SOLUCIÓN

Spoiler

Por definición de producto de matrices. Sea: \( A=(a_i_j)  \) y \( B=(b_i_j)  \). Entonces,

\( C=AB=(c_i_j) =( }\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_i_kb_k_j})  \)  (esta matriz tiene n filas y n columnas)        (1)

Análogamente, determinemos las transpuestas de A, B y C.

\( A^t=(\alpha_i_j)=(a_j_i)  \) y \( B^t=(\beta_i_j)=(b_j_i)  \). Entonces,

\( C^t=(AB)^t=(\gamma_i_j)=(c_j_i) =(\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_j_kb_k_i}) =(\displaystyle\sum_{k=1}^n{\alpha_k_j\beta_i_k}) = \)

\( C^t=(AB)^t=(\displaystyle\sum_{k=1}^n{\beta_i_k\alpha_k_j) \) (esta matriz tiene n filas y n columnas)       (2)

Comparando los índices de las sumatorias en (1) y (2), vemos que son semejantes en disposición. Es decir, los índices siguen este orden: i, k, k, j en (1) y (2). De aquí se infiere rápidamente que,

\( (\displaystyle\sum_{k=1}^n{\beta_i_k\alpha_k_j)=B^tA^t \)      (3)

De (2) y (3), se concluye que,

\( (AB)^t=B^tA^t \)

“la transpuesta del producto es igual al producto de las transpuestas en orden inverso” .

[cerrar]

5. Demostrar que cualquier potencia de una matriz simétrica es también simétrica.

SOLUCIÓN

Spoiler

En efecto, del problema anterior, tenemos,

1) Sea:  \( (AA)^t=A^tA^t \)   o sea    \( (A^2)^t=(A^t)^2 \) 

Pero como A es simétrica, \( A^t=A \), entonces, \( (A^2)^t=(A)^2 \)  (el cuadrado de una matriz simétrica también es simétrica)

2) HIPOTESIS: La potencia k-ésima de una matriz simétrica, también es simétrica: \( (A^k)^t=A^k \)
 
3) Entonces, calculamos la transpuesta del producto (según el problema, anterior, 4):

\( (A^kA)^t=A^t(A^k)^t \)   ; pero \( A^t=A \)  y   \( (A^k)^t=A^k \)

Con estos datos tenemos que, \( (A^kA)^t=A^t(A^k)^t=A(A^k) \)   

Es decir, \( (A^{k+1})^t=(A^{k+1}) \)   

4) Entonces, en virtud del principio de inducción se concluye que: "Toda potencia de una matriz simétrica es también simétrica".

[cerrar]

6. Hallar la potencia n-ésima de la matriz:

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{2}\\{2}&{1}&{2}\\{2}&{2}&{1}\end{bmatrix}  \)

SOLUCIÓN

Spoiler

Este es un bonito problema que puede atacarse desde varias perspectivas. Nosotros haremos lo siguiente,

Sea la matriz: \( U=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}  \)

Vamos a determinar la potencia n-ésima de esta matriz. Primero el cuadrado,

\( U^2=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\end{bmatrix}=3U  \)

El cubo ya podemos obtenerlo (por recurrencia),

\( U^3= U^2U=(3U)U=3U^2=3(3U)=3^2U \)

Nos damos cuenta que una potencia k-ésima tendrá la forma: \( U^k=3^{k-1}U \)

Para asegurarnos, usamos inducción,

Hipótesis: Se verifica, \( U^k=3^{k-1}U \). Entonces, multiplicando por U,

\( U^kU=(3^{k-1}U)U=(3^{k-1})U^2=(3^{k-1})(3U)=3^kU \)

De donde se concluye que la hipótesis es cierta, en virtud del principio de inducción. Luego,

\( U^n=3^{n-1}U \)         (1)

Ahora, volvemos a nuestro problema. La matriz A puede escribirse en la forma:

\( 2U=A+I \)  o bien, \( A=2U-I \)         (2)

Primero, determinemos el cuadrado de A,

\( A^2=(2U-I)( 2U-I)=4U^2-4UI+I^2=4(3U)-4U+I=9U+I \)     

Este primer cálculo nos permite intuir que la potencia k-ésima de A, tendrá la forma general:

\( A^k=x_kU+y_kI \)               (3)

Donde \( x_k \)   y  \( y_k \)   son números que dependen del índice “k”. Así, determinemos la siguiente potencia:

\( A^{k+1}=A^kA=(x_kU+y_kI)( 2U-I)=2x_kU^2+2y_kU-x_kU-y_kI \)   

Que simplificando resulta,

 \( A^{k+1}=(5x_k+2y_k)U-y_kI=x_k_+_1U+y_k_+_1I \)        (4)

De (4) se forma un sistema de “ecuaciones de diferencias”

\(  x_k_+_1 =5x_k+2y_k  \)       (5)

\(  y_k_+_1 = -y_k \)        (6)

Pero, con la relación (3) y las ecuaciones recursivas (5) y (6), podemos decir que el problema está resuelto.

En conclusión: De (3), tenemos que:

\( A^n=\begin{bmatrix}{x_n+y_n}&{ x_n }&{ x_n }\\{ x_n }&{ x_n+y_n }&{ x_n }\\{ x_n }&{ x_n }&{ x_n+y_n }\end{bmatrix}  \)

Donde \( x_n \)  e  \( y_n \)  se determinan de las relaciones recursivas:

\(  x_k_+_1 =5x_k+2y_k  \)       (5’)

\(  y_k_+_1 = -y_k \)        (6’)

Con estos datos se puede decir que el problema está resuelto, (aunque de forma recursiva).

[cerrar]

7. De acuerdo a alguna potencia de A ¿qué clase de matriz es

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{3}\\{5}&{2}&{6}\\{-2}&{-1}&{-3}\end{bmatrix}  \)?

SOLUCIÓN

Spoiler

Con respecto de alguna potencia de A, la matriz A sólo puede ser a) Involutiva o idempotente (potencia n=2); b) Periodica de periodo n>2 ó c) nilpotente.

Entonces, sólo queda multiplicar sucesivamente descartando los casos posibles:

1) Para el cuadrado, tenemos:

\( A^2=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{3}\\{5}&{2}&{6}\\{-2}&{-1}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{3}\\{5}&{2}&{6}\\{-2}&{-1}&{-3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{3}&{3}&{9}\\{-1}&{-1}&{-3}\end{bmatrix}   \)

Aún no hay una respuesta, pero podemos descartar el inciso (a)

2) Volvamos a multiplicar,

\( A^2A=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{3}&{3}&{9}\\{-1}&{-1}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{3}\\{5}&{2}&{6}\\{-2}&{-1}&{-3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} = 0  \)

¡Hemos obtenido la matriz cero (0)!. Se trata entonces, de una matriz nilpotente.

CONCLUSIÓN: La matriz

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{3}\\{5}&{2}&{6}\\{-2}&{-1}&{-3}\end{bmatrix}  \)

es nilpotente: \( A^3=0  \)?

[cerrar]

8. Hallar “x” para que la siguiente matriz sea ortogonal,

\( B=\begin{bmatrix}{x }&{\sin \theta }&{0}\\{-\sin \theta }&{x}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}  \)

SOLUCIÓN

Spoiler

Por definición, una matriz es ortogonal si el producto por su transpuesta produce la matriz identidad. O sea,
\( BB^t=I \)

Ahora, calculemos el producto de \( B \) por su transpuesta (\( B^t \))

\( \begin{bmatrix}{x }&{\sin \theta }&{0}\\{-\sin \theta }&{x}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x }&{-\sin \theta }&{0}\\{\sin \theta }&{x}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}{x^2+\sin ^2\theta}&{0}&{0}\\{0 }&{ x^2+\sin ^2\theta }&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}   \)

Este resultado debe ser igual a la matriz identidad,

\( \begin{bmatrix}{1 }&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}  \)

Luego, por igualdad de matrices, tenemos que:

\( x^2+\sin^2 \theta = 1 \)

\( x^2-(1-\sin^2 \theta) = x^2-\cos^ 2\theta=0 \)

Factorizando,

De donde, \( (x-\cos \theta)( x+\cos \theta)=0 \)

De donde,

\( x=\pm\cos \theta \)

[cerrar]

PROBLEMA EXTRAORDINARIO

Spoiler

El siguiente problema no tiene mucho que ver con la teoria matricial. Sin embargo, en el problema 6 la respuesta que hemos dado podría resultar insatisfactorio. En este problema extraordinario vamos a completar la respuesta (del problema 6); y para eso, utilizaremos una técnica para resolver una ecuación de diferencias. (Esta técnica nos servirá más adelante para resolver ciertas ecuaciones diofánticas, por eso se incluye aquí).

[cerrar]

Recomendación: Se recomienda abrir el spoiler del problema 6 para comprender mejor este problema extraordinario.

Del problema 6 tenemos el siguiente sistema de ecuaciones de diferencias:

\(  x_k_+_1 =5x_k+2y_k  \)       (5’)

\(  y_k_+_1 = -y_k \)        (6’)

(5') y (6') se llaman ecuaciones en diferencias.

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Spoiler

Una ecuación en diferencias es aquella en que la variable incognita es una función que depende de un indice (en este caso el indice es "k"). El problema sería sencillo si no fuera porque en la ecuación puede intervenir la misma función incognita, pero con indice desplazado. Por ejemplo, consideremos la función: \( x_k=f(k) \), si el indice se desplaza una unidad a la derecha tendremos:

\( x_k_+_1=f(k+1) \), si se desplaza dos unidades: \( x_k_+_2=f(k+2) \), etc.. Así por ejemplo, la siguiente ecuación:

\( ax_k_+_2+bx_k_+_1+cx_k_+_1=0 \)      (donde \( a, b, c \) son números reales, se llama ecuación en diferencias de segundo orden)       (7)

Esta claro que (5') y (6') son ecuaciones en diferencias. A veces se llama también "diferencias finitas".

En (7) podemos observar que la ecuación en diferencias está igualada a cero y no existe termino independiente. En esas condiciones, (7) se llama ECUACIÓN HOMOGENEA (EN DIFERENCIAS FINITAS). Una ecuación homogénea se puede resolver suponiendo que sus soluciones tienen la forma:

\( x_k=r^k \)          (8)

(donde "r" es algún número real. Si se reemplaza (8) en (7) obtendremos:

\( ar^2+br+c=0 \)         (9)

(9) se llama ECUACIÓN CARACTERÍSTICA y de aquí es fácil obtener los valores de "r".

[cerrar]

Ahora, resolveremos la ecuación (6'). Observamos que puede escribirse en la forma:

Spoiler

\( y_k_+_1 +y_k=0 \)        (6'')    que es una ECUACION HOMOGÉNEA

Supongamos que las soluciones están dadas en la forma:

\( y_k=r^k \)        (10)

Reemplazando en (6'') tenemos:  r+1=0, entonces, r=-1, de donde,

[cerrar]

\( y_k=(-1)^k \)        (11)

(11) podemos reemplazar en (5') y obtener,

\(  x_k_+_1 =5x_k+2y_k  \)      entonces     \(  x_k_+_1 =5x_k+2(-1)^k  \)       (5'')

Ahora, procedemos a resolver (5''),

Spoiler

Si no fuera por \( 2(-1)^k \)   (5'') sería otra ecuación homogénea y quedaría resuelto. Vamos a hacer el siguiente artificio. Desplacemos en (5'') el indice "k" en una unidad. O sea,

 \(  x_k_+_2 =5x_{k+1}+2(-1)^{k+1}  \)       (5''')

Es evidente que: \( 2(-1)^k+2(-1)^{k+1}=0 \)  (Aprovechemos esto) y sumemos (5'') con (5''') miembro a miembro.

\( x_k_+_1+ x_k_+_2 =5x_k+5x_{k+1}  \)

Reordenando, resulta una ecuación homogénea:

\( x_k_+_2-4 x_k_1-5x_k =0 \)      (12)

Si suponemos que sus soluciones tienen la forma:

\( x_k=\lambda^k \)    obtendremos:    \( \lambda^2-4\lambda-5=0  \)   de donde: \( \lambda=-1 \) ó \( \lambda=5 \)

Luego, la solución general de (12) debería tener la forma:

\( x_k=C_1(-1)^k+C_2(5)^k \)        (13)

Reemplazando (13) en (5'') resultará:

\(  x_k_+_1 =5x_k+2(-1)^k  \)       (5'') , entonces, \( C_1(-1)^{k+1}+C_2(5)^{k+1}=5(C_1(-1)^k+C_2(5)^k)+2(-1)^k  \)

De donde \( C_1=-\displaystyle\frac{1}{3} \)         (14)

Para determinar \( C_2 \) consideramos las CONDICIONES INICIALES. Estas condiciones se dan en el problema 6, inciso (2). Pues se ve en (3) que haciendo k=1, tenemos: \( x_1=2 \) y \( y_1=-1 \). Con estas condiciones en (13), tenemos finalmente, recordemos que \( C_1=-\displaystyle\frac{1}{3} \)

\( x_1=C_1(-1)^1+C_2(5)^1=2 \)

De donde, \( C_2=\displaystyle\frac{1}{3} \)       (15)

[cerrar]

(14) y (15) nos proporcionan los datos para resolver (5''). Con esto, hemos solucionado el sistema de ecuaciones en diferencias (5') y (6'). O sea:

\( x_k=(-\displaystyle\frac{1}{3})(-1)^k+\displaystyle\frac{1}{3}(5)^k \)      (16)

y donde:   \( y_k=(-1)^k \)      (17)

CONCLUSIÓN: Con estos datos, la potencia n-ésima de la matriz A puede escribirse, en la forma (tomar en cuenta la relación 3):

\( A^n=x_kU+y_kI \)      (18)

donde \( x_n \) e \( y_n \) pueden determinarse de (16) y (17).

Por ejemplo, el cuadrado de la matriz A...

Tenemos n=2, en (16) resulta: \( x_2=8 \)  y  \( y_2=1 \), luego, POR (18)

\( A^2=8U+I \)  o extensivamente según el problema 6,

\( A^2=\begin{bmatrix}{9}&{8}&{8}\\{8}&{9}&{8}\\{8}&{8}&{9}\end{bmatrix} \)



(Continuará...)

[nataivel]

2.11. LA FUNCIÓN DETERMINANTE

2.11.1. PERMUTACIONES, PARIDAD DE LAS PERMUTACIONES, INVERSIONES

Consideremos la sucesión de números naturales (a partir de ahora “sucesión natural”):

\( 1, 2, 3, 4, 5, \ldots, n \).

Entonces, se dice que ocurre una TRANSPOSICIÓN si se intercambia de lugares dos (y solamente dos) elementos de dicha sucesión natural. Por ejemplo, dado \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \); si intercambiamos de lugar el 4 y el 7 queda: \( 1, 2, 3, 7, 5, 6, 4 \).

NOTA: A fin de evitar confusiones hemos llamado a \( 1, 2, 3, 4, 5, \ldots, n \) una SUCESIÓN NATURAL. Puede darse el caso, por ejemplo, encontrarnos con sucesiones como ésta: 6,8,12,19,23,71. Si ocurre eso, a sucesiones (como en el ejemplo) los autores la llaman una SUCESIÓN EN ORDEN NATURAL .

1) Permutación

Ahora bien, dada la sucesión original (p. ej. \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \)), si “mediante transposiciones sucesivas” puede obtenerse otra sucesión; por ejemplo: \( 7, 3, 2, 6, 5, 1, 4 \). A esta nueva sucesión se llama una PERMUTACIÓN.

Consideremos la sucesión natural, \( 1, 2, 3, 4, 5, \ldots, n \). Entonces, mediante transposiciones sucesivas se puede obtener la siguiente permutación:

\( p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n \)

¿Pero cuántas transposiciones son necesarias para llegar a esta permutación?. Se puede responder a esta pregunta deduciendo una formula explícita. Sin embargo, nosotros seguiremos otro camino; pues en el análisis de este problema nos interesa simplemente conocer la “paridad de esta permutación”. Concepto que estudiaremos en el siguiente numeral:

2) Paridad de las permutaciones

Hemos dicho que una permutación se obtiene mediante transposiciones sucesivas. Por ejemplo, la permutación: \( 7, 3, 2, 6, 5, 1, 4 \) se puede obtener así:

 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \longmapsto 7, 2, 3, 4, 5, 6, 1 \longmapsto 7, 3, 2, 4, 5, 6, 1 \longmapsto  7, 3, 2, 6, 5, 4, 1 \longmapsto  7, 3, 2, 6, 5, 1, 4 \)

Hay en total, 4 transposiciones sucesivas: 1) Transposición de 1 y 7; 2) Transposición de 2 y 3; 3) Transposición de 4 y 6 y 4) Transposición de 4 y 1.

Sin embargo, esta sucesión de transposiciones no es única. A veces, se puede efectuar muchas más transposiciones y otras veces menos trasposiciones. Pero, lo que se mantiene constante es la PARIDAD de transposiciones.

Por ejemplo: Para pasar de 1, 2, 3 a 2, 3, 1 se requieren dos transposiciones. En efecto: \( 1, 2, 3 \longmapsto 2, 1, 3 \longmapsto 2, 3, 1 \). Sin embargo, esto también se puede lograr más lentamente: \( 1, 2, 3 \longmapsto 1, 3, 2 \longmapsto 3, 1, 2 \longmapsto 3, 2, 1 \longmapsto 2, 3, 1  \). Nótese que, en el primer caso hubo 2 transposiciones sucesivas; en el segundo caso, 4 transposiciones sucesivas. Pero, se mantuvo constante la paridad de transposiciones.

Con base en estos ejemplos, podemos definir:

PERMUTACIÓN PAR: Si la cantidad de transposiciones necesarias para pasar de la sucesión natural \( 1, 2, 3, 4, 5, \ldots, n \) a la permutación \( p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n \) es un número PAR.

PERMUTACIÓN IMPAR: Si la cantidad de transposiciones necesarias para pasar de la sucesión natural \( 1, 2, 3, 4, 5, \ldots, n \) a la permutación \( p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n \) es un número IMPAR.

LA FUNCIÓN PHI (\(  \varphi  \)): Asociemos la paridad de una permutación a un número (0 ó 1). Para esto, definimos la función phi (\(  \varphi  \)) que se aplica a una permutación:

\(  \varphi (p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n) \)             (2.22)

Entonces, si resulta que la permutación es par, será: \(  \varphi (p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n)=0 \)

Si resulta que la permutación es impar, será: \(  \varphi (p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n)=1 \)

NOTA:

Spoiler

Es cierto que la introducción de esta función “phi” es algo artificial, pero se verá que tiene su efecto. La mayoría de los matemáticos prefiere emplear una función llamada FUNCIÓN SIGNO. Que se escribe:

\(  & \mbox {sgn}(p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n) \)

Y a veces se abrevia como:  \( & \mbox {sgn}(\sigma) \)   ,
 
tal que  \( \sigma \in S_n \)  y   donde  \( S_n \)  es el conjunto de todas las \( n! \)   permutaciones diferentes obtenidas de la sucesión natural.

También se puede utilizar el símbolo de Levi-Civita,

 \(  \epsilon_{p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n}= \left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si  } (p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n) \mbox{  es una permutación par}
\\ -1 & \mbox{si  } (p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n) \mbox{  es una permutación impar}\\ 0 & \mbox{si en   } (p_1, p_2, p_3, p_4,\ldots, p_n) \mbox{  se repite algún indice}\end{matrix}\right.    \)

Aún así, hemos preferido utilizar la función “phi” (definida párrafos arriba); pues se ajusta más a nuestros propósitos. Sin embargo, por razones informativas aclaramos que la función: \(  & \mbox {sgn}(\sigma) \) es igual a -1 si la permutación es IMPAR y +1 si la permutación es PAR.

[cerrar]

3) Inversiones

El concepto de inversión (que se da a continuación) nos ayudará a determinar la PARIDAD de una permutación por SIMPLE INSPECCIÓN. Entonces,

Tomemos un elemento cualquiera de una permutación arbitraria; por ejemplo, el número natural \( p_x \) . Se dice que existe una INVERSIÓN (respecto de \( p_x \)) si existe otro número natural \( p_y \), colocado después de \( p_x \), tal que \( p_x>p_y \).

Por ejemplo, en la permutación \(  7, 3, 2, 6, 5, 1, 4  \), tomemos \( p_4=6 \). Los únicos enteros colocados después de \( p_4=6 \) son: 5, 1 y 4. Comparándolos, uno por uno, respecto a \( p_4=6 \), tenemos: 6>5 (hay una inversión); 6>1 (hay una inversión); 6>4 (hay una inversión). En total, \( p_4=6 \) produce 3 inversiones diferentes…!

Justifiquemos este concepto.

Spoiler

En el ejemplo, la idea es tratar de llevar la permutación: 7,3,2,6,5,1,4 a la sucesión natural 1,2,3,4,5,6,7. Para lograr eso, tenemos que transponer 6 con 5 (y resultará: 7,3,2,5,6,1,4); hecho eso, necesitaremos transponer 6 con 1 (y resultará: 7,3,2,5,1,6,4); finalmente, al transponer 6 con 4  (resultará: 7,3,2,5,1,4,6). Hemos necesitado 3 transposiciones consecutivas; o bien, el elemento 6 produce 3 inversiones (como ya se dijo).

[cerrar]

PROBLEMA: Mediante el método de inversiones determinar la paridad de la permutación: \(  7, 3, 2, 6, 5, 1, 4  \)

SOLUCIÓN:

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\( p_1=7 \)  PRODUCE  6  INVERSIONES (pues 7 es mayor que 3, 2, 6, 5, 1 y 4, respectivamente).

\( p_2=3 \)  PRODUCE  2  INVERSIONES (pues 3 es mayor que 2 y 1, respectivamente).

\( p_3=2 \)  PRODUCE  1  INVERSIÓN (pues 2 es mayor que 1).

\( p_4=6 \)  PRODUCE  3  INVERSIONES (pues 6 es mayor que 5, 1 y 4, respectivamente).

\( p_5=5 \)  PRODUCE  2  INVERSIONES (pues 5 es mayor que 1 y 4, respectivamente).

\( p_6=1 \)  NO PRODUCE NINGUNA INVERSIÓN (pues todos los números colocados después de él son mayores que 1).

\( p_7=4 \)  NO PRODUCE NINGUNA INVERSIÓN (pues no hay números colocados después de él).

[cerrar]

Luego, el número total de inversiones (en la permutación dada) es: \( 6+2+1+3+2=14 \). Luego, la permutación: \(  7, 3, 2, 6, 5, 1, 4  \) es PAR. O usando la función phi, \(  \varphi (7, 3, 2, 6, 5, 1, 4)=0 \)

Dependiendo de la agilidad visual se puede responder fácilmente si una permutación es PAR o IMPAR. Sin embargo, con fines didácticos se puede utilizar también el DIAGRAMA PARA DETERMINAR LA PARIDAD DE UNA PERMUTACIÓN  (analice por ejemplo el siguiente diagrama).

Son 14 INTERSECCIONES, número PAR. Luego, la permutación 7, 3, 2, 6, 5, 1, 4 es PAR.

Spoiler

Obsérvese que las primeras líneas son rectas, pero no se puede lograr que todas sean rectas (aunque sería ideal). Entonces, se puede utilizar líneas curvas. Podemos dar la siguiente REGLA: a) Una línea debe cortar a otra en una sola ocasión, b) un punto de intersección es el cruce de sólo dos líneas y c) las líneas deben trazarse interior al rectángulo imaginario formado por  la sucesión natural y la permutación dada. (No está por demás aclarar que la cantidad de líneas debe ser igual al número de elementos de la sucesión natural que interviene en el diagrama. En el ejemplo n=7, hay 7 líneas).

[cerrar]

2.11.2. PRODUCTOS ELEMENTALES

Consideremos la matriz cuadrada A, de orden n,

\( A=\begin{bmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}&{a_1_3}&{\cdots}&{a_1_n}\\{a_2_1}&{a_2_2}&{a_2_3}&{\cdots}&{a_2_n}\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3}&{\cdots}&{a_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\{a_n_1}&{a_n_2}&{a_n_3}&{\cdots}&{a_n_n}\end{bmatrix}  \)

Si tomamos de dicha matriz,  “n” elementos de una fila diferente; tal que dos elementos tomados de A, no pueden pertenecer a la misma columna. Entonces, al producto de los “n” elementos así elegidos se llama UN PRODUCTO ELEMENTAL (de la matriz A).

Sea: \( j_1,j_2, j_3, j_4,\ldots, j_n \) una permutación arbitraria de la sucesión natural \( 1, 2, 3, 4, \ldots, n \). Entonces, los elementos de una matriz se pueden elegir de la siguiente manera:

1) De la primera fila (\( i=1 \)) y la columna \( j=j_1 \) escogemos el elemento: \( a_1_{j_1} \) 

2) De la primera segunda fila (\( i=2 \)) y la columna \( j=j_2 \) escogemos el elemento: \( a_2_{j_2} \) 

3) De la primera tercera fila (\( i=3 \)) y la columna \( j=j_3 \) escogemos el elemento: \( a_3_{j_3} \) , etcétera.

De donde, el producto elemental (donde los índices “i” están en sucesión natural) es:

\( a_1_{j_1}\cdot {} a_2_{j_2}\cdot {} a_3_{j_3}\cdot {} \ldots \cdot {}a_n_{j_n} \)       (2.23)

Este producto se puede abreviar del siguiente modo:

\( \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i_{j_i} \)

Obsérvese que los índices “i” están colocados en orden natural   \( 1, 2, 3, 4, \ldots, n \). Mientras que los índices “j” están colocados en orden permutado  \( j_1,j_2, j_3, j_4,\ldots, j_n \).

EJEMPLO:

Spoiler

Sea la matriz

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-6}\\{-3}&{2}&{9}\\{2}&{1}&{-3}\end{bmatrix}  \)

Sea, también, la sucesión natural: 1, 2, 3   y  la permutación:  3,1,2

Entonces: (Tenemos los índices:  i=1,2,3 y j=3,1,2)

1) Debemos elegir el elemento de la primera fila (i=1) y la tercera columna (j=3). O sea, el elemento: -6

2) Debemos elegir el elemento de la segunda fila (i=2) y la primera columna (j=1). O sea, el elemento: -3

3) Debemos elegir el elemento de la tercera fila (i=3) y la segunda columna (j=2). O sea, el elemento: 1

Luego, el producto elemental será: (-6)(-3)(1)=18

[cerrar]

NOTA: El número total de “productos elementales” que puede obtenerse de una matriz cuadrada, de orden n, es igual a n!. Por ejemplo, si la matriz A fuera de orden 3x3, se han de formar 3!=6 productos elementales diferentes.

Con estos conceptos ya estamos preparados para definir la función determinante.


2.11.3. DEFINICIÓN DE DETERMINANTE

Sea:  \(  \mathcal{D}:\mathbb{K}^{nxn}\rightarrow \mathbb{K} \), o sea, una función que se aplica sobre una matriz (\( A_n_x_n \)) para obtener un escalar (\( \Delta \)). \(  \mathcal{D}  \) se llama FUNCIÓN DETERMINANTE porque para cada matriz (\( A_n_x_n \), existe uno y solamente, un escalar llamado “el determinante de A”.

En adelante, vamos a emplear la siguiente simbología: \( & \mbox {det} (A) \) (o también, \( \left | A \right |  \) ). Si \( \Delta \) se obtiene de una matriz cuadrada de orden \( n \); entonces, llamaremos a: \( \left | A \right |  \)  DETERMINANTE de orden \( n \).

Un determinante genérico de orden “n” se escribe:

\(  & \mbox {det}  (A) =\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}&{a_1_3}&{\cdots}&{a_1_n}\\{a_2_1}&{a_2_2}&{a_2_3}&{\cdots}&{a_2_n}\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3}&{\cdots}&{a_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\{a_n_1}&{a_n_2}&{a_n_3}&{\cdots}&{a_n_n}\end{vmatrix}  \)       (2.24)

NOTA:

Spoiler

Debemos aclarar una vez más que esto no es una forma especial de escribir una matriz cuadrada. El símbolo, |…|  (barras paralelas) es un “operador” (al igual que, \( & \mbox {det} (…) \) ) que después de ser evaluada nos dice que debemos obtener un escalar:  (\( \Delta \)).

[cerrar]

El valor del determinante, de una matriz cuadrada \( A \), de orden \( n \); se puede obtener usando la llamada EXPANSIÓN DE LAPLACE,

\(  & \mbox {det}  (A) = \left | A \right |= \displaystyle\sum_{} (-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_n)}\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i_{j_i}  \)       (2.25)

Donde el sumatorio se efectúa sobre las \( n! \) permutaciones \( (j_1, j_2,\ldots, j_n)  \), en el índice “j”.

NOTA:

Spoiler

Usando el símbolo de Levi-Civita, el determinante de una matriz de orden \( n \) se puede escribir empleando \( n \) sumatorios:
\(  \displaystyle{\sum_{j_1=1}^n{}\sum_{j_2=1}^n{}\sum_{j_3=1}^n{}\ldots\sum_{j_n=1}^n{ \epsilon_{j_1,j_2,\ldots,j_n}a_1_{j_1}a_2_{j_2}\ldots a_n_{j_n}}}  \)

[cerrar]

PROBLEMA. Determinar mediante la fórmula de expansión de Laplace los determinantes de primer, segundo y tercer orden.

SOLUCIÓN

Spoiler

CASO 1: Sea \( A=(a_i_j) \) una matriz con un solo elemento. Sólo es posible obtener una permutación (y al no haber inversiones es) PAR. Entonces,

\(  & \mbox {det} (A)= \left | a_1_1 \right | = (-1)^{\varphi (1)}a_1_1=+ a_1_1  \)
O sea,

\(  \left | a_1_1 \right | = a_1_1  \)

CASO 2: Sea \( A=(a_i_j) \) una matriz cuadrada de orden n=2. La permutación: 1,2 es PAR  y 2, 1 es IMPAR. Luego,

 \(  & \mbox {det} (A)= \begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}\\{a_2_1}&{a_2_2}\end{vmatrix}=(-1)^{\varphi (1,2)}a_1_1a_2_2+(-1)^{\varphi (2,1)} a_1_2a_2_1=+a_1_1a_2_2-a_1_2a_2_1  \)

O sea,

\(  \begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}\\{a_2_1}&{a_2_2}\end{vmatrix}= a_1_1a_2_2-a_1_2a_2_1  \)

CASO 3: Sea \( A=(a_i_j) \) una matriz cuadrada de orden n=3. Las permutaciones: 1,2,3 ; 2,3,1 y 3,1,2 son PARES y las permutaciones 3,2,1 ; 2,1,3 y 1,3,2 son IMPARES. Luego,

\(  & \mbox {det} (A)= \begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}&{a_1_3}\\{a_2_1}&{a_2_2}&{a_2_3}\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3}\end{vmatrix}=(-1)^ {\varphi (1,2,3)} a_1_1a_2_2a_3_3+(-1)^ {\varphi (2,3,1)} a_1_2a_2_3a_3_1+(-1)^ {\varphi (3,1,2)} a_1_3a_2_1a_3_2+(-1)^ {\varphi (3,2,1)} a_1_3a_2_2a_3_1+(-1)^ {\varphi (2,1,3)} a_1_2a_2_1a_3_3+(-1)^ {\varphi (1,3,2)} a_1_1a_2_3a_3_2=+a_1_1a_2_2a_3_3+a_1_2a_2_3a_3_1+a_1_3a_2_1a_3_2-a_1_3a_2_2a_3_1-a_1_2a_2_1a_3_3-a_1_1a_2_3a_3_2  \)

O sea,

\( \begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}&{a_1_3}\\{a_2_1}&{a_2_2}&{a_2_3}\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3}\end{vmatrix}=a_1_1a_2_2a_3_3+a_1_2a_2_3a_3_1+a_1_3a_2_1a_3_2-a_1_3a_2_2a_3_1-a_1_2a_2_1a_3_3-a_1_1a_2_3a_3_2  \)

[cerrar]

Observemos que los casos 1 y 2, son fáciles de calcular y de recordar.
Sin embargo, no sucede lo mismo con el caso 3. En 1833, el matemático Pierre Frédéric Sarrus introdujo una regla para calcular fácilmente determinantes de tercer orden.

Esta regla se refleja en la siguiente imagen (nótese que la primera fila se repite en la cuarta y la segunda fila se repite en la quinta):

y se obtiene:

\( =a_1_1a_2_2a_3_3+a_2_1a_3_2a_1_3+a_3_1a_1_2a_2_3-a_3_1a_2_2a_1_3-a_1_1a_3_2 a_2_3-a_2_1a_1_2a_3_3 \)

Spoiler

Las diagonales imaginarias trazadas hacia labajo tienen signo positivo. Las diagonales trazadas hacia arriba tienen signo negativo. Esto indica que hay que multiplicar los números exhibidos a lo largo de cada diagonal. A continuación se suman los productos con signo positivo y se resta los productos con signo negativo.

[cerrar]

2.11.4. DEFINICIÓN AXIOMATICA (DE WEIERSTRASS)

Según [Abadir  y Magnus, 2005] y [Mirsky, 1955] en 1880, Weierstrass fue el primero en expresar la definición de determinante en base a 3 propiedades fundamentales. Esta definición es mucho más simple y al mismo tiempo más elegante (y generalmente, se suele presentar como definición en cursos avanzados de Algebra Lineal). Se puede enunciar así:

Sea \( A \) una matriz cuadrada, de orden\( n \). Si definimos una función escalar \( \rho \) que asigna a cada matriz \( A \) un número \( \rho(A) \), tal que:

(i)  \( \rho(A) \) es una función lineal respecto de cada columna de \( A \), si las otras se mantienen invariables.

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

NOTA PREVIA: Puede que se pregunte el lector: Si se trata de una definición axiomática ¿por qué se intenta demostrarla?, ¿esto es una contradicción?.

No, no hay contradicción. Simplemente (en este trabajo) vamos a desarrollar toda la teoría en base a la definición 2.11.3. Por eso, cualquier resultado lo demostraremos a partir de esa definición (2.11.3) basada en la “fórmula de expansión de Laplace”.

Sin embargo, es perfectamente viable desarrollar toda la teoría de determinantes empleando las propiedades (i,ii,ii) y asumiendo que son AXIOMAS. Ese es el camino sugerido por Weierstrass (sin embargo, nosotros no lo tomaremos; pero informamos que se puede hacer).

Dicho eso, la demostración es la siguiente:

Es suficiente notar que cada “producto elemental” contiene exactamente un factor de cada columna.
 
Entonces, consideremos la r-ésima columna de una matriz cuadrada \( A \) de orden \( n \). Supongamos sus elementos (de la columna) se puede expresar como suma. O sea,

\( a_i_r={a_i_r}^x+{a_i_r}^y \)          (1)

Donde \( x \) e \( y \) son superíndices (no son exponentes).

Reemplazando (1) en la fórmula de expansión de Laplace (fórmula 2.21), resulta,

\(  & \mbox {det}  (A) =  \displaystyle\sum_{} (-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_n)} a_1_{j_1} a_2_{j_2} \ldots a_i_r \ldots a_n_{j_n} \)

\(  & \mbox {det}  (A) =  \displaystyle\sum_{} (-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_n)} a_1_{j_1} a_2_{j_2} \ldots ({a_i_r}^x+{a_i_r}^y) \ldots a_n_{j_n} \)

\(  & \mbox {det}  (A) =  \displaystyle\sum_{} (-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_n)} a_1_{j_1} a_2_{j_2} \ldots {a_i_r}^x  \ldots a_n_{j_n}+\displaystyle\sum_{} (-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_n)} a_1_{j_1} a_2_{j_2} \ldots {a_i_r}^y \ldots a_n_{j_n} \)

\(  & \mbox {det}  (A) = & \mbox {det}  (A^x) +& \mbox {det}  (A^y)  \)      (2)

Donde \( A^x \) difiere de la matriz “A” solo en su r-ésima columna (que contiene elementos de superíndice \( x \) ). Y donde \( A^y \) difiere de la matriz “A” solo en su r-ésima columna (que contiene elementos de superíndice \( y \)).

Por (2) hemos demostrado que la función determinante es una función lineal. Para demostrar el inciso (i). Basta tener en cuenta que: \(  & \mbox {det}  (A) =\rho (A) \)

[cerrar]

 
ii) Si \( B \) se obtiene de \( A \) mediante intercambio de dos columnas, entonces, \( \rho(B)= -\rho(A) \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

NOTA PREVIA: Puede que se pregunte el lector: Si se trata de una definición axiomática ¿por qué se intenta demostrarla?, ¿esto es una contradicción?.

No, no hay contradicción. Simplemente vamos a desarrollar toda la teoría en base a la definición 2.11.3. Por eso, cualquier resultado lo demostraremos a partir de esa definición (2.11.3) basada en la “fórmula de expansión de Laplace”.

Sin embargo, es perfectamente viable desarrollar toda la teoría de determinantes empleando las propiedades (i,ii,iii) y asumiendo que son AXIOMAS. Ese es el camino sugerido por Weierstrass (sin embargo, nosotros no lo tomaremos; pero informamos que se puede hacer).

Dicho eso, la demostración es la siguiente:

Para probar (ii) es suficiente darse cuenta que al intercambiarse dos columnas en la matriz \( A \); los subindices “i” (que representan a las filas) de cada elemento seguirán estando en orden natural.

Entonces, lo único que faltaría demostrar (en virtud de la expansión de Laplace) es que la relación de signos siempre es:

\( (-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_t, \ldots, j_r, \ldots, j_n }=-(-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_r, \ldots, j_t, \ldots, j_n } \) ,      donde \( r<t \).

Lo cual es evidente, ya que una de las permutaciones requiere una “sola transposición” para obtener la otra (o en general, entre ambas permutaciones; una es IMPAR respecto de la otra). Lo cual demuestra el inciso (ii).

[cerrar]

iii) \( \rho(I_n)=1 \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

NOTA PREVIA: Puede que se pregunte el lector: Si se trata de una definición axiomática ¿por qué se intenta demostrarla?, ¿esto es una contradicción?.

No, no hay contradicción. Simplemente vamos a desarrollar toda la teoría en base a la definición 2.11.3. Por eso, cualquier resultado lo demostraremos a partir de esa definición (2.11.3) basada en la “fórmula de expansión de Laplace”.

Sin embargo, es perfectamente viable desarrollar toda la teoría de determinantes empleando las propiedades (i,ii,iii) y asumiendo que son AXIOMAS. Ese es el camino sugerido por Weierstrass (sin embargo, nosotros no lo tomaremos; pero informamos que se puede hacer).

Dicho eso, la demostración es la siguiente:

Para el inciso (iii) , está claro, por la “expansión de Laplace”, haciendo \( A=I_n=(\delta_i_J) \),

\(  u= (-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_n)} \delta_1_{j_1}\cdot {} \delta_2_{j_2}\cdot {}\ldots \cdot {} \delta_n_{j_n} \)         (1)

Donde \( u \) representa un sumando (generalizado) de la expansión de Laplace (véase fórmula  2.21 )

De (1) ya es obvio que, \( u=0 \)  si existe al menos un “delta de Kronecker” con subíndices \( i\ne j_i \). De modo que, la única forma de asegurar que \( u \ne 0 \), es que todos y cada uno de los factores de (1) sean “deltas de Kronecker” con índices iguales (o sea que sus índices sean \( i=j_i \)).

Por otra parte, \( \varphi (1, 2,\ldots, n)=0 \) porque “no hay transposiciones”. Luego, tras conjuncionar todo esto se tiene que concluir: \( & \mbox {det} (I_n)=1 \). Que equivale a \( \rho(I_n)=1 \) de la “definición de Weierstrass”. Que demuestra el inciso (iii)…!.

[cerrar]

El determinante \( \left | A \right | \) satisface estas propiedades (en realidad, la función determinante es la única que satisface estas propiedades). Entonces, el determinante se puede definir  en términos de dichas propiedades.

Spoiler

(Nosotros hemos utilizado la letra griega “rho”, aunque Mirsky emplea la letra “f”; mientras que Abadir y Magnus utilizan la letra “p”. Queremos justificar porque hemos utilizado esta letra griega; simplemente con fines prácticos y para evitar confusiones. Por ejemplo, \( f(A) \) la utilizaremos en el futuro para expresar una función matricial, por ejemplo \( f(A)=A^2+3A-I \). En cambio, la letra “p” puede confundirse con un número primo o algo semejante.)

[cerrar]

[nataivel]

2.11.5. TEOREMA (Primeras propiedades del determinante)

En las siguientes propiedades (de los determinantes), se asume que las matrices son de orden \( nxn \).

P1. Determinante de la transpuesta El determinante de una matriz \( A \) y de su transpuesta \( A^t \) , son iguales,

\(  \left | A \right |=\left | A^t \right |   \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

PRIMERA PARTE:

Sea la sucesión natural \( x=1, 2, 3, \ldots, n \) y la permutación \( y=j_1, j_2,\ldots, j_n \).  En ambas sucesiones, transpongamos simultáneamente sus elementos. (Por ejemplo, si transponemos en “x”  2 y 5; en “y” debemos transponer \( j_2 \) y  \( j_5 \).

Supongamos que después de varias transposiciones la primera sucesión se ha convertido en  \(  x^{\prime}=i_1, i_2, \ldots, i_n  \) mientras que la segunda sucesión se ha convertido en \( y^{\prime}=1, 2, 3, \ldots, n \) . De aquí, es evidente que: \( \varphi(j_1, j_2,\ldots, j_n )= \varphi(i_1, i_2,\ldots, i_n ) \). Pues, ambas han sufrido la misma cantidad de transposiciones.

SEGUNDA PARTE:

Ahora bien, por la fórmula de expansión de Laplace, tenemos:

 \(  \left | A \right |= \displaystyle\sum_{(j_1, j_2,\ldots, j_n)} (-1)^{\varphi (j_1, j_2,\ldots, j_n)}\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i_{j_i}  \)       (1)

Ahora, en el “producto elemental” transpongamos convenientemente sus factores para obtener:

\(  \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i_{j_i} = \displaystyle\prod_{j=1}^n a_{i_j}_j \)       (2)

Empleando el resultado de la primera parte: \( \varphi(j_1, j_2,\ldots, j_n )= \varphi(i_1, i_2,\ldots, i_n ) \) y combinando con el resultado (2); (1) se puede escribir en la forma:

\( \displaystyle\sum_{( i_1, i_2,\ldots, i_n)} (-1)^{\varphi (i_1, i_2,\ldots, i_n)} \displaystyle\prod_{j=1}^n a_{i_j}_j= \left | A^t \right |  \)       (3)

Donde se ha cambiado en el sumatorio la simbología, para indicar que las operaciones se efectúan (ahora) respecto de las permutaciones en “i”. De donde, es fácil concluir que el “determinante de una matriz A es igual al determinante de su transpuesta”. Esto demuestra la propiedad P1.

[cerrar]

P2. Adición de determinantesSe puede sumar dos determinantes: \(  \left | A \right |+\left | B\right |=\left | C \right |  \); si \( A \) , \( B \) y  \( C \) son del mismo orden y difieren únicamente en la r-ésima fila (o columna). Y donde la r-ésima fila (o columna) de  \( C \) se obtiene sumando (elemento a elemento) las r-esimas filas (o columnas) de \( A \) y \( B \).

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

NOTA: Esta propiedad P.2 es una ampliación del inciso (i) de la “axiomática de Weierstrass” (véase 2.11.4).

Por la propiedad anterior (P1),  \( |A^t|=|A| \). Luego, podemos trabajar sólo con columnas.

Ahora, de la demostración del inciso (i) de la “axiomática de Weierstrass” es inmediato concluir con lo expuesto en el enunciado de P2.

[cerrar]

Por ejemplo: Obsérvese que sucede con las segundas filas,

\( \begin{vmatrix}{1}&{2}&{3}\\{x}&{y}&{z}\\{3}&{2}&{1}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{1}&{2}&{3}\\{u}&{v}&{w}\\{3}&{2}&{1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{1}&{2}&{3}\\{x+u}&{y+v}&{z+w}\\{3}&{2}&{1}\end{vmatrix} \)


P3. Intercambio de dos filas (o columnas) Si se intercambia dos filas (o dos columnas) de una matriz A. Entonces, el determinante de la matriz resultante B, es de signo contrario al determinante de A. O sea, \( \left | B\right | =- \left | A\right |  \).

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Por la propiedad anterior (P1), si intercambiamos dos filas de la matriz \( A \) es lo mismo que intercambiar dos columnas de la matriz \( A^t \). Luego, podemos trabajar sólo con columnas.

Entonces, sea  \( B  \) la matriz resultante de haber intercambiado dos columnas en \( A \).

Pero, según lo demostrado en el inciso (ii) de la “axiomática de Weierstrass” tenemos que: \( \rho (B)=- \rho (A)  \). Esto es lo mismo que decir:

\( \left | B\right | =- \left | A\right |  \). Que demuestra la propiedad P2.

[cerrar]

Por ejemplo, intercambiando la primera fila por la tercera,

\( \begin{vmatrix}{1}&{2}&{3}\\{x}&{y}&{z}\\{7}&{-5}&{4}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}{7}&{-5}&{4}\\{x}&{y}&{z}\\{1}&{2}&{3}\end{vmatrix} \)

P4. Determinante de la matriz identidadEl determinante de la matriz identidad es 1. \( \left | I_n\right | = 1  \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Es inmediato, considerando la demostración del inciso (iii) de la axiomática de Weierstrass (véase 2.11.4)

[cerrar]

P5. Producto por un escalarSi se multiplica una fila (o columna) de una matriz \( A \) por un escalar \( k \). Entonces, el determinante de la matriz resultante \( B \) es igual al producto de \( k \) por el determinante de \( A \).

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Por la propiedad P1, \( |A^t|=|A| \) se puede trabajar sólo con columnas.

Por definición de “producto elemental”. Para construir dicho producto, siempre se debe tomar un elemento (de la matriz A) tal que pertenezca a la columna donde figura el escalar “k”.

Ahora, dado que la expansión de Laplace es la suma (con signo) de todos los productos elementales. Y dado que cada producto elemental contiene a “k”. Por factorización se tiene el resultado exigido.

[cerrar]

Por ejemplo, obsérvese qué sucede con la primera fila,

\( \begin{vmatrix}{3k}&{-2k}&{2k}\\{1}&{2}&{-3}\\{4}&{1}&{2}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}{3}&{-2}&{2}\\{1}&{2}&{-3}\\{4}&{1}&{2}\end{vmatrix} \)

2.11.5.1. Otras propiedades

Las siguientes propiedades se derivan de las propiedades anteriores. (La matriz \( A \) es cuadrada de orden \( n \))

P6. Fila (o columna) de elementos nulos Si todos los elementos de una fila (o columna), de una matriz A, son iguales a cero (0); entonces, su determinante es igual a cero, \( \left | A\right | =0 \).

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Por la propiedad P.1 (\( |A^t|=|A| \)) se puede trabajar con columnas y el resultado se extiende a las filas.

METODO 1

Sea \( U \) una matriz cuadrada cualquiera, de orden \( n \). Sea \( U^{\prime} \) la matriz que difiere de \( U \) únicamente en su résima columna. Tal que todos los elementos en dicha columna son opuestos al de la matriz \( U \).

Sea también, \( A \) una matriz que difiere de \( U \) sólo en su r-ésima columna. Tal que todos los elementos en dicha columna son nulos (0).

Entonces, por la propiedad P.2

\(  \left | A\right | =\left | U\right | +\left | U^{\prime}\right |  \)    (1)

Pero, por la propiedad P5, la matriz “U prima” es el resultante de haberse multiplicado la r-ésima columna de “U” por el escalar \( [k=-1 \). Luego,

\(  \left | U^{\prime}\right |=-\left | U\right |   \)       (2)

Con (2) en (1), es evidente que,

\(  \left | A\right | =0 \)   

METODO 2

Por la propiedad P.1 (\( |A^t|=|A| \)) se puede trabajar con columnas y el resultado se extiende a las filas.

Sea \( B \) una matriz cuadrada cualquiera de orden \( n \). Sea \( B^{\prime} \) la matriz resultante de multiplicar la r-ésima columna de \( B \) por un escalar \( k \).
Luego, por la propiedad P5 tenemos:

\(  \left | B^{\prime}\right | =k\left | B\right |  \)   

Sea \( A \) la matriz que resulta tomando \( k=0 \); de donde, es inmediato el resultado pedido.

MÉTODO 3

Por definición de “producto elemental” y la expansión de Laplace. El resultado es inmediato y trivial (véase 2.11.3)

[cerrar]

P7. Igualdad de dos filas (o columnas)Si la matriz A, tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces, su determinante es cero, \( \left | A^t \right | =0 \).

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Por la propiedad P1, sin pérdida de generalidad se puede trabajar solo con columnas, y el resultado se extiende a las filas.

Sea \( A \) la matriz dada y sea \( B \) la matriz que resulta de intercambiar las columnas que son iguales. Es evidente que tras intercambiar de posición las columnas, según lo dicho, entonces, \( B=A \). De aquí se sigue que: \( | B\right | = \left | A\right |=\Delta  \).
 
Pero, por la propiedad P3, \( \left | B\right | =- \left | A\right |=-\Delta  \), pues \( B \) es la matriz donde se ha intercambiado dos columnas entre sí. 

Pero \( \left | B\right | \), no puede ser positivo (\( \Delta  \)) y negativo (\( -\Delta  \))  a la vez, de donde se concluye que \( \left | A\right |=0 \).

[cerrar]

P8. Adición de un múltiplo de una fila (o columna) a otra Dada una matriz A, si se suma a una fila (o columna) un múltiplo de otra fila (o columna) el determinante de la matriz resultante B es igual al de la matriz A: \( \left | B\right | = \left | A\right |  \).

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Por la propiedad P1, no se pierde generalidad si trabajamos solo con columnas. Pues el resultado se extiende a las filas.

Si \( U \) difiere de \( A \) únicamente en su r-ésima columna; tal que, \( U \), es una matriz cuya r-ésima columna es igual a su t-ésima columna. Por P7, \( \left | U\right |=0 \).

Multiplicando la r-ésima columna de \( U \) por el escalar \( k \), obtenemos,

\( U^{\prime} \). Por la propiedad P5,

\( \left | U^{\prime}\right |=k\left | U\right |=0 \)        (1)

El enunciado de P8 es equivalente a la siguiente relación,

\( \left | B\right |=\left | A\right | +\left | U^{\prime}\right |  \)       (2)

Donde \( B \) es la matriz resultante de haberse sumado a la r-ésima columna de \( A \), un múltiplo de su t-ésima columna. Entonces, con (1) en (2), el resultado es inmediato.

[cerrar]

Por ejemplo,

Sea: \( A=\begin{bmatrix}{3}&{-2}&{2}\\{1}&{2}&{-3}\\{4}&{1}&{2}\end{bmatrix} \)

Sumando el doble de la segunda fila, a la primera columna fila,

\( B=\begin{bmatrix}{3+{2}\cdot {}1}&{-2+{2}\cdot {}2}&{2+ 2}\cdot {} (-3)}\\{1}&{2}&{-3}\\{4}&{1}&{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}&{2}&{-4}\\{1}&{2}&{-3}\\{4}&{1}&{2}\end{bmatrix} \)

Luego, los determinantes de \( A \) y \( B \) son iguales,

\( A=\begin{vmatrix}{3}&{-2}&{2}\\{1}&{2}&{-3}\\{4}&{1}&{2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{5}&{2}&{-4}\\{1}&{2}&{-3}\\{4}&{1}&{2}\end{vmatrix}=35 \)

2.11.5.2. Cálculo de determinantes (usando las propiedades P1-P8)

OJO:: Como ejercicio, sugiero al lector que resuelva los siguientes problemas usando únicamente las propiedades P1 al P8. Y si no resiste la tentación de ver los spoilers analice que propiedades ha usado el autor.

1. Calcular,

\( \Delta=\begin{vmatrix}{3}&{2}&{2}&{1}\\{6}&{5}&{4}&{-2}\\{9}&{-3}&{6}&{-5}\\{12}&{2}&{8}&{7}\end{vmatrix} \)

SOLUCIÓN

Spoiler

La primera columna es un múltiplo de 3. La tercera columna es múltiplo de 2. Luego, se puede sacar esos factores fuera del signo determinante, resulta,

\( \Delta=3\cdot {}2\begin{vmatrix}{1}&{2}&{1}&{1}\\{2}&{5}&{2}&{-2}\\{3}&{-3}&{3}&{-5}\\{4}&{2}&{4}&{7}\end{vmatrix}=0 \)

Pero este último determinante tiene dos columnas iguales. Por tanto, dicho determinante es igual a cero.

En conclusión,

\( \Delta=0 \)

[cerrar]

2. Sin desarrollar, ni usar la regla de Sarrus, determine los valores de \( \lambda \) para que el siguiente determinante sea igual a cero.

\( \Delta=\begin{vmatrix}{\lambda}&{1}&{0}\\{2}&{\lambda}&{2}\\{0}&{1}&{\lambda}\end{vmatrix} \)

     

SOLUCIÓN

Spoiler

Sumando la fila 1 y la fila 3 a la fila 2 (\( F_1+F_2+F_3\rightarrow F_2 \))

\( \Delta=\begin{vmatrix}{\lambda}&{1}&{0}\\{2}&{\lambda}&{2}\\{0}&{1}&{\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\lambda}&{1}&{0}\\{\lambda+2}&{\lambda+2}&{\lambda+2}\\{0}&{1}&{\lambda}\end{vmatrix} \)
     
Se puede sacar el factor común:

\( \Delta=(\lambda+2)\begin{vmatrix}{\lambda}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{\lambda}\end{vmatrix} \)       (1)

Artificio: Multiplicamos ambos miembros por \( \lambda \ne 0 \) afectando a la segunda columna del determinante.

\( \lambda\Delta=(\lambda+2)\begin{vmatrix}{\lambda}&{\lambda}&{0}\\{1}&{\lambda}&{1}\\{0}&{\lambda}&{\lambda}\end{vmatrix} \)

De la primera fila y también de la tercera fila, se puede sacar el factor común \( \lambda \), resultando,

\(  \cancel{\lambda}\cdot {}\Delta=\cancel{\lambda}\cdot {} \lambda(\lambda+2)\begin{vmatrix}{1}&{1}&{0}\\{1}&{\lambda}&{1}\\{0}&{1}&{1}\end{vmatrix} \)

Restando la primera fila y también la tercera fila a la segunda fila (\( -F_1+F_2-F_3\rightarrow F_2 \))

\( \Delta=\lambda(\lambda+2)\begin{vmatrix}{1}&{1}&{0}\\{0}&{\lambda-2}&{0}\\{0}&{1}&{1}\end{vmatrix} \)

Donde se puede sacar el factor común:

\( \Delta=\lambda(\lambda+2)(\lambda-2)\begin{vmatrix}{1}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{1}\end{vmatrix} \)

Restando la segunda fila a la primera: (\( F_1- F_2\rightarrow F_1 \))

\( \Delta=\lambda(\lambda+2)(\lambda-2)\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{1}\end{vmatrix} \)

Finalmente, restando la segunda fila a la tercera: (\( F_3- F_2\rightarrow F_3 \))

\( \Delta=\lambda(\lambda+2)(\lambda-2)\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{vmatrix} \)

El determinante de la matriz identidad es: 1. Por tanto, el determinante, cuando \( \lambda \ne 0 \) es,

\( \Delta=\lambda(\lambda+2)(\lambda-2) \)           (2)

Pero, por (1), si \( \lambda = 0 \), tenemos:

\( \Delta=(0+2)\begin{vmatrix}{0}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{0}\end{vmatrix} \)             (1’)

Pero, la primera fila y la tercera fila son iguales. Luego el determinante es cero.

En conclusión:

El determinante

\( \Delta=\begin{vmatrix}{\lambda}&{1}&{0}\\{2}&{\lambda}&{2}\\{0}&{1}&{\lambda}\end{vmatrix} \)       

Es cero, para los siguientes valores de “lambda”,

\( \lambda=0 \)         resultado (1’)     

\( \lambda=-2 \)    y   \( \lambda=2 \)          resultado (2)

[cerrar]

3. Calcular el determinante de la matriz triangular superior siguiente:

\( \Delta=\begin{vmatrix}{3}&{2}&{2}&{1}\\{0}&{5}&{4}&{-2}\\{0}&{0}&{6}&{-5}\\{0}&{0}&{0}&{7}\end{vmatrix} \)

SOLUCIÓN

Spoiler

Estrategia: Buscar la diagonalización,

De la cuarta fila sacamos el factor común 7,

\( \Delta=7\begin{vmatrix}{3}&{2}&{2}&{1}\\{0}&{5}&{4}&{-2}\\{0}&{0}&{6}&{-5}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{vmatrix} \)

Sumando 5 veces la cuarta fila a la tercera: (\( F_3+5 F_4\rightarrow F_3 \))

\( \Delta=7\begin{vmatrix}{3}&{2}&{2}&{1}\\{0}&{5}&{4}&{-2}\\{0}&{0}&{6}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{vmatrix} \)

De la tercera fila se puede sacar el factor común 6,

\( \Delta=7\cdot {}6\begin{vmatrix}{3}&{2}&{2}&{1}\\{0}&{5}&{4}&{-2}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{vmatrix} \)

A la segunda fila restamos 4 veces la tercera y sumamos 2 veces la cuarta: (\( F_2-4 F_3+2F_4\rightarrow F_2 \))

\( \Delta=7\cdot {}6\begin{vmatrix}{3}&{2}&{2}&{1}\\{0}&{5}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{vmatrix} \)

Sacamos el factor común (5) de la fila 2,

\( \Delta=7\cdot {}6 \cdot {}5\begin{vmatrix}{3}&{2}&{2}&{1}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{vmatrix} \)

Finalmente, a la primera fila restamos el doble de la segunda ; el doble de la tercera y restando la cuarta fila: (\( F_1-2F_2-2 F_3-F_4\rightarrow F_1 \))

\( \Delta=7\cdot {}6 \cdot {}5\begin{vmatrix}{3}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{vmatrix} \)

Sacamos el factor común: 3,

\( \Delta=7\cdot {}6 \cdot {}5 \cdot {}3\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{vmatrix} \)

Y dado que el determinante de la matriz identidad es 1. Resulta finalmente:

\( \Delta=7\cdot {}6 \cdot {}5 \cdot {}3=630 \)

[cerrar]

Más adelante, desarrollaremos otras técnicas para calcular determinantes; basados en el principio de reducción de orden.

Bien, esta vez parece que me extendí mucho... (por eso en dos mensajes). En el futuro intentaré ser más breve...! (pero, lo importante es conocer estas propiedades).

(continuará)

[nataivel]

2.11.6. OPERACIONES ESPECIALES CON MATRICES Y DETERMINANTES

Consideremos una matriz cualquiera, por ejemplo,

\( B=\begin{bmatrix}{a}&{b}&{c}&{d}\\{e}&{f}&{g}&{h}\\{s}&{t}&{u}&{v}\\{w}&{x}&{y}&{z}\end{bmatrix}  \)

A) OBTENCIÓN DE SUBMATRICES: Podemos suprimir una o más filas (o columnas) para obtener otra matriz de orden menor a la dada. Por ejemplo,

\( B=\begin{bmatrix}{*}&{b}&{c}&{*}\\{*}&{f}&{g}&{*}\\{*}&{*}&{*}&{*}\\{*}&{x}&{y}&{*}\end{bmatrix}  \)

Se obtiene la matriz,

\( B(3;1,4)=\begin{bmatrix}{b}&{c}\\{f}&{g}\\{x}&{y}\end{bmatrix}  \)

Con el símbolo: \( B(3;1,4) \) queremos indicar que en la matriz \( B \), hemos suprimido una fila (la tercera) y dos columnas (la primera y la cuarta columna).

A una matriz así obtenida se llama SUBMATRIZ.

Spoiler

Para determinar el orden de la submatriz es suficiente observar cuantas filas o columnas han sido eliminadas. En el ejemplo: Nuevo número de filas=4-1, nuevo número de columnas=4-2. Entonces la submatriz \( B(3;1,4) \) es de orden 3x2.

[cerrar]

A.1) SUBMATRIZ COMPLEMENTARIA DE UN ELEMENTO CUALQUIERA

En adelante (incisos A.1, A.2, A.3) supondremos que, \( a_i_j \) es un elemento cualquiera de la matriz cuadrada \( A \), de orden \( n \).

Se llama submatriz complementaria, a la matriz que se obtiene de “suprimir” la fila y la columna en que se encuentra dicho elemento, \( a_i_j \).

A la submatriz complementaria se conoce también como la MENOR DE LA MATRIZ \( A \). Es común representarla con la letra \( M_i_j \); sin embargo, nosotros escribiremos,

 

\( A_i_j \) es submatriz complementaria de \( a_i_j \)       (2.26)

(pues así es fácil relacionarla con la matriz original.)

Por ejemplo, si

\( A= \begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{a}&{b}&{c}\\{x}&{y}&{z}\end{bmatrix} \)
tenemos,

\(  A_1_1=\begin{bmatrix}{b}&{c}\\{y}&{z}\end{bmatrix} \) es submatriz complementaria de \( a_1_1=1 \)

\( A_1_2 \begin{bmatrix}{a}&{c}\\{x}&{z}\end{bmatrix} \) es submatriz complementaria de \( a_1_2=2 \)

\( A_1_3 \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{x}&{y}\end{bmatrix} \) es submatriz complementaria de \( a_1_3=3 \)

A.2) MENOR COMPLEMENTARIO

El determinante que resulta de suprimir la fila y la columna en que se encuentra un elemento \( a_i_j \) , se conoce como el menor complementario de \( a_i_j \). Luego, leeremos,

\( |A_i_j| \) es el MENOR COMPLEMENTARIO de \( a_i_j \)       (2.27)

En otras palabras, el menor complementario es el determinante de la submatriz complementaria (véase inciso anterior A.1).

A.3) COFACTOR O ADJUNTO

Llamaremos: adjunto de \( a_i_j \) y simbolizaremos, \(  a^+_{ij} \), al escalar que se obtiene de la fórmula,

\( \boxed{a^+_{ij}=(-1)^{i+j}|A_i_j|} \)       (2.28)

A veces, se llama también cofactor (véase “2.11.7. Desarrollo del determinante por una fila o columna cualquiera”)

ADVERTENCIA:

Algunos autores utilizan la notación \( A_i_j \) para comunicar que se trata de un cofactor (o adjunto). Nosotros NO vamos usar esa notación; pues el adjunto es un escalar y “hemos dicho” que toda matriz se escribirá con letras mayúsculas (de modo que si seguimos a esos autores, podría generarse ambigüedad). En este estudio, \( A_i_j \) es y será una (sub)matriz cuadrada de orden \( n-1 \) , (véase el inciso anterior A.1).

B) PARTICIÓN DE MATRICES

Si en una matriz \( A \) (de orden \( mxn \)) trazamos una línea vertical (entre dos columnas consecutivas) o una línea horizontal (entre dos filas consecutivas) la matriz queda dividida en dos o más regiones que contienen elementos de la matriz.

Cada región así formada se puede considerar  como una SUBMATRIZ. Y a esta operación llamamos PARTICIÓN; luego, diremos que \( A \) ha sido “particionada” en sus componentes;  porque, cada submatriz puede ser a su vez tratada como un elemento (componente) de la matriz \( A \).

Por ejemplo,

\( A=\left[\begin{array}{cc|ccc|cc}{1}&{1}&{1}&{0}&{3}&{0}&{4}\\\hline{2}&{2}&{1}&{1}&{1}&{1}&{3}\\{3}&{0}&{0}&{3}&{1}&{2}&{4}\\{1}&{0}&{1}&{0}&{2}&{2}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c|c}{A_1_1}&{A_1_2}&{A_1_3}\\\hline{A_2_1}&{A_2_2}&{ A_2_3}\end{array}\right]  \)

 \( B=\left[\begin{array}{c|c|c}{a}&{b}&{ c}\\{x}&{y}&{z}\\{u}&{v}&{w}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c|c}{B_1}&{B_2}&{B_3}\end{array}\right]  \)

Nótese que las submatrices se denotan por letras mayúsculas y además son “componentes” de la matriz correspondiente.

En el ejemplo, la matriz \( A \) se ha convertido en otra de orden 2x3 (respecto de las submatrices generadas) y la matriz \( B \) se ha convertido en una matriz fila de orden 1x3, cuyos componentes son matrices columna: \( B_1, B_2 y B_3 \).

Con matrices particionadas, se puede efectuar las dos operaciones fundamentales: la suma \( A+B \) y el producto \( AB \).  Para esto, tanto las matrices dadas como sus componentes deben ser COMPATIBLES para tales operaciones.

C) OPERACIONES ELEMENTALES

Sea \( A \) una matriz (cualquiera) de orden \( mxn \). Se dice que las operaciones elementales (en matrices) sobre filas son:

1) Intercambio de dos filas.

Spoiler

Ejemplo, sea \(  A  \) una matriz de orden 3x3. Particionando en matrices filas,

\(  A=\left[\begin{array}{c}{A_1}\\\hline{A_2}\\\hline{A_3}\end{array}\right]  \)

Se puede intercambiar la primera fila con la tercera, y resulta otra matriz (del mismo orden):

\(  B=\left[\begin{array}{c}{A_3}\\\hline{A_2}\\\hline{A_1}\end{array}\right]  \)

Esto se simboliza: \( F_1\leftrightarrow{F_3}  \)

[cerrar]

2) Multiplicación de una fila por un escalar.

Spoiler

Ejemplo, sea \(  A  \) una matriz de orden 4x3. Particionando en matrices filas,

\( A=\left[\begin{array}{c}{A_1}\\\hline{A_2}\\\hline{A_3}\\\hline{A_4}\end{array}\right]  \)
Se puede multiplicar la cuarta fila por \( k \) y resulta otra matriz \( B \) (del mismo orden),

\( B=\left[\begin{array}{c}{A_1}\\\hline{A_2}\\\hline{A_3}\\\hline{k\cdot{}A_4}\end{array}\right]  \)

Esto se simboliza:   \( k\cdot {}F_4 \rightarrow F_4 \)

OBSERVACIÓN: La flecha \( \rightarrow  \) debe sobreentenderse como un símbolo de ASIGNACIÓN DE VARIABLE. Por tanto, el sentido de la flecha indicará la fila que ha sido modificada. También se pudo haber escrito:   \(  F_4\leftarrow k\cdot {}F_4 \).

[cerrar]

3) Sumar \( k \) veces una fila  a otra fila.

Spoiler

Ejemplo, sea \( A \) una matriz de orden 4x5. Particionando en matrices filas,

\( A=\left[\begin{array}{c}{A_1}\\\hline{A_2}\\\hline{A_3}\\\hline{A_4}\end{array}\right]  \)

Se puede multiplicar la tercera fila por \( 2 \) y sumarla a la primera; resulta otra matriz \( B \) (del mismo orden),

\( B=\left[\begin{array}{c}{A_1+2A_3}\\\hline{A_2}\\\hline{A_3}\\\hline{A_4}\end{array}\right]  \)

Esto se simboliza:   \( F_1+2F_3 \rightarrow F_3 \)

[cerrar]

Análogamente, se puede definir las OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE COLUMNAS.

D) OPERACIONES ELEMENTALES EN DETERMINANTES SOBRE MATRICES PARTICIONADAS

Un aspecto interesante que podemos observar es que, cuando una matriz \( A \) se particiona convenientemente; entonces, en su determinante se pueden efectuar las operaciones elementales sobre filas particionadas o (columnas particionadas) de forma análoga a las operaciones descritas en el anterior inciso (véase inciso C).

Esto lo analizaremos con más detenimiento cuando estudiemos "la inversa de una matriz".

2.11.7. DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR UNA FILA O COLUMNA CUALQUIERA.

Si bien la fórmula de expasión de Laplace (formula 2.25) proporciona el valor exacto de cualquier determinante; con determinantes de orden \( n \geq 4  \) es extensa e impracticable.

La siguiente fórmula se conoce como el “desarrollo de Laplace por una fila cualquiera”.

2.11.7.1. Teorema

Sea, \(  \begin{bmatrix}{a_i_1}&{a_i_2}&{\ldots}&{a_i_n}\end{bmatrix} \) la i-ésima fila de una matriz cuadrada \( A \), de orden \( n \), y sean,

\(  a^+_{i1},a^+_{i2},\ldots,a^+_{in} \)  los COFACTORES (o adjuntos) de cada elemento (correspondiente) de la fila dada. Entonces, el determinante de \( A \) es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila por su correspondiente adjunto.

\(  \boxed{\mbox{det}(A)=a_i_1\cdot{}a^+_{i1} + a_i_2\cdot{}a^+_{i2} +\ldots+ a_i_n\cdot{}a^+_{in}}  \)       (2.29)

NOTA: El término “cofactor” se justifica con esta fórmula, pues \( a^+_{ij} \) es factor de \( a_{ij} \) y viceversa. Análogamente, el término adjunto tiene una connotación semejante.

Por otra parte, la siguiente fórmula es el “desarrollo de Laplace por una columna cualquiera”.

2.11.7.2. Teorema

Sea, \(  \begin{bmatrix}{a_1_j}\\{a_2_j}\\{\ldots}\\{a_n_j}\end{bmatrix} \) la j-ésima columna de una matriz cuadrada \( A \), de orden \( n \), y sean,

\(  a^+_{1j},a^+_{2j},\ldots,a^+_{nj} \)  los COFACTORES (o adjuntos) de cada elemento (correspondiente) de la columna dada. Entonces, el determinante de \( A \) es igual a la suma de los productos de los elementos de la columna por su correspondiente adjunto.

\( \boxed{\mbox{det}(A)=a_1_j\cdot{}a^+_{1j} + a_2_j\cdot{}a^+_{2j} +\ldots+ a_n_j\cdot{}a^+_{nj}} \)       (2.30)

EJEMPLO:

Calcular el determinante de la matriz, desarrollando por la tercera columna,

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{2}&{-2}&{1}\\{-2}&{2}&{3}\end{bmatrix} \)

SOLUCIÓN

Spoiler

La tercera columna es: \( \begin{bmatrix}{-1}\\{1}\\{3}\end{bmatrix} \)

Primero calculamos los “menores complementarios” (véase 2.11.6, inciso A.2), y sus “adjuntos” (véase 2.11.6, inciso A.3, fórmula 2.28).

a) Menor del elemento: -1 , \( |A_1_3|=\begin{vmatrix}{2}&{-2}\\{-2}&{2}\end{vmatrix}=0  \)

Luego, el adjunto de:-1 es \( {a_1_3}^+=+0=0 \)

b) Menor del elemento: 1 , \( |A_2_3|=\begin{vmatrix}{1}&{1}\\{-2}&{2}\end{vmatrix}=4  \)
Luego, el adjunto de:1 es \( {a_2_3}^+=-(4)=-4 \)

c) Menor del elemento: 3 , \( |A_3_3|=\begin{vmatrix}{1}&{1}\\{2}&{-2}\end{vmatrix}=-4  \)
Luego, el adjunto de:3 es \( {a_3_3}^+=+(-4)=-4 \)

Finalmente, por el teorema anterior (2.11.6.1),

\( \mbox{det}A=(-1)\cdot{}0+1\cdot{}(-4)+3\cdot{}(-4)=-16 \)

OTRO MÉTODO,

\( \begin{vmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{2}&{-2}&{1}\\{-2}&{2}&{3}\end{vmatrix}=(-1)\displaystyle{(+1)\begin{vmatrix}{2}&{-2}\\{-2}&{2}\end{vmatrix}}}+ (1)\displaystile{(-1)\begin{vmatrix}{1}&{1}\\{-2}&{2}\end{vmatrix}}+(3)\displaystyle{(+1)\begin{vmatrix}{1}&{1}\\{2}&{-2}\end{vmatrix}} \)

\( \begin{vmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{2}&{-2}&{1}\\{-2}&{2}&{3}\end{vmatrix}=(-1){(+0)}+ (1){(-1)(4)}+(3){(+1)(-4)}=-16 \)

[cerrar]

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Consideremos la matriz, (de orden \( nxn \)), en cuya primera fila todos los elementos son ceros (0) excepto el primero; que es igual a 1 (\( m_1_1=1 \)).

\( M=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{\ldots}&{0}\\{m_2_1}&{m_2_2}&{m_2_3}&{\ldots}&{m_2_n\\{m_3_1}&{m_3_2}&{m_3_3}&{\ldots}&{m_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{m_n_1}&{m_n_2}&{m_n_3}&{\ldots}&{m_n_n}\end{bmatrix}  \)       (1)

Probaremos que: \( \mbox{det}(M)=\mbox{det}(M_1_1) \) (el determinante de la matriz \( M \) es igual al menor complementario de \( m_1_1=1 \).

En efecto, por la fórmula de expansión de Laplace (fórmula 2.25) el determinante de \( M \) es,
\(  \det{M}=\displaystyle\sum_{(j_1,j_2,\ldots,j_n)}{(-1)^{\varphi(j_1,j_2,\ldots,j_n)}m_1_{j_1}m_2_{j_2}\ldots m_n_{j_n}}  \)       (2)

Pero, \(  m_1_{j_1}=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& j_1=1\\0 & \mbox{si}& j_1 \ne \color{red}1\color{black}\end{matrix} \)       (3)

De modo que, solo puede ser,

\(  m_1_{j_1}m_2_{j_2}\ldots m_n_{j_n}}=m_2_{j_2}\ldots m_n_{j_n}} \)       (4)

Es decir, los productos elementales de la matriz \( M \) son exactamente iguales a los productos elementales de la submatriz complementaria \( M_1_1 \).

Ahora, nos falta probar que también tienen el mismo signo en la sumatoria.

Consideremos la permutación: \(  1,j_2,j_3,\ldots,j_n  \) resultante después de varias transposiciones de la sucesión natural \( 1,2,3,\ldots,n \) , donde el primer término \( 1 \), no se ha movido de su posición original. Luego, la paridad de tal permutación, solo depende de la permutación \( j_2,j_3,\ldots,j_n  \) resultante de la sucesión \( 2,3,\ldots,n \) (en orden natural). Esto es,

\( \varphi(1,j_2,j_3,\ldots,j_n)=\varphi(j_2,j_3,\ldots,j_n) \)       (5)

Pero, de acuerdo con (3), se justifica que pueda reemplazarse (4) y (5) en (2). O sea,

\( \mbox{det}(M)=\displaystyle\sum_{(j_1,j_2,\ldots,j_n)}{(-1)^{\varphi(j_1,j_2,\ldots,j_n)}m_1_{j_1}m_2_{j_2}\ldots m_n_{j_n}}=\displaystyle\sum_{(j_2,\ldots,j_n)}{(-1)^{\varphi(j_2,\ldots,j_n)}m_2_{j_2}\ldots m_n_{j_n}}=\mbox{det}(M_1_1) \)       

O también,

\( \mbox{det}(M)=\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}&{\ldots}&{0}\\{m_2_1}&{m_2_2}&{m_2_3}&{\ldots}&{m_2_n\\{m_3_1}&{m_3_2}&{m_3_3}&{\ldots}&{m_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{m_n_1}&{m_n_2}&{m_n_3}&{\ldots}&{m_n_n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{m_2_2}&{m_2_3}&{\ldots}&{m_2_n\\{m_3_2}&{m_3_3}&{\ldots}&{m_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{m_n_2}&{m_n_3}&{\ldots}&{m_n_n}\end{vmatrix}=\mbox{det}(M_1_1)  \)       (6)

Por otra parte, si tenemos otra matriz \( M^{\prime} \) tal que todos los elementos de la i-ésima fila son ceros (0); excepto el elemento, \( m^{\prime}_{ij}=1 \). Es decir,

\( M^{\prime}=\begin{bmatrix}m^{\prime}_{11}&m^{\prime}_{12}&{\ldots}&m^{\prime}_{1j}&{\ldots}&m^{\prime}_{1n}\\m^{\prime}_{21}&m^{\prime}_{22}&{\ldots}&m^{\prime}_{2j}&{\ldots}&m^{\prime}_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\0&0&{\ldots}&1&{\ldots}&0\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\m^{\prime}_{n1}&m^{\prime}_{n2}&{\ldots}&m^{\prime}_{nj}&{\ldots}&m^{\prime}_{nn}\end{bmatrix}  \)       (7)

Entonces, el determinante de \( M^{\prime} \) puede llevarse a la forma (6) con el siguiente procedimiento. 1) Si intercambiamos la i-ésima fila (la que contiene los ceros) con la fila inmediata superior el determinante cambia de signo (véase 2.11.5. Primeras propiedades del determinante, P3.), pero (la fila) sube una posición. Continuando así sucesivamente, existirá “i-1” intercambios de filas. De donde el determinante tendrá el signo: \( (-1)^{i-1} \). De aquí tendremos:

\(  \mbox{det}(M^{\prime})=(-1)^{i-1}\begin{vmatrix}0&0&{\ldots}&1&{\ldots}&0\\m^{\prime}_{11}&m^{\prime}_{12}&{\ldots}&m^{\prime}_{1j}&{\ldots}&m^{\prime}_{1n}\\m^{\prime}_{21}&m^{\prime}_{22}&{\ldots}&m^{\prime}_{2j}&{\ldots}&m^{\prime}_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\m^{\prime}_{n1}&m^{\prime}_{n2}&{\ldots}&m^{\prime}_{nj}&{\ldots}&m^{\prime}_{nn}\end{vmatrix}  \)

2) Análogamente, si intercambiamos la j-ésima columna con la inmediata de su izquierda, el determinante cambia de signo. Continuando este proceso hasta lograr llevar esta columna a la posición primera, el determinante tendrá ahora el signo: \( (-1)^{j-1} \). Luego,

\(  \mbox{det}(M^{\prime})=(-1)^{j-1}(-1)^{i-1}\begin{vmatrix}1&0&0&{\ldots}&0\\m^{\prime}_{1j}&m^{\prime}_{11}&m^{\prime}_{12}&{\ldots}&m^{\prime}_{1n}\\m^{\prime}_{2j}&m^{\prime}_{21}&m^{\prime}_{22}&{\ldots}&m^{\prime}_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\m^{\prime}_{nj}&m^{\prime}_{n1}&m^{\prime}_{n2}&{\ldots}&m^{\prime}_{nn}\end{vmatrix} =(-1)^{i+j}\mbox{det}(M^{\prime}_{ij}) \)       (8)

Finalmente, consideremos la matriz, de orden \( nxn \),

\( A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{i1}&a_{i2}&{\ldots}&a_{ij}&{\ldots}&a_{in}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{bmatrix}  \)       (9)

Por las propiedades (P2=suma de determinantes) y (P5=multiplicación de un determinante por un escalar), el determinante de \( A \), se puede expandir, por la i-ésima fila, en la forma,

\(  |A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{i1}&a_{i2}&{\ldots}&a_{ij}&{\ldots}&a_{in}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{vmatrix}= a_i_1\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\1&0&{\ldots}&0&{\ldots}&0\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{vmatrix}+a_i_2\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\0&1&{\ldots}&0&{\ldots}&0\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{vmatrix}+\ldots+a_i_n\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\0&0&{\ldots}&0&{\ldots}&1\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{vmatrix}  \)          (10)

En cada sumando, cada determinante tiene la forma del determinante \( M^{\prime} \) (ec. 8), y según esta, (10) se puede escribir en la forma:

\(  |A|=a_i_1(-1)^{i+1}|A_i_1|+a_i_2(-1)^{i+2}|A_i_2|+\ldots+a_i_n(-1)^{i+n}|A_i_n|  \)          (11)

Pero, por definición de adjunto (o cofactor), (11) también se puede escribir en la forma:

\(  \boxed{\mbox{det}(A)=a_i_1\cdot{}a^+_{i1} + a_i_2\cdot{}a^+_{i2} +\ldots+ a_i_n\cdot{}a^+_{in}}  \)       (12)

Con lo que se demuestra el teorema 2.11.7.1.

Para el teorema 2.11.7.2, aplicamos el teorema anterior (12.11.7.1) a la transpuesta de la matriz \( A^t \). Entonces, por la propiedad P1 (=determinante de la transpuesta) este último teorema (12.11.7.2) queda demostrado.

[cerrar]

12.11.7.3. COROLARIO

Dada la matriz \( A \), de orden \( nxn \), entonces, la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los cofactores de otra fila (o columna) es igual a cero.

DEMOSTRACIÓN

Spoiler

Sea \( B \), una matriz que difiere de \( A \) en su r-ésima fila: \(  \begin{bmatrix}{b_r_1}&{b_r_2}&{\ldots}&{b_r_n}\end{bmatrix} \) y \(  \begin{bmatrix}{a_r_1}&{a_r_2}&{\ldots}&{a_r_n}\end{bmatrix} \), respectivamente.

Luego, por el teorema anterior (2.11.7.1), el determinante de \( B \), se puede expandir en la forma,

\(  \mbox{det}(B)=b_r_1\cdot{}b^+_{r1} + b_r_2\cdot{}b^+_{r2} +\ldots+ b_r_n\cdot{}b^+_{rn}  \)       (1)

Pero, como \( B \), difería de \( A \) en su r-ésima fila solamente; entonces, los cofactores son iguales: \( b^+_{rj}=a^+_{rj}  \), para todo j=1,2,3,…,n. Por tanto,   

\(  \mbox{det}(B)=b_r_1\cdot{}a^+_{r1} + b_r_2\cdot{}a^+_{r2} +\ldots+ b_r_n\cdot{}a^+_{rn}  \)       (2)

Ahora, sea \( C \), una matriz que difiere de \( A \), en su r-ésima fila; tal que, es igual a otra fila t-ésima.

Entonces, por (2), desarrollando el determinante de \( C \), según su r-ésima fila,

\(  \mbox{det}(C)=c_r_1\cdot{}a^+_{r1} + c_r_2\cdot{}a^+_{r2} +\ldots+ c_r_n\cdot{}a^+_{rn}  \)       (3)

Pero, por la condición dada, tenemos: \( c_{rj}=a_{tj}  \), para todo j=1,2,3,…,n. De donde, (3) se puede escribir,

\(  \mbox{det}(C)=a_t_1\cdot{}a^+_{r1} + a_t_2\cdot{}a^+_{r2} +\ldots+ a_t_n\cdot{}a^+_{rn}  \)       (4)

Por otra parte, como dos filas de \( C \) son iguales, por la propiedad P5 (\(  \mbox{det}(C)=0  \)), de donde,

\( \boxed{ a_t_1\cdot{}a^+_{r1} + a_t_2\cdot{}a^+_{r2} +\ldots+ a_t_n\cdot{}a^+_{rn}=0} \)

Como se quería demostrar…!

Para el caso de las columnas se sigue el mismo proceso y teniendo en cuenta que \( \mbox{det}(A)=\mbox{det}(A^t) \).

[cerrar]

2.11.7.4. CRITERIO DE REDUCCIÓN DE ORDEN

De los teoremas de “desarrollo del determinante por una fila (o columna) cualquiera” (teoremas 2.11.7.1 y 2.11.7.2) se tiene el siguiente criterio:

CRITERIO:

Si un determinante se puede expresar en forma tal que los elementos de la primera fila (o de la primera columna), colocados después del primer elemento, sean todos iguales a cero (0). Entonces, el determinante es igual a otro de orden una unidad menor.

Es decir,

\( |A|=\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}&{a_1_3}&{\ldots}&{a_1_n}\\{a_2_1}&{a_2_2}&{a_2_3}&{\ldots}&{a_2_n\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3}&{\ldots}&{a_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{a_n_1}&{a_n_2}&{a_n_3}&{\ldots}&{a_n_n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{m_1_1}&{0}&{0}&{\ldots}&{0}\\{m_2_1}&{m_2_2}&{m_2_3}&{\ldots}&{m_2_n\\{m_3_1}&{m_3_2}&{m_3_3}&{\ldots}&{m_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{m_n_1}&{m_n_2}&{m_n_3}&{\ldots}&{m_n_n}\end{vmatrix}=m_1_1\begin{vmatrix}{m_2_2}&{m_2_3}&{\ldots}&{m_2_n\\{m_3_2}&{m_3_3}&{\ldots}&{m_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{m_n_2}&{m_n_3}&{\ldots}&{m_n_n}\end{vmatrix} \)

\( |A|=\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}&{a_1_3}&{\ldots}&{a_1_n}\\{a_2_1}&{a_2_2}&{a_2_3}&{\ldots}&{a_2_n\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3}&{\ldots}&{a_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{a_n_1}&{a_n_2}&{a_n_3}&{\ldots}&{a_n_n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{m^{\prime}_{11}}&{m^{\prime}_{12}}&{m^{\prime}_{13}}&{\ldots}&{m^{\prime}_{1n}}\\{0}&{m^{\prime}_{22}}&{m^{\prime}_{23}}&{\ldots}&{m^{\prime}_{2n}\\{0}&{m^{\prime}_{32}}&{m^{\prime}_{33}}&{\ldots}&{m^{\prime}_{3n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{0}&{m^{\prime}_{n2}}&{m^{\prime}_{n3}}&{\ldots}&{m^{\prime}_{nn}}\end{vmatrix}=m^{\prime}_{11}\begin{vmatrix}{m^{\prime}_{22}}&{m^{\prime}_{23}}&{\ldots}&{m^{\prime}_{2n}\\{m^{\prime}_{32}}&{m^{\prime}_{33}}&{\ldots}&{m^{\prime}_{3n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{m^_{n2}}&{m^{\prime}_{n3}}&{\ldots}&{m^{\prime}_{nn}}\end{vmatrix}  \)

Basados en este criterio, se puede desarrollar algunos métodos de evaluación de determinantes. (Esto se hará en la siguiente entrega).

EJEMPLO: Justifique por qué el determinante de una matriz triangular de orden \( n\times n \) es igual a los productos de los elementos de su diagonal principal.

RESPUESTA:

Spoiler

Por ejemplo, sea el determinante de una matriz triangular (de orden 4x4), que tiene la forma:

\( \Delta=\begin{vmatrix}{*}&{*}&{*}&*\\{0}&{*}&{*}&*\\{0}&{0}&{*}&*\\0&0&0&*\end{vmatrix} \)       (1)

Aplicando el criterio de reducción de orden, tenemos,

\( \Delta=\begin{vmatrix}{*}&{*}&{*}&*\\{0}&{*}&{*}&*\\{0}&{0}&{*}&*\\0&0&0&*\end{vmatrix}=*\begin{vmatrix}{*}&{*}&{*}\\{0}&{*}&{*}\\{0}&{0}&{*}\end{vmatrix} \)       (2)

Que es el "producto del primer elemento (de la diagonal principal) por el determinante de otra matriz triangular de orden reducido, (3x3).

De aquí se infiere que, el determinante del segundo miembro (en 2) tambien podrá expresarse como producto de su primer elemento por otro determinante triangular de menor orden.

Y como cada primero elemento (en ese proceso)) pertenecen a la diagonal principal, se deduce que el determinante es el producto de todos los elementos que figuran en dicha diagonal.

De este modo, cualquiera sea el orden de la matriz triangular; su determinante, siempre podrá expresarse como el producto de los elementos de su diagonal principal.

[cerrar]

(continuará)

¡Atención!: Se ha modificado drásticamente los deteminantes del "criterio de reducción de orden". Y un par de erratas en la demostración del "teorema de desarrollo del determinante por una fila..." (Si aún persisten otros errores, agradeceré a los visitantes informarme de los mismos.

[nataivel]

2.11.8. MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE DETERMINANTES DE ORDEN: “n”

a continuación describiremos los cuatro métodos más conocidos para evaluar determinantes. Más adelante, estudiaremos otros métodos más potentes (una vez hayamos definido la inversa de una matriz.

2.11.8.1. MÉTODOS EN QUE SE CONSERVA EL ORDEN

El método de operaciones elementales emplea las propiedades de determinantes. El método de Leverrier-Faddeev emplea operaciones matriciales.

2.11.8.1.1. Método de las operaciones elementales

Spoiler

Las propiedades P1 al P8, de la sección 2.11.5, son autosuficientes para calcular determinantes de cualquier orden.

En particular, cuando empleamos las propiedades, P3, P5 y P8; el método se llama “de las operaciones elementales”, que como vimos en la sección 2.11.6 (inciso c) se trata de,

Propiedad P3: Intercambio de dos filas (o columnas),

Propiedad P5: Multiplicación de una fila (o columna) por un escalar, y

Propiedad P8: Sumar \( k \) veces una fila (o columna) a otra fila (o columna),

Estas tres, pueden combinarse con la propiedad P4 (=determinante de la matriz identidad).

[cerrar]

EJEMPLO

Por el método de operaciones elementales, calcular \( |B| \), donde,

\( B= \begin{bmatrix}{-1}&{1}&{2}&{1}\\{0}&{3}&{2}&{-1}\\{1}&{4}&{2}&{1}\\{3}&{1}&{3}&{2}\end{bmatrix}  \)

SOLUCIÓN

Spoiler

Sea,

\( \Delta= \begin{vmatrix}{-1}&{1}&{2}&{1}\\{0}&{3}&{2}&{-1}\\{1}&{4}&{2}&{1}\\{3}&{1}&{3}&{2}\end{vmatrix}  \)

Aprovechando que el elemento \( b_1_1=-1 \) está en la diagonal principal, efectuamos,

a) \( F_1+F_3 \rightarrow{F_3}  \),

b) \( 3F_1+F_4 \rightarrow{F_4}  \), con lo que en la primera columna del determinante aparecen ceros (0) por debajo de: -1,

\( \Delta= \begin{vmatrix}{-1}&{1}&{2}&{1}\\{0}&{3}&{2}&{-1}\\{0}&{5}&{4}&{2}\\{0}&{4}&{9}&{5}\end{vmatrix}  \)

Ahora, trabajemos sobre las columnas,

a) \(  C_1+C_2 \rightarrow{C_2}  \),

b) \( 2C_1+C_3 \rightarrow{C_3}  \),

c) \( C_1+C_4 \rightarrow{C_4}  \), resulta,

\( \Delta= \begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{3}&{2}&{-1}\\{0}&{5}&{4}&{2}\\{0}&{4}&{9}&{5}\end{vmatrix}  \)

OBSERVACIÓN

Obsérvese que los únicos elementos que han variado (con respecto al anterior determinante) son los elementos de la primera fila. Esto es obvio, pues en la primera columna todos los elementos (excepto el primero) son nulos. En adelante, vamos a aprovechar esta OBSERVACIÓN que hacemos para automatizar este último proceso (sobre columnas).
El siguiente elemento (sobre la diagonal) es \( a_2_2=3 \), para no proseguir toscamente (o sea, para que no nos obliguemos a dividir por 3), hacemos,

 \( F_2-F_4 \rightarrow{F_2}  \), y resulta,

\( \Delta= \begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{-7}&{-6}\\{0}&{5}&{4}&{2}\\{0}&{4}&{9}&{5}\end{vmatrix}  \)

Ahora, proseguimos,

a) \( 5F_2+F_3 \rightarrow{F_3}  \),

b) \( 4F_2+F_4 \rightarrow{F_4}  \), resulta,

\( \Delta= \begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{-7}&{-6}\\{0}&{0}&{-31}&{-28}\\{0}&{0}&{-19}&{-19}\end{vmatrix}  \)

Con la OBSERVACION anterior,

\( \Delta= \begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{-7}&{-6}\\{0}&{0}&{-31}&{-28}\\{0}&{0}&{-19}&{-19}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-31}&{-28}\\{0}&{0}&{-19}&{-19}\end{vmatrix}   \)

Este último determinante ya es más sencillo; además, en la cuarta fila se puede sacar el factor común: -19,

\( \Delta= -19\begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-31}&{-28}\\{0}&{0}&{1}&{1}\end{vmatrix}   \)

Ahora, \( F_3 \leftrightarrow F_4 \),   

\( \Delta= 19\begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{-31}&{-28}\end{vmatrix}   \)

Entonces,

a) \( 31F_3+F_4 \rightarrow{F_4}  \),

\( \Delta= 19\begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{3}\end{vmatrix}   \)

Y con la OBSERVACIÓN anterior,

\( \Delta= 19\begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{3}\end{vmatrix}=19\begin{vmatrix}{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{3}\end{vmatrix}  \)

Finalmente, de la fila 1, sale el factor común: -1; de la fila 2, sale el factor común: -1; de la fila 4 sale el factor común: 3,

\( \Delta= 19(-1)(-1)(3){\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{vmatrix}}=19(-1)(-1)(3)(1)=57  \)

Conclusión:

\( |B|= \begin{vmatrix}{-1}&{1}&{2}&{1}\\{0}&{3}&{2}&{-1}\\{1}&{4}&{2}&{1}\\{3}&{1}&{3}&{2}\end{vmatrix}=57  \)

[cerrar]

2.11.8.1.2. El método de Leverrier-Faddeev
 

Spoiler

Este método es conocido también, a veces, como el “esquema de Faddeva” o el “método de Faddeva”. Es un algoritmo, basado en producto de matrices, que permite determinar los coeficientes \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) que se encuentran en la siguiente igualdad polinómica de matrices,

\( A^n+a_1A^{n-1}+a_2A^{n-2}+\ldots+a_n_-_1A+a_nI=0  \)       (2.31)

donde \( A \) es una matriz cuadrada, de orden \( n \).

El determinante de \( A \) según lo anterior es igual al último coeficiente con signo, o sea,
 

\(  \boxed{\mbox{det}(A)=\begin{Bmatrix} a_n & \mbox{ si }&n &\mbox{par}\\-a_n & \mbox{ si }&n &\mbox{impar}\end{matrix}}  \)       (2.32)

NOTA: La importancia de este método radica en que también se puede obtener la matriz inversa (que se verá más adelante) y la matriz transpuesta (que se verá más adelante).

[cerrar]

EL ALGORITMO:

Spoiler

1) \( A=A_1 \)  y  \( a_1=-tr(A_1) \), entonces, \( B_1=A_1+a_1I \),

2) \( A_2=A_1B_1 \)  y  \(  a_2=- \displaystyle{\left[\frac{ tr(A_2) }{2}\right]}  \), entonces, \( B_2=A_2+a_2I \),

3)  \( \ldots  \),

4) \( A_k=A_1B_{k-1} \)  y  \(  a_k=- \displaystyle{\left[\frac{ tr(A_k) }{k}\right]}  \), entonces, \( B_k=A_k+a_kI \),

5)  \( \ldots  \)

NOTA: El algoritmo termina cuando hemos obtenido  \( B_n=0 \)

[cerrar]

OBSERVACIÓN:

Spoiler

Este método ha sido ideado, por Leverrier y modificado (después) por Faddeev, para determinar la llamada "ecuación característica":

\( P(\lambda)=(-1)^n[\lambda^n+a_1\lambda ^{n-1}+a_2\lambda ^{n-2}+\ldots+a_n_-_1\lambda +a_n]=0  \)       (1)

(A las raíces de esta ecuación se llaman “valores propios” o “eigen-valores”)

que resulta de desarrollar el siguiente determinante (igualado a cero),

\( P(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda)=\begin{vmatrix}{a_1_1-\lambda}&{a_1_2}&{a_1_3}&{\ldots}&{a_1_n}\\{a_2_1}&{a_2_2-\lambda }&{a_2_3}&{\ldots}&{a_2_n\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3-\lambda }&{\ldots}&{a_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{a_n_1}&{a_n_2}&{a_n_3}&{\ldots}&{a_n_n-\lambda }\end{vmatrix}=0  \)       (2)

Es evidente que haciendo \( \lambda=0 \) en (1) y (2), se tiene: \( \mbox{det}(A)=P(0)=(-1)^na_n \), que es lo mismo que la fórmula 2.32.

[cerrar]

2.11.8.2. MÉTODOS EN QUE SE REDUCE EL ORDEN

Para estos métodos se utiliza tácitamente el "criterio de reducción de orden". La regla de Chio requiere buen manejo de operaciones elementales respecto a valores fraccionarios. La fórmula de "condensación pivotal" es el más idoneo cuando requerimos obtener el determinante de forma rápida.

2.11.8.2.1. La regla de Chio

Spoiler

Es un algoritmo que se puede describir así:

0) Dado el determinante, de orden "n",

\( |A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{i1}&a_{i2}&{\ldots}&a_{ij}&{\ldots}&a_{in}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{vmatrix}  \)       (1)

1) Seleccionar un elemento \( a_i_j \ne 0 \) en el determinante dado. A este elemento llamaremos PIVOTE.

\( |A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{i1}&a_{i2}&{\ldots}&\boxed{a_{ij}}&{\ldots}&a_{in}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{vmatrix}  \)       (2)

2) Dividir la fila del pivote por \( a_i_j \). En este paso el determinante queda multiplicado por \( a_i_j \).

\( |A|=|A|=a_i_j\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\\displaystyle{\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&\displaystyle{\frac{a_{i2}}{a_{ij}}}&{\ldots}&1&{\ldots}&\displaystyle{\frac{a_{in}}{a_{ij}}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{vmatrix}     \)       (3)

3) Mediante operaciones elementales, a cada fila \( k \ne i \) le restamos la fila  \( i \) multiplicada por el elemento \( a_k_j \)  (\( F_k+a_k_jF_i \rightarrow{} F_k \)) . De este modo, todos los elementos de la columna del pivote, se convierten en ceros (0).

\(  |A|=a_i_j\begin{vmatrix}a_{11}-a_1_1\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&a_{12}-a_1_2\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{i2}}{a_{ij}}}&{\ldots}&0&{\ldots}&a_{1n}-a_1_n\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{in}}{a_{ij}}}\\a_{21}-a_2_1\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&a_{22}-a_2_2\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{i2}}{a_{ij}}}&{\ldots}&0&\ldots&a_{2n}-a_2_n\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{in}}{a_{ij}}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\\displaystyle{\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&\displaystyle{\frac{a_{i2}}{a_{ij}}}&{\ldots}&1&{\ldots}&\displaystyle{\frac{a_{in}}{a_{ij}}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}-a_n_1\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&a_{n2}-a_n_2\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{i2}}{a_{ij}}}&{\ldots}&0&{\ldots}&a_{nn}-a_n_n\cdot{}\displaystyle{\frac{a_{in}}{a_{ij}}}\end{vmatrix}  \)       (4)

4) Desarrollar por la columna del pivote (teniendo en cuenta el signo del determinante menor). En este paso, el determinante reduce su orden en una unidad.

[cerrar]

2.11.8.2.2. Formula de la condensación pivotal

Spoiler

Con un procedimiento semejante a la regla de Chio, se puede obtener una fórmula cuyos cálculos son fáciles de realizar.

1) Seleccionamos como pivote el elemento \( a_1_1\ne0 \). Si fuera \( a_1_1=0 \), intercambiamos con otra fila o columna (teniendo en cuenta que cambiará el signo del determinante).

\( |A|=\begin{vmatrix}\boxed{a_{11}}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&{\ldots}&a_{2j}&{\ldots}&a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{i1}&a_{i2}&{\ldots}&a_{ij}&{\ldots}&a_{in}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{n1}&a_{n2}&{\ldots}&a_{nj}&{\ldots}&a_{nn}\end{vmatrix} \)       (1)

2) Multiplicamos por \( a_1_1 \) todas y cada una de las “n-1” filas (donde no figura el pivote).

\(  (a_1_1)^{n-1}|A|=\begin{vmatrix}\boxed{a_{11}}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\a_{11}a_{21}&a_{11}a_{22}&{\ldots}&a_{11}a_{2j}&{\ldots}&a_{11}a_{2n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{11}a_{i1}&a_{11}a_{i2}&{\ldots}&a_{11}a_{ij}&{\ldots}&a_{11}a_{in}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\a_{11}a_{n1}&a_{11}a_{n2}&{\ldots}&a_{11}a_{nj}&{\ldots}&a_{11}a_{nn}\end{vmatrix}  \)       (2)

3) Restamos a cada fila (en la posición \( k \ne 1 \)) la primera fila multiplicada por el elemento \( a_k_1 \) (\( -a_k_1F_1+F_k \rightarrow{} F_k  \))

\( (a_1_1)^{n-1}|A|=\begin{vmatrix}\boxed{a_{11}}&a_{12}&{\ldots}&a_{1j}&{\ldots}&a_{1n}\\0&a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}&{\ldots}&a_{11}a_{2j}-a_{21}a_{1j}&{\ldots}&a_{11}a_{2n}-a_{21}a_{1n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\0&a_{11}a_{i2}-a_{i1}a_{12}&{\ldots}&a_{11}a_{ij}-a_{i1}a_{1j}&{\ldots}&a_{11}a_{in}-a_{i1}a_{1n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\0&a_{11}a_{n2}-a_{n1}a_{12}&{\ldots}&a_{11}a_{nj}-a_{n1}a_{1j}&{\ldots}&a_{11}a_{nn}-a_{n1}a_{1n}\end{vmatrix}  \)

4) Primero, desarrollamos el determinante por la primera columna. Y a continuación, expresamos las diferencias (de productos dobles) en forma de determinante, de orden 2,

[cerrar]

\(  (a_1_1)^{n-2}\cdot{}\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}\\{a_2_1}&{a_2_2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_3}\\{a_2_1}&{a_2_3}\end{vmatrix}}&{\ldots}&{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_n}\\{a_2_1}&{a_2_n}\end{vmatrix}}\\{}&{}&{}&{}\\{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}\\{a_3_1}&{a_3_2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_3}\\{a_3_1}&{a_3_3}\end{vmatrix}}&{\ldots}&{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_n}\\{a_3_1}&{a_2_n}\end{vmatrix}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ldots}&{\vdots}\\{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}\\{a_n_1}&{a_n_2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_3}\\{a_n_1}&{a_n_3}\end{vmatrix}}&{\ldots}&{\begin{vmatrix}{a_1_1}&{a_1_n}\\{a_n_1}&{a_n_n}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}  \)       (2.33)

COMENTARIO:

Spoiler

La ventaja de este método (frente a la regla de Chio) es que no hay necesidad de trabajar con fracciones. Además, se puede aplicar consecutivamente, hasta obtener un determinante de orden 3x3 (el cual ya es fácil de calcular con la regla de Sarrus).

[cerrar]

2.11.8.3. APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS

Los problemas con determinantes se pueden clasificar en dos categorías: 1) Rutinarios y 2) Teóricos. Los problemas rutinarios se resuelven (casi mecánicamente) empleando alguno de los métodos descritos en parrafos anteriores. Los problemas teóricos se resuelven combinando métodos (o también, aplicando un método desde el punto de vista conceptual); y muchas veces, el criterio de reducción de orden resulta bastante útil.

A continuación, daremos un par de ejemplos de los llamados problemas teoricos...

EJEMPLO 1

Sea la suceción,

\( \Delta_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix} \) , \( \Delta_3=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix} \) , \( \Delta_4=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}&1\\{1}&{0}&{1}&1\\{1}&{1}&{0}&1\\1&1&1&0\end{bmatrix} \) , \( \ldots \) ,  \( \Delta_n=\begin{vmatrix}{0}&{1}&1&\ldots&1\\{1}&{0}&1&\ldots&1\\{1}&{1}&0&\ldots&1\\{\vdots}&{\vdots}&\vdots&\ldots&1\\{1}&{1}&1&\ldots&0\end{vmatrix} \)

a) Calcular \( \Delta_n \), y

b) Verificar la fórmula para el caso n=3, empleando la regla de Sarrus


SOLUCIÓN

Spoiler

a) Sea,

\( \Delta_n=\begin{vmatrix}{0}&{1}&1&\ldots&1\\{1}&{0}&1&\ldots&1\\{1}&{1}&0&\ldots&1\\{\vdots}&{\vdots}&\vdots&\ldots&1\\{1}&{1}&1&\ldots&0\end{vmatrix}  \)

1) Sumamos todas las filas (a partir de la segunda) a la primera.

\( F_1+F_2+F_3+\ldots+F_n \rightarrow{} F_1 \),

\( \Delta_n=\begin{vmatrix}{n-1}&{n-1}&n-1&\ldots&n-1\\{1}&{0}&1&\ldots&1\\{1}&{1}&0&\ldots&1\\{\vdots}&{\vdots}&\vdots&\ldots&1\\{1}&{1}&1&\ldots&0\end{vmatrix}  \)

2) Sacando factor común,

\( \Delta_n=(n-1)\begin{vmatrix}{1}&{ 1}& 1&\ldots&1\\{1}&{0}&1&\ldots&1\\{1}&{1}&0&\ldots&1\\{\vdots}&{\vdots}&\vdots&\ldots&1\\{1}&{1}&1&\ldots&0\end{vmatrix}  \)

3) Por aditividad de determinantes,

\( \Delta_n=(n-1)\begin{vmatrix}{0}&{ 1}& 1&\ldots&1\\{1}&{0}&1&\ldots&1\\{1}&{1}&0&\ldots&1\\{\vdots}&{\vdots}&\vdots&\ldots&1\\{1}&{1}&1&\ldots&0\end{vmatrix}+(n-1)\begin{vmatrix}{1}&{ 0}& 0&\ldots&0\\{1}&{0}&1&\ldots&1\\{1}&{1}&0&\ldots&1\\{\vdots}&{\vdots}&\vdots&\ldots&1\\{1}&{1}&1&\ldots&0\end{vmatrix}   \)       (1)

El primer sumando es igual al determinante, de orden n-ésimo; o sea, \( \Delta_n \). Mientras que el segundo sumando se puede desarrollar por la primera fila (o sea, aplicando el criterio de reducción de orden), y resultará el determinante, \( \Delta_{n-1} \)

\( ( n-1)\begin{vmatrix}{1}&{ 0}& 0&\ldots&0\\{1}&{0}&1&\ldots&1\\{1}&{1}&0&\ldots&1\\{\vdots}&{\vdots}&\vdots&\ldots&1\\{1}&{1}&1&\ldots&0\end{vmatrix}=(n-1)\Delta_{n-1} \)

Entonces, (1) se puede expresar en forma recursiva,

\( \Delta_n=(n-1)\Delta_n+(n-1)\Delta_{n-1}  \)       (2)

De (2),

\( \boxed{\Delta_n=-\displaystyle{\frac{(n-1)}{n-2}}\Delta_{n-1}} \)       (3)

¡Que es la solución recursiva del determinante!

4) Proposición: Para todo, \( n\geq{3} \) , \( \Delta_n \ne 0 \)   

Demostración: Por la formula de recurrencia (3) cada determinante \( \Delta_k \) es función del determinante \( \Delta_{k-1} \) (de orden inferior). Pero, asu vez, \( \Delta_{k-1} \) podrá expresarse en función de \( \Delta_{k-2} \), etc.

Este proceso tiene fin (en algún momento); de acuerdo con (3), debe tomarse \( n \geq{3} \), para evitar la división por cero.

Tomando \( n=3 \), el menor determinante será: \( \Delta_{3-1}=\Delta_2=\begin{vmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{vmatrix}=-1 \) (que es distinto de cero).

Por otro lado, el factor que multiplica a \( \Delta_{n-1} \), en la fórmula 3, no puede ser cero; pues \( n\geq{3} \). Con lo que la "proposición" queda demostrada.

Entonces, con (3), formemos la sucesión,

i) \( \Delta_3=-\displaystyle{\frac{(2)}{1}}\Delta_{2} \)

ii) \( \Delta_4=-\displaystyle{\frac{(3)}{2}}\Delta_{3} \)

iii) \( \Delta_5=-\displaystyle{\frac{(4)}{3}}\Delta_{4} \)

iv) \( \ldots \)

v) \( \Delta_n=-\displaystyle{\frac{(n-1)}{n-2}}\Delta_{n-1} \)

Multiplicando miembro a miembro cada uno de los términos de la sucesión formada, tenemos,

\( \Delta_3\Delta_4\Delta_5\ldots \Delta_n=(-1)^{n-2}\left[\displaystyle{\frac{2\cdot{}3\cdot{}4\cdot{}\ldots\cdot{}(n-2)\cdot{}(n-1)}{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}\ldots\cdot{}(n-2)}}\right]\Delta_2\Delta_3\Delta_4\ldots \Delta_{n-1} \)

Es \( (-1)^{n-2} \) porque hay “n-2” productos (obsérvese los denominadores”

\( \Delta_n=(-1)^{n-2}\displaystyle{\frac{n-1}{1}\Delta_2 \)

Pero,

\( \Delta_2=\begin{vmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}=-1  \)

En conclusión,

\( \boxed{\Delta_n=(-1)^{n-3}(n-1)=(-1)^{n-1}(-1)^{-2}(n-1)=(-1)^{n-1}(n-1)} \)       (4)

b) Para n=3, tenemos, (usando la formula anterior)

\( \Delta_3=(-1)^{3-1}(3-1)}=2 \)       (4’)

Comprobemos por la regla de Sarrus,

\( \Delta_3=\begin{vmatrix}{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{0}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\end{vmatrix}=+0\cdot{}0\cdot{}0+1\cdot{}1\cdot{}1+1\cdot{}1\cdot{}1-1\cdot{}0\cdot{}1-0\cdot{}1\cdot{}1-1\cdot{}1\cdot{}0=2 \)       (4’’)

   (¡Que coincide con 4’!)

[cerrar]

EJEMPLO 2

Calcular el \( \mbox{det}(A) \), si el \( \mbox{det}(B)=5 \)

\( A=\begin{bmatrix}{2a}&{2b}&{2c}\\{-d+a}&{-c+b}&{-f+c}\\{-a}&{-3b}&{-5c}\end{bmatrix} \)   y   \( B=\begin{bmatrix}{a}&{b}&{c}\\{d}&{e}&{f}\\{0}&{-2b}&{-4c}\end{bmatrix} \)


SOLUCIÓN

Spoiler

Por analogía, A y B son matrices que se han alterado con "operaciones elementales sobre filas".

Partiendo de |B|, vamos a obtener |A|.

\( |B|=\begin{vmatrix}{a}&{b}&{c}\\{d}&{e}&{f}\\{0}&{-2b}&{-4c}\end{vmatrix}=5 \)

a) La tercera fila de |A| se puede obtener restando la primera fila de |B| a la tercera,

\( F_1-F_3 \rightarrow{F_3} \)

\( |B|=\begin{vmatrix}{a}&{b}&{c}\\{d}&{e}&{f}\\{-a}&{-3b}&{-5c}\end{vmatrix}=5 \)

b) Multiplicando la segunda fila por (-1), el determinante queda multiplicado por (-1),

\( -F_2 \rightarrow{F_2} \)

\( -|B|=\begin{vmatrix}{a}&{b}&{c}\\{-d}&{-e}&{-f}\\{-a}&{-3b}&{-5c}\end{vmatrix}=-5 \)

c) Sumando la primera fila a la segunda, el determinante no varia,

\( F_1+F_2 \rightarrow{F_2} \)

\( -|B|=\begin{vmatrix}{a}&{b}&{c}\\{-d+a}&{-e+b}&{-f+c}\\{-a}&{-3b}&{-5c}\end{vmatrix}=-5 \)

d) Multiplicando la primera fila por: 2

\( 2F_1 \rightarrow{F_1} \)

\( -2|B|=\begin{vmatrix}{2a}&{2b}&{2c}\\{-d+a}&{-e+b}&{-f+c}\\{-a}&{-3b}&{-5c}\end{vmatrix}=-10 \)       (1)

Pero, según el enunciado,

\( |A|=\begin{vmatrix}{2a}&{2b}&{2c}\\{-d+a}&{-e+b}&{-f+c}\\{-a}&{-3b}&{-5c}\end{vmatrix} \)       (2)

Comparando 1 y 2,

\( |A|=-2|B|=-10 \)

Conclusión: El determinante de A es igual a -10; \( \mbox{det}(A)=-10 \)

[cerrar]

Próximamente, la matriz inversa... (continuará)

Los  errores de trascripción en este "mensaje" son probables. Sin embargo, se corregirán en la siguiente entrega. Gracias por la comprensión.


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Estimado lector,

Si Ud. tiene alguna duda o percibe que alguna fórmula está mal escrita. O si alguna definición es inadecuada, el autor agradece tu gentileza al hacernos conocer esos detalles.

Por favor, envia tus comentarios u observaciones a la siguiente dirección (de Rincon matemático):

Tema: respuesta de los lectores...

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76167.new#new

Saludos...!!!